51113814 Roboti Industriali Modele Geometrice Cinematice Si Dinamice

19
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05] ALTE DOCUMENTE CONSUMUL DE APA SI ALIMENTE IN MIJLOACELE DE SALVARE Factori umani si performantele pilotului Eficienta tehnico - economica a managementului energetic in conceptia cercetarilor operationale STAREX BILLING MANUAL Masurarea cantitatii de marfa Analiza /optimizarea valorilor TROLIUL Undele electromagnetice aplicatii Arborele cotit ARZATOARE GAZ PROGRESIVE C 24 GX 507 / 8 Username / Parola inexistente Am uitat parola x Creaza cont nou Home Exploreaza Upload Administratie Arta cultura Biologie Casa gradina Diverse Economie Geografie Gradinita Istorie Jurnalism Limba Literatura romana Management Medicina Personalitati Profesor scoala Sociologie Stiinta Tehnica mecanica Auto Timp liber Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE tehnica mecanica MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE sI DINAMICE Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide, elementele sistemului, legate între ele succesiv prin articulatii de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale acestor elemente determina pozitia pe ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentând de fapt una din conditiile functionale ale robotului. Cele mai cunoscute versiuni de articulatii mecanice întâlnite în sistemele robotice sunt reprezentate prin lanturi cinematice deschise în care pozitia viteza si acceleratia unui element pot fi obtinute recursiv din parametrii elementului precedent. În general, fiecare element contine un singur grad de libertate în raport cu elementul precedent astfel încât relatiile de transformare între elemente contin un singur parametru variabil. Legarea în cascada a tuturor transformarilor asociate fiecarui element permite determinarea parametrilor miscarii întregii configuratii mecanice si, în general, a elementului terminal. 2.1. Sisteme de coordonate Operatiile de manipulare specifice unui robot cer, în primul rând, o pozitionare corespunzatoare a sistemului mecanic, deci atingerea unui punct din spatiul de lucru, si în al doilea rând impun o anumita orientare a elementului terminal. De exemplu, o operatie de montaj prin filetare cere atât atingerea gaurii cât si orientarea corecta a surubului pentru realizarea asamblarii. se impune deci adoptarea unui sistem de coordonate corespunzator descrierii acestor cerinte. Un punct A, într-un sistem de coordonate S 1 , poate fi reprezentat prin vectorul ce uneste originea sistemului de coordonate si punctul respectiv, (2.1) unde sunt versorii axelor X,Y,Z, respective. O alta modalitate de scriere este, (2.2) unde indicele superior 1 precizeaza sistemul de coordinate S 1 . În afara de aceasta, directia vectorului de pozitie se poate exprima prin cosinutii de directie, ; ; (2.3) Daca acum, originea sistemului de coordonate O 1 se exprima în raport cu un sistem S 2 prin coordonatele (2.4) atunci punctul A se va exprima în raport cu sistemul S 2 prin, (2.5) Relatia (2.5) corespunde unei reprezentari între doua sisteme afectate de operatii de translatie (axele sînt paralele, respectiv). Daca sistemele de coordonate sînt supuse unor miscari de rotatie, pozitia unui punct în diferite #1 China Wholesale Store Wholesale 1000's of Items from 120,000 Verified Sellers.©2004-2010 DHgate.com Roboti LEGO NXT 1499 lei Lego Mindstorms NXT 2.0 din stoc Livrari in 24ore oriunde in Romania www.legomag. Bottaro Italpese Dal 1965 sistemi di pesatura per artigianato ed industria. www.bottaroitalpese.it

Transcript of 51113814 Roboti Industriali Modele Geometrice Cinematice Si Dinamice

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE Username / Parola inexistenteemail Login

Am uitat parola x Creaza cont nou

HomeAdministratie Arta cultura Biologie Casa gradina Diverse Economie Geografie Gradinita Istorie Jurnalism Limba Literatura romana Management Medicina Personalitati Profesor scoala Sociologie Stiinta Tehnica mecanicaAuto

Exploreaza

Upload

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICEtehnica mecanica#1 China Wholesale Store Wholesale 1000's of Items from 120,000 Verified Sellers.2004-2010 DHgate.com Roboti LEGO NXT 1499 lei Lego Mindstorms NXT 2.0 din stoc Livrari in 24ore oriunde in Romania www.legomag. Bottaro Italpese Dal 1965 sistemi di pesatura per artigianato ed industria. www.bottaroitalpese.it

MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE sI DINAMICESistemul mecanic al unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide, elementele sistemului, legate ntre ele succesiv prin articulatii de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale acestor elemente determina pozitia pe ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentnd de fapt una din conditiile functionale ale robotului. Cele mai cunoscute versiuni de articulatii mecanice ntlnite n sistemele robotice sunt reprezentate prin lanturi cinematice deschise n care pozitia viteza si acceleratia unui element pot fi obtinute recursiv din parametrii elementului precedent. n general, fiecare element contine un singur grad de libertate n raport cu elementul precedent astfel nct relatiile de transformare ntre elemente contin un singur parametru variabil. Legarea n cascada a tuturor transformarilor asociate fiecarui element permite determinarea parametrilor miscarii ntregii configuratii ALTE DOCUMENTE mecanice si, n general, a elementului terminal. CONSUMUL DE APA SI ALIMENTE IN

