30 Teoria Sistemelor Si Reglaj Automat Curs

5/28/2018 30 Teoria Sistemelor Si Reglaj Automat Curs

1/73

Seria Control Engineering

Constantin MARIN Anca PETRIOR

TEORIA SISTEMELOR

SUPORT DE CURS

2007


2/73

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.1. Introducere

1

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALESISTEMELOR

1.1. Introducere

!

"# $Prin sistem se nelege o mulime de obiecte fizice sau entiti abstracte unite prinanumite forme de interaciune sau interdependen astfel nct s formeze un ntreg$

% # Prin sitem fizic se nelege orice poriune din univers pentru care se poatedelimita un "interior" i un "exterior", din punct de vedere funcional

# automatica, cibernetica i informatica

Automatica,

&sistem automat

' (

Automatizarea &

)


3/73

1.DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.2.Sisteme abstracte. Sisteme orientate. Exemple

2

1.2. Sisteme abstracte. Sisteme orientate. Exemple

Orice sistem fizic, ca element al lumii reale, nu este un element izolat; el face parte in-tegrant dintr-un context mai general, interaciunea sa cu exteriorul realizndu-se prin schimbde informaie, energie, substan, care determin modificarea n timp i spaiu a unor mrimi

caracteristice, atribute ale obiectului respectiv. O astfel de reprezentare este prezentat nFig.1.2.1.

Fig.1.2.1 Fig.1.2.2

Legtura sistemului (obiectului) fizic cu exteriorul se realizeaz sub form de semnaleprin aa-numitele variabile terminale.

n teoria sistemelor prezint interes relaiile matematice dintre variabilele terminale.Toate aceste relaii matematice definesc modelul matematical sistemelui (obiectului) fizic.

Prin sistem abstract sau, pe scurt, sistem se nelege fie modelul matematic al unuisistem (obiect) fizic, fie rezultatul unui complex de relaii de sintez.

Prin sistem abstract fizic-realizabil (sistem cauzal) se nelege sistemul abstract,obinut prin operaii de sintez, care poate fi materializat printr-un model fizic. n caz contrar,sistemul este fizic nerealizabil.

Prin sistem (fizic sau abstract) orientat se nelege sistemul la care variabilele

terminale sunt ordonate dup criterii de cauzalitate (cauz-efect). La un sistem orientat,variabilele terminale se mpart n dou categori: mrimi de intrare i mrimi de ieire.Mrimile de intrare (sau intrrile) reprezint cauzele prin care exteriorul afecteaz

interiorul.Mrimile de ieire(sau ieirile) exprim efectele cauzelor exterioare i interioare prin

care interiorul influeneaz sau informeaz exteriorul. Mrimile de ieire nu influeneazmrimile de intrare. Aceasta este o proprietate direcional a sistemului: ieirile suntinfluenate de intrri i nu invers.

Definirea ieirilor i intr rilor corespunztoare ilustreaz precizarea, din punct devedere funcional, a acelui interior i exterior al sistemului menionat n definiie.

De obicei, o mrime de intrare se noteaz cu litera u, iar dac sistemul are p intrri,

prin litere indexate inferior u1 u2up constituind vectorul de intrare u, definit prin vectorulcoloan u= [u1 u2up]

T.

Pentru ieire se folosete litera y sau literele 1 2 r dac sistemul are r ieiri,

care constituie vectorul de ieire definit prin vectorul coloan = [ 1 2 r]T

.ntr-o schembloc, un obiect abstract orientat se reprezint grafic printr-un dreptunghi

la care mrimile de intrare sunt reprezentate prin segmente de dreapt orientate prin sgeispre dreptunghi, perpendiculare pe laturi, iar mrimile de ieire, prin segmente de dreaptorientate prin sgei dinspre dreptunghi, Fig.1.2.2. Sgeile indic sensul de transmitere ainformaiilor. n interiorul dreptughiului se precizeaz tipul sistemului printr-o anumit

caracteristic: denumire, funcie de transfer, rspuns la semnal treapt etc.Dac sistemul are mai multe intrri sau mai multe ieiri este denumit uneori sistem

multivariabil.