Timp liber

2.1. Sisteme de coordonateOperatiile de manipulare specifice unui robot cer, n primul rnd, o pozitionare corespunzatoare a sistemului mecanic, deci atingerea unui punct din spatiul de lucru, si n al doilea rnd impun o anumita orientare a elementului terminal. De exemplu, o operatie de montaj prin filetare cere att atingerea gaurii ct si orientarea corecta a surubului pentru realizarea asamblarii. se impune deci adoptarea unui sistem de coordonate corespunzator descrierii acestor cerinte. Un punct A, ntr-un sistem de coordonate S 1 , poate fi reprezentat prin vectorul ce uneste originea sistemului de coordonate si punctul respectiv,

MIJLOACELE DE SALVARE Factori umani si performantele pilotului Eficienta tehnico - economica a managementului energetic in conceptia cercetarilor operationale STAREX BILLING MANUAL Masurarea cantitatii de marfa Analiza /optimizarea valorilor TROLIUL Undele electromagnetice aplicatii Arborele cotit ARZATOARE GAZ PROGRESIVE C 24 GX 507 / 8

(2.1)unde sunt versorii axelor X,Y,Z, respective. O alta modalitate de scriere este,

(2.2)unde indicele superior 1 precizeaza sistemul de coordinate S 1 . n afara de aceasta, directia vectorului de pozitie se poate exprima prin cosinutii de directie,Cautare

;

;

(2.3)

Daca acum, originea sistemului de coordonate O 1 se exprima n raport cu un sistem S 2 prin coordonatele

(2.4)atunci punctul A se va exprima n raport cu sistemul S 2 prin,

(2.5)Relatia (2.5) corespunde unei reprezentari ntre doua sisteme afectate de operatii de translatie (axele snt paralele, respectiv). Daca sistemele de coordonate snt supuse unor miscari de rotatie, pozitia unui punct n diferite

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICEsisteme se poate obtine printr-o transformare corespunzatoare. Consideram, de exemplu, sistemul S 2 obtinut prin rotatia cu unghiul ? n jurul axei ? a sistemului Sj (figura 2.2). Pozitia n noul sistem se obtine prin multiplicarea coordonatelor initiale cu o matrice de rotatie.

(2.6)n foarte multe situatii este de preferat sa se utilizeze o transformare globala care sa comaseze att efectul de translatie ct si pe cel de rotatie. O astfel de transformare se numeste omogena. Aceasta transformare poate fi definita ca rezultatul concatenarii a doua matrici, de orientare (4 ? 3) si de pozitie, un vector (4x1).

(2.7)De exemplu, translatia specificata n figura 2.1 b corespunde transformarii omogene definita prin

(2.8)unde simbolul Trans este asociat functiei de translatie. 121c23b Calculul coordonatelor punctului A n sistemul S 2 definit prin componentele (2.2) n sistemul Sj se obtine imediat prin simpla aplicare a operatorului de translatie asupra jj vectorului coordonatelor n S 1

(2.9)deci aceleasi rezultate ca cele date n relatia (2.5). n mod similar, se pot defini operatori de rotatie, corespunzatori unei rotatii cu unghiul ?, n jurul fiecarei axe de coordonate,

(2.10)

(2.11)

(2.12)Aplicarea succesiva a acestor operatori permite calculul coordonatelor pentru orice modificare a sistemului de coordonate. De exemplu, un punct de coordonate (7,3,2) n sistemul S! este supus succesiv urmatoarelor transformari: o rotatie n jurul axei ? cu 90 (sistemul S2 ), o rotatie n jurul axei ? cu 90 (sistemul S3 ) si o translatie cu vectorul (4,-3,7) (sistemul S4). Deci, n noul sistem, coordonatele punctului vor fi date de

sau

(2.13)Trebuie subliniata necesitatea respectarii ordinei operatiilor efectuate. Evident, (2.14)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICEPentru generalizarea procedurilor de lucru, se va nota prin T. transformarea generala a sistemului de coordonate Sj n raport cu sistemul S, . n acest context, functia de pozitionare a bratului unui robot se poate interpreta prin definirea corespunzatoare a operatorilor transformarilor.

n figura 2.3. este prezentat un robot ce executa o operatie tehnologica (sudura, gaurire, etc) asupra piesei P. Miscarile robotului snt definite prin transformari corespunzatoare n raport cu un sistem de referinta absolut Elementele bratului mecanic, prin articulatiile sale, permit determinarea unei transformari generale , transformare desemnata prin , care la rndul ei este definita n raport cu sistemul . Se va nota: -transformarea

a sistemului de referinta a elementului terminal (mna) n raport cu baza de referinta absolut prin transformarea

.Deci, pozitia absoluta a minii este redata prin produsul transformarilor ,

implicata de operatia tehnologica exercitata de mna asupra piesei ? n punctul 1 si piesei si fata de sistemul de referinta absolut, respectiv.

, transformarile ce desemneaza pozitia punctului 1 fata de referinta

n conditiile realizarii unei functii tehnologice corecte, coordonatele punctului prelucrat trebuie sa satisfaca transformarea de-a lungul lantului cinematic al robotului, deci

(2.15)ntruct scopul final al oricarei prelucrari matematice de acest fel consta n gasirea unui control adecvat al bratului mecanic, deci transformarea (2.15) se obtine, , din relatia

(2.16)Desi formula stabilita da pur formal conditiile functionale ale robotului, ea sintetizeaza exact principalele cerinte ce se impun pentru acoperirea unei functii tehnologice date de catre o anumita configuratie mecanica. Aceste deziderate pot fi rezumate n urmatoarele: a) atingerea de catre elementul terminal al bratului mecanic a unui ;

punct de coordonate impus, - transformarea b)

asigurarea unei orientari adecvate a minii robotului n conformitate . definita prin [17]

cu functia tehnologica ndeplinita - transformarea

Pentru definirea corecta a ultimei conditii se introduce o matrice de orientare a minii

(2.17)unde este un vector unitate n directia apropierii minii de obiect, (2.18) n matricea se poate identifica o submatrice de orientare este un vector unitate de orientare al elementului iar f este definit prin

si un vector de pozitie

Matricea

este o matrice ortonormala iar elementele ei au o serie de proprietati care simplifica considerabil prelucrarile matematice.

n plus, matricea de orientare TM admite o inversa de forma,

(2.19)unde pn, po, pa desemneaza produsele scalare ai vectorilor respective.