4/73


3

n general, exist trei tipuri de reprezentri grafice ale sistemelor:1. Schema fizic sau schema constructiv. Aceasta poate fi un desen al obiectului fizic sau oschice evideniaz modul n care este construit obiectul.2. Schema de principiusau schema funcional, este o reprezentare grafic a sistemului fizic

utiliznd normele i simbolurile specifice domeniului cruia i aparine sistemul fizic respec-tiv, reprezentat n aa fel nct funcionarea (comportarea) sistemului spoat fi neleas.3. Schema bloceste o reprezentare grafic a relaiilor matematice dintre variabilele ce descriucomportarea sistemului. Schema bloc, ilustreaz sistemul abstract corespunztor,reprezentarea efectiv fiind realizata folosind fie dreptunghiuri, fie grafe de fluen.Exemplul 1.2.1. Motorul de curent continuu

Considerm un motorul de c.c. cu excitaie separat cuplat la o instalaie mecanic.Privit ca obiect fizic, el are o serie de atribute geometrice, mecanice, electrice, economice. El

poate fi reprezentat printr-o schem ca cea din Fig.1.2.3.

Made inCraiova

EP Tip MCC3

Cr

UrUe Ir

Ur

UeCr S1ext

Ur

Ue

Cr S2ext

int

Ir

Fig. 1.2.3. Fig. 1.2.4. Fig. 1.2.5.Din punct de vedere al teoriei sistemelor, acest motor poate fi privit ca un obiect orientat

pentru care se poate defini un interior i un exterior.1. Considerm c, ntr-un anumit context, la acest motor intereseaz numai viteza de rotaie a axului su. Rezult c, se poate preciza un sistem orientat avnd ca mrime de ieire

viteza , iar ca mrimi de intrare toate cauzele care modific aceast vitez: tensiunea

rotoric Ur, tensiunea de excitaie Ue, cuplul rezistent Cr, temperatura mediului extern ext.Sistemul orientat corespunztor este reprezentat n Fig.1.2.4. Relaiile matematice dintre w i

Ur, Ue, Cr, ext sunt notate prin S 1care exprim n fapt sistemul abstract. Acest sistemabstract reprezint modelul matematic asociat obiectului fizic (sau sistemului) orientat .2. Considerm acum c, la motorul de c.c. intereseaz dou mrimi: curentul rotoric Ir i

temperatura intern int. Atunci, aceste dou variabile sunt alese ca mrimi de ieire. Intrrile

sunt: Ur, Ue, Cr,ext. Sistemul orientat corespunztor este reprezentat n Fig.1.2.5. Sistemul

abstract, pentru acest caz, este notat cu S 2.

Avnd n vedere c S 1i S 2 se refer la acelai obiect fizic, rezulta concluzia: Pentruun acelai obiect fizic pot fi ataate sisteme abstracte diferite, aceasta depinznd de ceea ce seurmrete n legtur cu acel obiect.Exemplul 1.2.2. Circuit electric RC simplu

Considerm un circuit electric reprezentat printr-o schem de principiu ca ceaprezentat n Fig.1.2.6.

ii =0R

iC

0

2

4 6 8

voli

Generator comandat

u1 = xuC u2=y

Zi=

K2iC

Amplificatorde tensiune

de tensiune u= y= u21S

1S

Tx + x = K uy = K x

.1

2

Fig. 1.2.6. Fig. 1.2.7.


5/73


4

Se vede c acest circuit este alctuit dintr-un circuit RC ce funcioneaz n goldeoarece ieirea acestuia este conectat la un amplificator cu impedana de intrare infinit i

un factor de amplificare K2.

Presupunem cpentru acest circuit intereseaz numai tensiuneau2

a amplificatoruluide tensiune, aa nct aceasta va fi aleas drept mrime de ieire i va fi notat cu = u2 .Singura cauz care afecteaz sensibil tensiunea u2 este poziia a butonului generatorului de

tensiune care va reprezenta mrimea de intrare i va fi notat prin u= . Schema bloc

corespunztoare acestui obiect orientat, ce evideniaz variabil de ieire = u2 i de intrareu= este reprezentat n Fig.1.2.7.