2.2. Modele cinematice

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

Dupa cum s-a vazut n paragraful precedent, prima conditie necesara functionarii robotului este determinarea transformarii

ce asigura atingerea unui punct

definit de (2.16) este numai o reprezentare matematica formala. Ea trebuie corelata cu structura mecanica a robotului astfel nct sa poata fi dorit. Dar determinate toate transformarile individuale, pe fiecare articulatie controlata a bratului mecanic. Dupa cum s-a mai aratat, sistemul mecanic al robotului este realizat prin legarea succesiva a unor articulatii simple de rotatie si translatie, pozitia fiecarui element matricea putnd fi definita n raport cu elementul precedent printr-o singura variabila de rotatie (unghi) sau de translatie (deplasare).Daca se noteaza cu transformarii ce descrie translatia si rotatia relativa ntre sistemul de coordonate al elementului i si al elementului i-1, atunci transformarea asociata minii robotului se poate scrie ca, = ...

(2.20)

unde n reprezinta numarul de elemente al bratului.Calculul matricei de transformare pentru o articulatie data este riguros prezentat ntr-un numar mare de lucrari de specialitate. n cadrul acestui capitol se va utiliza metoda Denavit-Hartenberg datorita avantajelor deosebite privind att simplitatea tratarii ct si posibilitatile mari de generalizare pe care le ofera. Conventiile impuse de aceasta metoda sunt [4,5,24,25] se aliniaza axele X ale tuturor sistemelor de referinta ale articulatiilor n aceeasi directie cu cea a sistemului de baza. axa Zi coincide cu axa de rotatie a articulatiei i; se roteste cu un unghi n jurul axei , n lungul axei n lungul axei , axa spre

se translateaza cu marimea se translateaza cu marimea se roteste cu un unghi

n sensul orar, n jurul axei

n figura 2.5. snt reprezentati parametrii Denavit-Hartenberg pentru o articulatie de forma generala.n practica, configuratia geometrica a unei articulatii este reprezentata printr-o serie de parametri constanti, lungimea articulatie de translatie. 121c23b Deci, matricea transformarii omogene si unghiul parametrii variabili fiind unghiul la o articulatie de rotatie sau lungimea la o

ntre articulatia i si i-1 va fi,

Utiliznd formulele stabilite (2.8), (2.10) - (2.12) si substituind n (2.21) rezulta,

sau

(2.22)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

Pentru exemplificarea procedeurilor de calcul privind constructia modelului cinematic, se va analiza robotul din figura (2.6)[17,62] al carui lant cinematic contine numai articulatii de rotatie. Robotul prezentat n figura 2.6 a are sase grade de libertate. Pentru determinarea parametrilor de transformare, n figura 2.6, b este reprezentat simbolic lantul cinematic orientat pentru respectarea conditiilor expuse mai sus (axele au aceeasi directie).

n figura 2.7. sunt reprezentate axele de coordonate pentru fiecare pereche de articulatii. De exemplu, pentru sistemele de referinta alinierea axelor X si ? determina urmatorii parametri: unghiul de rotatie , parametrul n jurul axei Z este parametrul , distanta masurata pe axa Z ntre cele

doua origini este parametrul d origini da a =0.

este unghiul masurat n sens orar ntre Z si Zo , deci

= 90 , iar abaterea masurata pe axele X ntre cele doua

Matricea transformarii ntre cele doua sisteme, pentru aceasta prima articulatie, se obtine nlocuind parametrii determinati n relatia (2.23). Rezulta,

Parametrii celorlalte articulatii se pot obtine n aceeasi maniera din figura 2.7, iar matrlcele corespunzatoare vor fi

(2.23)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

O tratare similara poate fi obtinuta pentru lanturi cinematice care contin si articulatii de translatie. 121c23b n figura 2.8 este prezentat un astfel de robot cu trei grade de libertate.Din analiza parametrilor asociati celor trei articulatii de translatie, rezulta:

(2.24)Transformarea generala asociata ntregului lant cinematic va fl:

(2.25)Variabilele miscarii sunt cele trei deplasari liniare a 1 , d 2 , d 3 , de si ele apar, n mod firesc, n cadrul coloanei vectorului de pozitie. Modelele prezentate s-au referit la roboti cu articulatii numai de rotatie sau numai de translatie. 121c23b Procedura se poate aplica n aceeasi maniera pentru lanturi cinematice cu diverse tipuri de articulatii. Structurile mecanice uzuale ntlnite la cele mai cunoscute familii de roboti industriali se grupeaza, dupa coordonatele ce descriu pozitiile bratului, n: roboti de coordonate carteziene, cilindrice, sferice, de rezolutie etc. Indiferent de tipul utilizat, calculul cinematic se realizeaza dupa metoda expusa, determinnd parametrii D.H. ai fiecarei articulatii si formnd cu acestia matricele de transformare.

2.3. Problema controlului pozitieiParagraful anterior a stabilit procedurile de determinare a transformarilor omogene Af pentru diferite tipuri de brate mecanice. Pe baza lor se obtine, prin multiplicare succesiva, transformarea generala ce exprima pozitia elementului final (terminalul sau mna robotului) n raport cu sistemul de referinta al bazei. Nu trebuie sa uitam nsa ca scopul final al oricarei aplicatii robotice este de a realiza o anumita functie tehnologica si, n cadrul ei, o prima cerinta este pozitionarea corecta a bratului mecanic ntr-un punct sau de-a lungul unei traiectorii impuse. trebuie sa Aceasta nseamna implicit ca transformarea generala verifice coordonatele punctului de lucru. Se poate formula, deci urmatoarea problema de control: "care sunt parametrii variabili asociati fiecarei articulatii pentru ca coordonatele elementului terminal sa verifice un punct dat n spatiul de operare, asigurnd totodata si o anumita orientare a minii robotului. n acest fel, relatiile ce definesc transformarile cinematice devin ecuatii de control cinematic. Rezolvarea ecuatiilor cinematice reprezinta n general o problema dificila. Acest lucru este determinat nu att de numarul ecuatiilor ct de neliniaritatea lor. Pentru ilustrarea dificultatilor ce apar n ecuatiile de acest tip vom aborda problema controlului cinematic al modelelor deduse n paragraful precedent. n cazul robotului n coordonate carteziene din figura (2.8) ecuatia generala a bratului este data de produsul celor trei matrici n formula (2.25). Deci, pozitia orientarea bratului va fi din (2.19).

(2.25)Este evident ca un astfel de robot va controla numai pozitia elementului terminal nu si orientarea, calculul vectorial de pozitie fiind obtinut direct

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

(2.26)unde,

(2.27)Simplitatea solutiei este datorata absentei neliniaritatii la aceste transformari specifice articulatiilor de translatie, dar apare clar faptul ca un astfel de robot nu asigura functia de orientare a bratului. t Se va considera acum robotul cu articulatii de rotatie prezentat n figura 2.6. Modelul cinematic al bratului se obtine prin multiplicarea matricilor A i din (2.23),

(2.29 )Efectund nmultirea matricilor si identificnd componentele generale ale matricei de orientare - pozitia (2.19) se obtine [62]

(2.30)

(2.31)

Ecuatiile stabilite pun n evidenta foarte bine complexitatea problemei controlului cinematic. Pentru o pozitie si orientare a elementului terminal al robotului impuse, deci p x , p y , p z , n x , n y , n z , o x , o y , o z , a x , a y , i lund valori prescrise, se cere calcularea valorilor unghiurilor f 1 , f 2 ,..., f 6 care satisfac ecuatiile (2.30). Este evident ca determinarea variabilelor de control f 1 , f 2 ,..., f 6 pentru asigurarea att a pozitiei dorite, ct si a orientarii minii nu este posibila, n principiu, se impune numai o pozitionare riguroasa si o orientare partial satisfacuta (care se presupune ca, totusi, acopera cerintele tehnologice impuse). Chiar n acest caz, o solutionare analitica este evident extrem de dificila. Tratarea numerica pe un calculator adecvat implica si ea dificultati serioase si n orice caz efortul de calcul este extrem de mare, problema de control neputnd fi abordata ca o problema n timp real. O tratare off-line pe un calculator numeric este practic singura modalitate de utilizare a controlului cinetic. Pentru diferite puncte, de-a lungul traiectoriei impuse, se calculeaza aprioric valorile variabilelor de control ale articulatiilor, ele urmnd sa reprezinte marimile de referinta n sistemul propiu-zis de conducere al miscarii. n literatura de specialitate se pot mentiona eforturile diversilor autori pentru solutionarea acestei probleme. Mentionam metoda propusa de Paul Shimano si Meyer [5,25] care izoleaza seccesiv fiecare variabila de elementul terminal prin premultiplicarea cu inversele matricilor A i. Lee si Siegler [24] separa problema controlului general n problema pozitionarii bratului de cea a orientarii minii. ntr-o asemenea abordare, transformarea totala poate fi rescrisa ca, ,

si desemneaza transformarile ce definesc pozitionarea bratului unde s-a considerat baza robotului ca sistem de referinta absolut, sistemul O, iar robotului fata de baza si respectiv mna robotului n raport cu bratul [24]. De exemplu, pentru robotul discutat mai sus, aceasta partajare a transformarilor impune urmatoarea rescriere a relatiei (2.19)

(2.32)unde prima submultime desemneaza pozitionarea bratului,

(2.33)iar a doua orientare,

(2.34 )Pe de alta parte, att transformarea globala , ct si cele partiale, si , pot fi rescrise n termenii matricei pozitie - orientare (2.10).

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

(2.35)

(2.36)

(2.37)nlocuind expresiile (2.35) - (2.37) in (2.31) rezulta,

(2.38)Deci, din (2.35) se obtine,

(2.39) (2.40)n aceasta ultima relatie, vectorul absolut (figura 2.9, a). , defineste pozitia minii fata de punctul terminal al bratului. Prin multiplicarea cu exprima acelasi vector fata de sistemul

Acest vector va fi deci reprezentat prin

(2.41)deci, din (2.40) se obtine

(2.42)sau, astfel spus, translatia totala este obtinuta prin nsumarea translatiilor bratului si minii. n aceasta relatie vectorul coincide cu versorul a al matricei de orientare (2.35) (figura 2.4), deci componentele acestui vector pot fi determinate relativ usor. ntr-o prima faza se determina unghiurile f si ?