Sistemul abstract ataat acestui obiect fizic orientat, notat cu S 1, este exprimat prin

relaiile matematice dintre = u2 i u= .

Pentru circuitul din Fig.1.2.6 se se pot scrie urmtoarele relaii:x= uc; iC = C $ x. ;u1+ Ri + x= 0; u1= K1= K1u; i= iC ; = K2x; T= RCde unde rezult

S1 :T $ x. + x= K1 $ u

y= K2x (1.2.1)n (1.2.1) sistemul abstract este exprimat prin aa-numitele "ecuaii de stare".

Variabila x, la momentul de timp t, notat x(t), reprezint starea sistemului la acel moment t.Prima ecuaie este ecuaia de stare propriu-zis, iar cea de-a doua este denumit ecuaiaieirii.

Modelul matematic S 1poate fi exprimat i prin ecuaia diferenialS1 : T $ . + = K1K2 $ u (1.2.2)

Relaia (1.2.2) reprezint o relaie intrare-ieire i poate fi rescris sub forma:S1 : R(u, ) = 0 unde R (u, ) = T $

.+ K1K2 $ u (1.2.3)

Aceste trei forme de reprezentare a sistemului abstract se numesc forme implicite dereprezentare sau reprezentare prin ecuaii.

Evoluia n timp a tensiunii pe condensator x(t) poate fi obinut integrnd prima

ecuaie din (1.2.1) pentru t m t0 i x(t0) = x0 , rezultnd:

x(t) = ett0

T $ x0+K1T $

t0

t

etT $ u()$ d

. (1.2.4)Orice relaie de forma (1.2.4) poate fi scris ntr-o form concentrat,

x(t) = (t, t0, x0, u[t0,t]) (1.2.5)numit relaie intrare-stare iniial-stare, sau pe scurt relaie i-si-s.

De asemenea, substituind (1.2.4) n relaia ieirii din (1.2.1) se obine expresiaevoluiei n timp a ieirii,

y(t) = K2 $ ett0

T $ x0+K1K2

T $t0

t

etT $ u()$ d

(1.2.6)care poate fi exprimat ntr-o form concentrat, prin:

(t) = (t, t0, x0, u[t0,t]) (1.2.7)

Aceasta este aa-numita relaie intrare-stare iniial-ieire, sau relaia i-si-e.Evoluia n timp a intrrii este exprimatprintr-o funcie

u : Td U , td u(t) . (1.2.8)


6/73


5

Astfel, segmentul de intrare u [t0,t] este graficul restriciei funciei u pe intervalul de observare[t0 , t ]. n acest caz, mulimea U poate fi, intervalul [0, 10] voli.

Vom nota prin mulimea intrrilor admise,

= {u | u : TdU, admisea fiaplicatesistemului } (1.2.9)Sistemul S 1 este bine definit, specificnd trei elemente: mulimea i cele dou relaii i, S1 = { , ,} (1.2.10)

Aceasta este o aa-numit form explicit a reprezentrilor sistemului abstract saureprezentarea prin soluii.

O form explicit poate fi reprezentat i n domeniul complex s prin aplicareatransformrii Laplace ecuaiei difereniale, dac aceasta este liniar i cu coeficieni constanin timp, ca cea din (1.2.2):

L{T $ y. (t) + y(t)} = L{K1K2u(t)} g T[sY(s) y(0)} + Y(s) = K1K2U(s)

Rezult Y(s) = 1 2Ts+1 $ U(s) +T

Ts+1 $ y(0) (1.2.11)Din (1.2.11) se poate deduce,

H(s) = 1 2Ts+1 (1.2.12)care este aa-numita funcie de transfer a sistemului. n general, funcia de transfer poate fidefinit ca raportul dintre transformata Laplace a ieirii Y(s) i transformata Laplace a intrriiU(s) n condiii iniiale nule:

H(s) =Y(s)U(s) y(0)=0 (1.2.13)

Sistemul S 1poate fi reprezentat de asemenea prin funcia de transfer H(s).Uneori, o form explicit se obine utiliznd aa-numiii operatori integratori-

derivatori. Notnd prin D= d/dt operatorul de derivare, ecuaia diferenial (1.2.2) seexprimprin T $ Dy(t) + y(t) = K1K2 $ u(t) , de unde, formal, se obine:

y(t) =K1K2TD+1 u(t)g y(t) = S(D)u(t) unde S(D) =

K1K2TD+1 (1.2.14)

Uneori, o form explicit se obine utiliznd aa-numiii operatori integratori-derivatori.

Notnd prin D= d/dt operatorul de derivare, ecuaia diferenial (1.2.2) se exprim prinT $ D (t) + (t) = K1K2 $ u(t) , de unde, formal, se obine:

y(t) =K1K2TD+1 u(t)g y(t) = S(D)u(t) unde S(D) =

K1K2TD+1 (1.2.15)

Astfel, sistemul S 1poate fi reprezentat printr-un operator integrator-derivator, notat S(D).Considerm acum c, ntr-un alt context, pentru circuitul electric reprezentat prin

schema din Fig.1.2.6 intereseaz curentul i. Ieirea este acum (t) = i(t) , iar intrarea,considernd aceleai condiii experimentale, este de asemenea u(t) = (t) . Sistemul orientatcorespunztor este reprezentat n Fig.1.2.8.

Fig.1.2.8.Modelul matematic asociat acestui sistem orientat este acum sistemul abstract S 2reprezentat, de exemplu, prin ecuaiile de stare prezentate n Fig.1.2.8.

u= y= i2S 2S

.Tx + x = K u1y = 1Rx R

1K+ u


7/73

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.3. Intrri. Ieiri. Relaii intrare-ieire

6

1.3. Intrri. Ieiri. Relaii intrare-ieire1.3.1. Intrri. Ieiri

Variabila timpse noteaz cu litera t pentru aa-numitele sisteme continue sau sistemecontinuale i cu litera k pentru sistemele discrete.

Domeniul timpT, sau domeniul de observare, este domeniul de definiie al funciilorce descriu evoluia n timp a mrimilor caracteristice ale unui sistem. Pentru sistemele

continue n timp T R, iar pentru sistemele discrete n timp T` Z.Variabila (mrimea) de intrareeste funcia

u :Td U; t d u(t) (1.3.1)unde U este mulimea valorilor pe care le poate lua intrarea. Dac exist p intrri reale

(exprimate prin numere reale), atunci U ` Rp

.Mulimea intrrilor admise reprezint mulimea funciilor u care se pot aplica unui

sistem orientat.

Segmentul de intrare pe un interval [t0, t1] ` T, numit interval de observare, este

graficul funciei u pe acest interval. Se noteaz u[t0,t1],unde

u[t0,t1] = {(t, u(t)), t c[t0, t1]} (1.3.2)Cnd se spune c unui sistem i s-a aplicat o intrare pe un interval [t0, t1], trebuie s se

neleag faptul c intrarea s-a modificat n timp corespunztor unui grafic dat u[t0,t1], adiccorespunztor unui segment de intrare. Uneori, n funcie de context, pentru variabila u vomnelege urmtoarele:

u - o funcie de forma (1.3.1).

u[t0,t1] - un segment de forma (1.3.2) pe un intervalul de observare precizat.u(t) - o lege de coresponden corespunztoare funciei (1.3.1).

Variabila u(t) poate de asemenea fi privit ca legea de coresponden corespunztoarefunciei (1.3.1) sau valoarea acestei funcii la un moment de timp specificat t.

Variabila (mrimea) de ieireeste funcia

y :Td Y; t d y(t), (1.3.3)unde Yeste mulimea valorilor pe care le poate lua ieirea (sau mulimea tuturor ieirilor).

Se noteaz prin mulimea ieirilor admiseadic mulimea tuturor funciilor y carepot fi obinute de la un sistem atunci cnd la intrare se aplic intrrile ce aparin lui .

Pereche intrare-ieire. Dac unui sistem fizic i se aplic o intrare u[t0,t1], rspunsul laieire are o variaie n timp care se exprim prin segmentul de ieire [t0,t1], unde

[t0,t1]={(t, y(t)), t c[t0, t1]}, (1.3.4)ceea ce nseamn c unei intrri i corespunde o ieire.