, iar ulterior, componentele vectorului

(2.43)Tinnd cont de faptul ca vectorul ? este dat prin matricea generala a robotului (2.35), din (2.42) si (2.43) se pot calcula componentele vectorului de pozitie al bratului

(2.44)Pe de alta parte, din formula (2.34) se obtine,

(2.45)unde P[A] desemneaza vectorul de pozitie din transformarea A. Aceasta ultima relatie constituie ecuatia de baza ce permite calculul unghiurilor f 1, f 2, f 3 ce definesc articulatiile bratului. Pentru calculul unghiurilor minii f 4, f 5, f 6 se utilizeaza componenta de rotatie care poate fi exprimata din relatia (2.39) sub forma,

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

Cele doua matrici si R snt usor obtinute ca matrici de rotatie din transformarile respective. n plus, inversa lui orientare. Introducnd aceste rezultate n matricea de orientare a transformarii (2.34), rezulta,

se calculeaza conform regulilor matricelor de

(2.47) unde R[A] desemneaza matricea de orientare a transformarii A. Relatia (2.47) reprezinta ecuatia ce permite calculul unghiurilor ce definesc pozitia minii. Procedura expusa permite deci calculul decuplat al parametrilor geometrici ai robotului, analiznd separat ecuatiile de pozitie de cele de orientare. Cu toate ca aceasta metoda simplifica si faciliteaza, n mare masura, efortul de calcul, abordarea analitica a solutiilor de control cinematic ramne n continuare o problema complexa. n ciuda dificultatilor prezentate, controlul cinematic este cea mai utilizata metoda de control a miscarii unui robot, solutionare problemei fiind data, n mod paradoxal, chiar de robot, de implementarea sa fizica. Conceptul de baza n aceasta abordare l constituie faptul ca rezolvarea ecuatiilor (2.30) implica evident modelarea lor (numerica sau analogica), ori cea mai buna modelare, cea mai exacta, o reprezinta robotul nsusi. n acest sens, robotul este fortat sa execute o anumita traiectorie n spatiul sau de lucru. n punctele prestabilite, dorite, sunt masurate valorile variabilelor de control, aceste valori reprezentnd solutiile exacte ale ecuatiilor cinetice asociate punctelor respective. Valorile astfel obtinute vor constitui marimi de control impuse n faza de operare propriu - zisa a robotului. Procedura este curent cunoscuta sub denumirea de instruirea robotului si va fi discutata pe larg ntr-unul din capitolele ulterioare.

2.4. Controlul cinematic diferentialAnaliza precedenta s-a axat pe problema determinarii variabilelor de control pe fiecare articulatie astfel nct comportarea cinematica a ntregului brat, ca pozitie si orientare, sa fie cea dorita, insistndu-se n special asupra cerintelor de calcul si complicatiilor care deriva din acestea ntr-o conducere n timp real. O alta modalitate de tratare a controlului cinematic poate fi obtinuta daca nu se iau n consideratie valorile totale ale parametrilor miscarii ci variatiile acestora n raport cu anumite marimi de referinta. O astfel de abordare este desemnata ca analiza cinematica diferentiala. Modelul diferential al unui robot este deci un model care permite calculul diferential dx a coordonatelor operationale (variabilele ce definesc pozitia n spatiul de lucru) n functie de diferentiala dq a coordonatelor generalizate (variabilele asociate fiecarei articulatii mecanice). ntr-o transpunere analitica, aceasta dependenta se poate scrie printr-o matrice iacobian, n forma: (2.48) Daca, pentru un anumit model cinematic, coordonatele operationale si generalizate variaza n cantitati mici, atunci diferentialele pot fi nlocuite cu variatiile corespunzatoare si modelul (2.48) se scrie sub forma, (2.49) n cazul n care acestor variatii li se asociaza si variatii n timp, diferentialele pot fi nlocuite cu derivate, (2.50) Indiferent de modul de scriere, ntr-o analiza diferentiala, o etapa importanta o constituie calculul matricei iacobiene J(q). Considernd modelele cinematice stabilite n paragrafele anterioare, redate analitic n forma, (2.51) atunci matricea iacobian este matricea derivatelor partiale ale functiei n raport cu coordonatele generalizate.

(2.52) sau, pe componente

(2.53) Daca coordonatele operationale utilizate sunt date de vectorul,

(2.54) atunci relatia (2.50) poate fi scrisa ca,

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

(2.55)

unde

pentru o articulatie de rotatie,

pentru o articulatie de translatie iar

.

Pentru exemplificare, sa consideram robotul cu articulatii de translatie prezentat n figura 2.8. Coordonatele elementului terminal n raport cu sistemul de referinta (X0, Y 0, Z 0) sunt date de,

(2.56)

unde exprima n acelasi timp si coordonatele generalizate (2.53) se obtine iacobianul sistemului,

. n consecinta, utiliznd o formula de tipul

(2.57) Pentru sisteme mecanice mari, procedurile de calcul ale matricei, desi mai complexe, se bazeaza pe o tehnica similara sau prin derivate ale celei prezentate n (5.25). n forma definita mai sus, iacobianul permite calcului variatiilor coordonatelor operationale n functie de variatiile coordonatelor generalizate (din articulatii). De fapt, o problema de conducere impune o procedura inversa: dndu-se variatii impuse ale coordonatelor operationale se cer variatiile coordonatelor generalizate corespunzatoare. O astfel de formulare conduce la o relatie de forma, (2.58) Calculul inversei iacobianului este n general o problema complexa, dificultatea fiind determinata de faptul ca matricea iacobian este foarte rar o matrice patrata. n general se va impune deci calculul unei pseudoinverse J -1 dupa proceduri specifice (38,25,62). De exemplu, pentru iacobianul obtinut mai sus, (2.59) prin transpunere rezulta (2.60) unde admite o pseudoinversa (J T )-1 de forma