Perechea segmentelor

[u[t0,t1] ; [t0,t1]] = (u, ) (1.3.5)observat la un sistem fizic cosntituie opereche intrare-ieirea sistemului respectiv.1.3.2. Relaii intrare-ieire

Totalitatea perechilor intrare-ieire care descriu comportarea unui obiect fizic

reprezint sistemul abstract. n locul listei specifice a funciilor de intrare i a funciilorcorespunztoare de ieire, sistemul abstract este, de regul, caracterizat ca o clas a tuturorfunciilor de timp care satisfac o mulime de ecuaii matematice.


8/73


7

O relaie implicit, exprimat prin R(u, y) = 0, sau explicit, exprimat printr-unoperator S, y = S{u} reprezint o relaie intrare-ieirepentru un sistem orientat dac:1. Orice pereche intrare-ieire observat la acel sistem verific aceast relaie.2. Orice pereche (u, y) care verific aceast relaie este o pereche intrare-ieire a acelui sistem

orientat.Trebuie menionat c prin notaia operatorial y =S{u} sau chiar y =Su, se nelege

c operatorul S se aplic intrrii (funciei) u i, ca rezultat, se obine ieirea (funcia) y.

Dac n ecuaia diferenial T .x+x=K1u din Ex.1.2.2, se face substituia x = y/K2,

T .y+y=K1K2u g R(u,y) =0 , R(u,y) =T

.y+yK1K2u (1.3.6)

care reprezint o relaie intrare-ieire n form implicit.

Notnd cu D= ddt , operatorul de derivare n raport cu timpul, D =

.

se obineTDy(t) +y(t) K1K2 u(t) =0 g (TD +1)y(t) K1K2u(t) =0 g

y(t) = K1 K2

TD +1u (t) g y(t) = Su(t), S = K1 K2

TD +1 (1.3.7)

Aici (t) = Su(t) reprezint o relaie intrare-ieire n form explicit printr-un operatorintegrator-derivator S. Aceast relaie este exprimat n domeniul timp, dar ea poate fiexprimat n orice domeniu dac ntre acestea exist o coresponden biunivoc.

De exemplu, aplicnd transformarea Laplace relaiei (1.3.6), aceasta se poate expriman domeniul complex s astfel,

Y(s) =1 2

Ts+1U(s) + TTs+1 x(0) (1.3.8)

de unde se poate defini un alt operator H(s) numit funcie de transfer:

H(s) =

Y(s)

U(s) x(0)=0=

K1K2Ts+1 (1.3.9)

Relaia dintre transformata Laplace a ieirii Y(s) i transformata Laplace a intrriiU(s) considernd condiiile iniiale nule,Y(s) = H(s)U(s) (1.3.10)

este o alt form a relaiei explicite intrare-ieire.Exemplul 1.3.1.Circuitul electric RC dublu.

Se consider un circuit electric format prin conectarea fizic n serie, unul dup altul,a dou circuite RC simple, a crui schem de principiu este reprezentat n Fig.1.3.1.

C 1

1A1i

1A ' 1B '

1B

1C

1R

2A ' 2B '

2A 2i 2B2R

2Cu = x

C 2u = xu

Ci 1 Ci 2

y

i= 0

1 2

u yS

Fig. 1.3.1. Fig. 1.3.2.Presupunem c al doilea circuit RC funcioneaz n gol, iar primul este comandat

printr-o tensiune u aplicat la bornele A1,A1

. Intereseaz tensiunea y la bornele B2,B2

care vafi mrimea de ieire a acestui sistem fizic. Deoarece singura mrime care afecteaz ieirea yeste tensiunea u, atunci sistemul orientat corespunztor poate fi reprezentat ca n Fig.1.3.2.

Sistemul abstract, notat cu S, va fi definit stabilind relaiile matematice dintre u i y.Pentru aceasta, din schema de principiu, se observ mai nti c exist 8 variabile ce variaz ntimp: u, i

1

, iC1

, uC1

= x1

, iC2

, uC2

= x2

, i2

i y. Celelalte variabile R1

, R2

, C1

, C2

sunt constante ntimp i reprezint parametri circuitului.Deoarece u este o cauz ea este o variabil liber iatunci vom cuta numai 7 ecuaii independente.


9/73


8

Aceste ecuaii pot fi scrise folosind teoremele lui Kirchhoff i legea lui Ohm. Cunotaiile din figur se obine:

1. ic1 =i1 i2 2. ic2 =i2 3. ic1 =C1x.

1 4. ic2 =C2x.

2

5. i1=

1

R1(

x1+

u)

6. i2=

1

R2(x1

x2)

7. y = x2Se observ c dou variabile i anume x1 i x2 apar prin derivata lor de ordinul unu;

din aceast cauz, eliminnd toate variabilele intermediare pentru a obine o relaie ntre u i

y, aceasta va avea forma unei ecuaii difereniale de ordinul doi.

Notnd cu T1 = R1C1 i T2 = R2C2 cele dou constante, dup cteva substituii se obine:

T1x.

1 = 1 + R1R2

x1+ R1R2

x2+ u (1.3.11)T2x

.2 =x 1 x2 (1.3.12)

y = x2 (1.3.13)care, dup mprire cu T1 i, respectiv T2, iau forma final:

x

.1=

1

T1 1 +

R1

R2 x1+

1

T1

R1

R2 x2+

1

T1 u(t) (1.3.14)

S:x.

2 = 1T2

x1 1T2

x2 (1.3.15)

=x2 (1.3.16)Ecuaiile (1.3.14), (1.3.15), (1.3.16) reprezint ecuaiile de stare corespunztoare

sistemului orientat din Fig.1.3.2 i ele constituie sistemul abstract S reprezezentat sub formaecuaiilor de stare. Aceste ecuaii pot fi rescrise ntr-o form concentrat matriceal-vectorial,

x.

=Ax +buS: y = cTx + du (1.3.17)

unde:A=

1T1

(1 + R1R2

) 1T1

R1R2

1T2

1T2 ;

b=

1T

1

0 ;c=

0

1 ; d = 0 , (1.3.18)De regul, acestea se numesc:

A - matricea sistemului; b - vectorul de comandc - vectorul de ieire; d - factorul pentru legtura direct intrare-ieire.Relaia intrare-ieire R(u, y) = 0, menionat mai sus, poate fi exprimat printr-o

singur ecuaie diferenial ntre u i y. Pentru aceasta, se pot folosi, de exemplu, relaiile(1.3.14), (1.3.15), (1.3.16) sau, mai simplu, (1.3.11), (1.3.12), (1.3.13).

nlocuind x2 din (1.3.13) n (1.3.12) i nmulind prin T1 se obineT1T2y

.=T 1x1 T1y e T1 x1 =T 1T2y

.+T1y (1.3.19)

Derivnd (1.3.19) n raport cu timpul i nlocuind apoi T1x. 1 din (1.3.11) ix1 =T2

.+ , tot din (1.3.19), dup cteva calcule simple obinem:

T1T2y+ T1+ 1 + R1R2

T2 y.

+ y=u . (1.3.20)Aceasta este ecuaia diferenial ce exprim modelul matematic (sistemul abstract)

ataat sistemului orientat. El poate fi prezentat ca o relaie intrare-ieire (i-e):R(u,y) =0 unde R(u,y) =T1T2y+ T1+ 1 +

R1R2

T2 y.

+ y u (1.3.21)

Dac se notezddt =D, relaia i-e se poate exprima sub o form explicit:

y(t) = T1T2D2

+T1+T2 1+

R1

R2 D+1

u(t) e y(t) =S(D)u(t)

(1.3.22)unde S(D) este un operator integrator-derivator.

Pentru simplitate, vom considera urmtoarele valori ale parametrilor:


10/73


9

R1= R ; R 2= 2R ; C1= C ; C2= C/2 e T1= T2= T = R CAstfel, ecuaia diferenial (1.3.20) devine:

T2 + 2.5T.

+ =u (1.3.23)

Relaia i-e se poate exprima i n domeniul complex s, utiliznd transformareaLaplace (TL). Aplicnd TL relaiei (1.3.23) se obine:

Y(s) =L{y(t)} ; U(s) =L{u(t)} e

T2[s2Y(s) s (0+).