(2.61) admite o pseudoinversa de forma

(2.62) Se verifica usor ca (2.63) Multiplicnd cu ambii membri ai relatiei (2.60), rezulta (2.64)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

Desigur ca aceasta metoda poate fi aplicata numai pentru forme particulare ale matricei J. Pentru o forma generala a acesteia se poate utiliza procedura specificata n (12,17). n acest sens, se nmultesc ambii membrii ai relatiei (2.59) cu JT , (2.65) Se determina inversa matricei JT J si prin multiplicarea rezultatului cu (2.65) se obtine (2.66) n acest caz poate fi definita ca o pseudoinversa a matricei J.

Exemplul pe care l-am analizat se bazeaza pe o matrice iacobian cu coeficienti constanti. n cele mai multe cazuri, coeficientii matricei depind de coordonatele generalizate q i, ceea ce impune o recalculare a elementelor ei la orice modificare a acestor parametrii. Calculul variatilor Dq i, asociate fiecarei articulatii a structurii mecanice, pe baza variatiilor Dx i impuse n sistemul operational, sugereaza introducerea unei structuri de conducere specifice. n figura 2.10 este prezentat un astfel de sistem. Traiectoria, n spatiul de operare al robotului, este data prin multimea de puncte x di . Aceste valori sunt comparate cu cele realizate efectiv de sistemul mecanic x i. Parametrii operationali reali x i sunt obtinuti la rndul lor din coordonatele generalizate q i pe baza modelului cinematic direct (2.51). Abaterile obtinute,

(2.67) sunt aplicate unui bloc de calcul ce implementeaza pe J -1(q) la iesirea caruia se genereaza noile variatii Dq i ce asigura corectarea traiectoriei. Evident, dependenta iacobianului de parametrii q i determina recalcularea sa la fiecare pas de operare. Avantajul principal al unui astfel de sistem de conducere este dat de simplitatea legii de conducere utilizate, modelul cinematic diferential asociat fiind un model liniar. Spre deosebire de modelele cinematice propriu-zise prezentate anterior si de cele dinamice, care vor fi studiate ulterior, modele caracterizate prin neliniaritati deosebit de complexe, modelele diferentiale ofera avantajul liniarizarii. Din nefericire, acest avantaj este, n mare masura, anulat de efortul de calcul cerut, n special pentru calculul inversei matricei iacobiene, calcul ce nu poate fi realizat off-line datorita dependentei coeficientilor matricei de parametrii q i. Cu toate ca n literatura s-au dezvoltat o serie de metode [4,6] care permit calculul rapid al lui J-1(q), ele cer, n general, sisteme hardware de mare viteza, cu un pret de cost ntotdeauna prohibitiv, pentru o operare eficienta n timp real.

2.5. Modele dinamiceModelele geometrice si cinematice discutate n prima parte a capitolului pornesc de la premiza ca pentru orice configuratie obtinuta de robot este atinsa o stare de echilibru. Este evident ca aceste modele devin putin reprezentative la viteze si acceleratii mari cnd fortele de inertie, centrifugale si de cuplaj capata marimi semnificative. La aceste regimuri de lucru se impune luarea n considerare a unui nou model, modelul dinamic asociat sistemului mecanic. Modelul dinamic al unei structuri mecanice este reprezentat analitic printr-un sistem de ecuatii diferentiale ce definesc legaturile ce apar ntre coordonatele generalizate q i sau derivatele lor si fortele, att disipative, ct si ne J -1(q) nedisipative, ce actioneaza asupra fiecarui element al configuratiei mecanice. Metodele si procedurile pentru determinarea ecuatiilor diferentiale asociate dinamicii unui brat mecanic sunt numeroase. Metodele Lagrange Euler, Newton Euler, principiul generalizat al lui dAlembert sunt cteva din procedurile clasice de calcul ale modelului dinamic. mbunatatiri si tehnici de calcul mai rapide au fost obtinute de diversi autori din care se pot cita Mahil [7] Megahed si Renaud [7], Watters [3] si Hollerbach [12] etc. n ciuda acestei lucrari, modelul dinamic al unui robot va fi determinat utiliznd metoda lui Lagrange care are avantajul unei abordari simple, sistematice si permite elaborarea unor algoritmi eficienti n calculul numeric. Utiliznd notatiile curente [116], functia Lagrangian L este definita ca diferenta ntre energia cinetica E cin si energia potentiala E pot a sistemului. (2.68)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

Ecuatiile sistemului dinamic, n functie de Lagrangian vor fi

, i=1,2,,n

(2.69)

unde n sunt gradele de libertate ale sistemului, q i sunt coordonatele generalizate n care energiile cinetica si potentiala sunt exprimate, q sunt vitezele generalizate, iar F i sunt fortele generalizate corespunzatoare, definite n sensul urmator: daca articulatia este de translatie, deci variabila q determina dinamica dorita, iar daca articulatia este de rotatie si q i reprezinta, deci, o marime unghiulara, atunci F i este momentul aplicat articulatiei. Pe baza formulelor (2.68), (2.69), procedura de calcul se poate sistematiza n urmatoarele faze: se determina energia potentiala n functie de coordonatele generalizate; se determina energia cinetica n raport cu aceiasi parametri; se formeaza functia Lagrangian; se calculeaza modelul dinamic folosind formula (2.69).