(0+)] + 2,5T[sY(s) (0+)] + Y(s) =U(s) e

Y(s) = 1

T2s2+2,5Ts+1U(s) +

T s+2,5T

T2s2+2,5Ts+1y(0+) +

T2

T2s2+2,5Ts+1y.

(0+) (1.3.24)Notnd cu L(s) polinomul caracteristic:

L(s) = T2s2 + 2,5Ts + 1 (1.3.25)ieirea Y(s) n domeniul complex s, va fi:

Y(s) = 1L(s) U(s) +

T2s+2,5T

L(s) y(0+) +

T2

L(s) y.

(0+) (1.3.26)

Transformata Laplace a ieirii Y(s), depinde de transformata Laplace a intrrii U(s), precumi de dou condiii iniiale: y(0+)- valoarea ieirii i y

.(0+)- valoarea derivatei n timp a ieirii

la momentul 0+.

Definim H(s) prin,

H(s) = 1L(s) =

(s)

U(s) conditii initiale nul (1.3.27)unde H(s) reprezint funcia de transfera sistemului.

Funcia de transfera unui sistem este raportul dintre transformata Laplace a ieirii itransformata Laplace a intrrii care a produs (determinat)acea ieire n condiii iniiale nule,dac i numai dac acest raport nu depindede forma intrrii.

Rspunsul (ieirea) n timp a sistemului se poate obine utiliznd transformareaLaplace invers. Ecuaia caracteristic, L(s) = T2s2 + 2.5Ts + 1 = 0, are rdcinile

1,2 = 52 T!

12 25T

2 16T2 /2T2 (1.3.28)

Atunci, polinomul caracteristic se scrie sub forma

L(s) = T2(s - 1)(s - 2) cu 1= -1/2T i 2= -2/T. (1.3.29)

O metod de a calcula TL invers const n descompunerea ntr-o sum de fracii

simple a funciei raionale (1.3.26)ce reprezint rspunsul sistemului. Obinem:

H(s) = 1

T2(s1)(s2) ; H(s) =

As1

+ Bs2

e A= 23T ; B=

23T

L-11

s1=e1t =1(t) L-1

1s2

=e2t =2(t)

L-1 1s1

U(s) =0t1(t )u()d L-1

1s2

U(s) = 0t 2(t )u()d

(t) = = 3 [41(t) 2(t)]y(0) + 3[1(t) 2(t)] y.

(0) + 3T0[1(t ) 2(t )]u()d

unde (1.3.30)

1(t) =e1t =e

t2T (1.3.31)

2(t) = e2t =e

tT/2 (1.3.32)

Putem exprima aceast relaie i n funcie de momentul iniial t0 astfel:y(t) = 3 [41(t t0) 2(t t0)]y(t0) + 3[1(t t0) 2(t t0)]y

.(t0) +

+ 23T

t0

t [1(t ) 2(t )]u()d (1.3.33)

Relaia (1.3.33) reprezint o relaie intrare-stare iniial-ieire de forma(t) =(t, t0, x0, u[t0,t]) (1.3.34)


11/73

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.4. Conceptul de stare. Sisteme dinamice

10

1.4. Conceptul de stare. Sisteme dinamice

1.4.1. Aspecte generalePrin starea a unui sistem la un moment de timp se nelege mulimea informaiilor

suplimentare necesare pentru ca s se poat determina n mod univoc ieirea cunoscand

intrarea la acel moment.Starea unui sistem abstract este o colecie de elemente care, mpreun cu intrarea u(t)

pentru orice t m t0, determinunivoc ieirea y(t) pentru orice t m t0 .

Starea sistemului, la un moment de timp, nglobeaz toat informaia esenial din

evoluia anterioar a acestuia, pentru a determina, ncepnd cu acel moment, ieirea, cnd se

cunoate intrarea.

O variabil de stare notat cu x(t), scalar sau vectorial, este o funcie de timp ale

crei valori la orice moment de timp precizat reprezint starea sistemului la acel moment.