Pentru exemplificare, etapele de mai sus vor fi dezvoltate pe cteva structuri mecanice. Se va considera bratul n coordonate cilindrice din figura 2.11. Coordonatele generalizate ale miscarii vor fi rotatia j 1 si cele doua translatii d 2 si d 3. Energia potentiala a ntregului sistem, se poate raporta la referinta bazei sub forma, (2.70) unde m este masa totala echivalenta n articulatia 3. Energia cinetica a masei este determinata de: o componenta produsa de translatia masei (d 3) si o componenta datorita rotatiei (j 1 ) deci,

(2.71) Analog, energia cinetica a masei m 3 va fi determinata de rotatia bratului m 3 prin momentul de inertie,

(2.72) si de translatia acestuia prin viteza de translatie, deci,

(2.73) De asemenea, celelalte articulatii determina o energie

(2.74) Din (2.71) (2.74) se obtine energia cinetica a sistemului mecanic

(2.75) Functia Lagrangian va fi,

(2.76) Pentru obtinerea modelului dinamic este necesara determinarea derivatelor partiale ale lui L n raport cu parametrii

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

miscarii j 1 , d 2, d 3 si derivatele acestora j ,

,

,

(2.77)

Substituind rezultatele de mai sus n formula (2.69) se obtine,

(2.78) Separnd partile liniare n relatiile (2.78) si (2.79) rezulta, (2.79)

(2.80) Separnd partile liniare n relatiile (2.78) si (2.79) rezulta,

(2.81)

(2.82) Ecuatiile (2.78) (2.80) definesc modelul dinamic al robotului. Se remarca n primul rnd neliniaritatea acestora, neliniaritate pusa n evidenta n rescrierea lor n forma (2.81), (2.82). n aceste ultime relatii, termenii neliniari B 1 si B 2 definesc momente Cariolis sau componente de forte de frecare. O reprezentare sugestiva a ecuatiilor de mai sus se poate obtine printr-o simulare analogica a acestora (figura 2.12). Modelul analogic obtinut defineste numai coordonatele j 1 , d 2, d 3 prin integrarea succesiva a integratelor lor de ordin doi, obtinute, la rndul lor prin operatori liniari si neliniari corespunzatori. Trebuie remarcata decuplarea componentei d 2 (independenta acesteia de celelalte variabile) precum si puternica interconditionare a parametrilor j 1 si d 3. Se va analiza n continuare modelul dinamic al unei configuratii mecanice cu elemente articulate prin cuple de rotatie, configuratie des ntlnita ntr-o gama larga de familii de roboti industriali. Sistemul este reprezentat n figura 2.12 si este desemnat frecvent sub denumirea de brat mecanic de revolutie.

Conform procedurii expuse mai sus se vor calcula energiile potentiale si cinetice asociate fiecarui element. Pentru calculul energiilor potentiale s-a considerat dispunerea centrelor de greutate ca n figura, elementul 2 avnd practic toata masa (inclusiv sarcina) echivalata n capat, m .

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE 2

(2.83)

(2.84)

unde viteza v 2 a masei m 2 este data prin coordonatele punctului (2.85) iar,

deci,

sau, dupa cteva transformari (2.86) Din aceste rezultate se poate construi functia Lagrangian L a sistemului

(2.87) care poate fi rescrisa ntr-o forma compacta,

(2.88) unde, J 1, J 2, J *, M 1, M 2 desemneaza momente de inertie sau mase echivalente. Din formula (2.88) se obtin succesiv,

(2.89)

nlocuind aceste rezultate n ecuatia Lagrange se obtin fortele generalizate M1, M 2, (2.90)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

(2.91) Ecuatiile (2.90) si (2.91) stabilesc mecanica configuratiei mecanice sau mai bine-zis legile ce determina evolutiile n timp ale celor doua variabile j 1 si j 2 pentru anumite valori ale momentelor M 1, M 2 aplicate articulatiilor. n cele doua ecuatii, variabilele sunt raportate la un sistem de referinta absolut. Daca acest lucru este acceptabil pentru coordonate, j 1 , a carei masura este ntotdeauna raportata la axa X, pentru variabila j 2 acest lucru nu este valabil, ntruct n practica se masoara ntotdeauna unghiul elementului2 n raport cu elementul 1. Deci, variabila asociata acestei articulatii este j 2 (2.92) n raport cu aceasta noua variabila, Lagrangianul (2.88) devine

(2.93) nlocuind n ecuatia (2.69) se obtin relatiile

(2.94)

(2.95) Modelul dinamic stabilit mai sus poate fi rescris ntr-o forma compacta [62]

(2.96)

(2.97) O reprezentare analogica sugestiva a dinamicii obtinute este redata n figura 2.14.

Modelul analogic abtinut pune n evidenta foarte bine att interdependenta celor doua coordonate j 1 si j 2 ct si caracterul neliniar extrem de pronuntat al ecuatiilor sistemului dinamic. Apare clar faptul ca un astfel de model nu poate fi utilizat eficient ntr-o aplicatie practica de conducere. Aprecieri cantitative asupra diversilor coeficienti ce intervin n ecuatiile (2.96), (2.97) permit simplificarea lor. Folosind cteva din specificatiile formulate n [41], ecuatiile de mai sus devin,

(2.98)

(2.99) Daca termenii neliniari A , B corespunzatori unor cupluri de frecare pot fi aproximati prin marimi liniare de forma

(2.100)

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

atunci ecuatiile (2.98), (2.99) reprezinta un model dinamic liniar ce poate fi utilizat cu rezultate bune ntr-o structura de conducere conventionala. Structura mecanica discutata se bazeaza pe luarea n considerare a unor forte generalizate, momente aplicate n articulatiile sistemului. De cele mai multe ori, acest momente sunt obtinute indirect prin sisteme speciale de actionare, hidraulice sau electrice. Un astfel de sistem este prezentat n figura 2.15 [62].

Cele doua elemente ale bratului sunt actionate separat cu sisteme liniare (definite prin variabilele de translatie s A1 si s A2), n punctele A si C, prin fortele corespunzatoare F A , F C. Parametrii sistemului mecanic sunt specificati n figura, variabilele de deplasare liniara sau rotatie fiind desemnate prin s A , s B1, s B2, s C, s 2, s 1, j 1 , j 2 n punctele sau articulatiile respective. Pentru determinarea modelului dinamic n aceasta noua distributie de forte si variabile se va utiliza principiul lui dAlambert. Aplicarea acestui principiu la elementul superior, pentru miscarea de translatie, da pe fiecare din axele de coordonate,

(2.101) iar pentru miscarea de rotatie, (2.102) Ecuatiile (2.101) si (2.102) determina coordonatele miscarii, (s 2, j 2 ) ale centrului de masa al elementului superior. Coordonatele celorlalte puncte ale bratului pot fi determinate n functie de (s 2, j 2 ).

De exemplu, coordonatele punctului B 2 (variabila s B2) se pot obtine conform figurii 2.16.

(2.103) Calculnd variatiile corespunzatoare se obtin

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

(2.104) n mod similar se determina variabilele de deplasare s C si s D.

(2.105)

Pentru determinarea ecuatiilor asociate elementului 1, n figura 2.17 sunt prezentati parametrii si marimile principale ce guverneaza dinamica sa. (2.106) unde rA , rB sunt bratele fortelor respective n raport cu articulatia O. Deplasarile punctelor A si B 1, unde se racordeaza sistemul de actionare 1 si respectiv elementul 2 al bratului, se obtin din variabila j 1 , prin relatiile,

(2.107) Cuplajul ntre cele doua elemente este dat de forta F B care poate fi evaluata prin (2.108) unde C este o constanta de proportionalitate.

Simularea analogica a modelului dinamic definit prin ecuatiile (2.101) (2.108) este prezentata n figura 2.18. Marimile de intrare n model sunt cele doua forte generate de sistemul de actionare F A si F C, iar la iesirea modelului se obtin variabilele unghiulare j 1 , j 2 si de deplasare s A1, s A2, s Dx, s Dy. Ultimele doua variabile s Dx, s Dy se pot cupla la o alta articulatie n cazul modelarii unui sistem mecanic mai complex. Marimile s A1, s A2, j 1 , j 2 se utilizeaza frecvent n buclele de reglaj ale configuratiei mecanice. Coeficientii utilizati n definirea modelului sunt n general dependenti de pozitia sistemului mecanic si se obtin direct din ecuatiile stabilite mai sus fie prin proiectiile anumitor parametrii pe axele de coordonate. Tratarea de mai sus a modelului dinamic prin principiul lui dAlambert pune n evidenta foarte bine avantajele utilizarii formalismului lui Lagrange, avantaj concretizat n: simplitatea abordarii problemei, algoritmizarea simpla si eficienta a etapelor de calcul, precum si posibilitatea generalizarii procedurilor utilizate pentru sisteme mult mai complexe. Indiferent de modul de tratare, exemplele de mai sus permit stabilirea unui model matematic general ce caracterizeaza dinamica unui brat mecanic [12,15,16,36]. F Cy F Bx F By FC-

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE -

FB FAk4 k2 k3 k1

+l21x l21y

+Figura m 1g F Cx + + 2.18

m 2g

l22x l22y

l23x l23y l21x l21y

+ + +-

+ + +-

+l23x l23y

+ + (2.109) rB unde q este vectorul coordonatelor generalizate (nxl) pentru cele n articulatii ale sistemului mecanic, J(q) este matricea l 11x rA (nxn) de inertie, V este o matrice de frecare vscoasa (nxn), F( , ,q); i,j=1,,n este vectorul fortelor Coriclis si + centrifugale (nx1), G(q) este vectorul (nx1) asociat termenilor dependenti de gravitatie iar M este un vector (nx1) al fortelor de intrare generalizate.-

+

Modelul generalizat (2.109) pune bine n relief complexitatea problemelor ce stau n fata proiectantului sistemului de conducere, probleme ce n mare pot fi formulate n: neliniaritati complexe ce apar n sistemul de ecuatii diferentiale ce k6 descriu dinamica robotului, modificarea continua a parametrilor si coeficientilor acestor ecuatii cu pozitia mecanismului si puternica corelare, interconditionarea generala a parametrilor si coordonatelor sistemului mecanic. FBc k5 Document Info OA OB Accesari: 1277 f2 Apreciat: +

A fost util?Daca documentul a fost util si crezi ca merita sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codulin pagina web a site-ului tau.

+ Comenteaza documentul: -

Nu esti inregistrat Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta f1 sA2 Creaza cont nou sB1x sA1 sB1y sB2x sB2y sDx sDy sCx

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]

Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE

sBx ? ? sBy sB1 Copyright Contact (SCRIGROUP Int. 2011 )

http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011 13:44:05]