De obicei, n majoritatea cazurilor considerate, starea este o mulime de n numere, iar x(t)

este un vector n-dimensional ce conine n funcii de timp.Spaiul strilor, notat cu X, estemulimea tuturor valorilor x(t).

Reprezentarea de stare nu este unic. Pot exista numeroase posibiliti de a exprima

relaiile de legtur dintre ieire i intrare.

Starea unui sistem este legat de un moment de timp. De exemplu, starea x0 la un

moment de timp t0 se noteaz cu (x0, t0 )= x(t0).

Numrul minim de elemente ale vectorului de stare, pentru care ieirea poate fi univoc

determinat, atunci cnd se cunoate intrarea, reprezint ordinul sistemuluisau dimensiuneasistemului.Cnd mulimea numerelor strict necesare este infinit atunci ordinul sistemuluieste infinit sau sistemul este infinit-dimensional.

1.4.2. Definirea variabilei de stareVariabila de stareeste o funcie

x:Td X , td x(t), (1.4.1)

unde X reprezint spaiul strilor, ce exprim evoluia n timp a strii sistemului.Starea nu este o constant. Graficul acestei funcii pe un interval [t0, t1], notat cu

x[t0, t1] = {(t, x(t)), t c [t0, t1] } (1.4.2)se numete traiectorie de stare pe intervalul [t0, t1]. Variabila de stare x(t) este o funcieexplicit de timp, dar depinde implicit i de momentul iniial t0, de starea iniial x(t0) = x0 i

de intrarea u(), c[t0, t].

Aceast dependen funcional numit relaie intrare-stare iniial-stare(relaie i-si-s)sau traiectorie (mai exact traiectorie n timp), poate fi scris sub formax(t) =(t, t0, x0, u[t0,t]) x0=x(t0) (1.4.3)

O relaie de forma (1.4.3) reprezint o relaie intrare-stare iniial-stare i exprim

evoluia strii unui sistem dac sunt satisfcute urmtoarele patru condiii:

1. Condiia de unicitate. Pentru o stare iniial dat x(t0)= x0, la momentul t0 i o intrare u[t0, t]bine precizat, traiectoria de stare este unic. Aceasta poate fi exprimat prin: "Dndu-se

starea x0 la momentul t0 i o intrare real u(), pentru m t0, exist o unic traiectorie

(t, t0, x0, u[t0,t])pentru toi > t0".

2. Condiia de consisten. Pentru t = t0, relaia (1.4.3) trebuie s verifice condiia:x(t)|t=t0 =x(t0) =(t0, t0, x0, u[t0,t0]) =x0 . (1.4.4)


12/73

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.4. Conceptul de stare. Sisteme dinamice

11

3. Condiia de tranziie a strilor. Orice stare intermediar a unei traiectorii de stare constituieo stare iniial pentru evoluia viitoare a strii.

Pentru orice t2m t0, o intrare u[t0,t2] face ca starea x(t0) s evolueze n x(t2),

x(t2

) =(t2, t

0, x(t

0), u

[t0,t2])

dar, pentru orice moment intermediar t1 cu t0[ t1 [ t2, aplicnd intrarea u[t0 ,t1], o submulime

a segmentului u[t0 ,t2] ceea ce nseamn c

u[t0,t2] =u[t0,t1] 4 u[t1,t2] , (1.4.5)se obine starea intermediar x(t1)

x(t1) =(t1, t0, x(t0), u[t0,t1]) .Aceasta va aciona ca stare iniial, din momentul t1, i va determina aceeai valoare x(t2)

x(t2) =(t2, t0, x(t0), u[t0,t2]) =(t2, t1, (t1, t0, x(t0) , u[t1,t2]))(1.4.6)

x(t1)4. Condiia de cauzalitate. Starea x(t) la orice moment t sau traiectoriile (t, t0, x0, u[t0,t]) nudepind de intrrile viitoare u() pentru > t. Aceast condiie asigur cauzalitatea sistemului

abstract care trebuie s corespund cauzalitii sistemului fizic original orientat.

1.4.3. Traiectorii n spaiul strilor

Relaia intrare-stare iniial-stare (i-si-s)

x(t) = (t, t0, x0, u[t0,t]) (1.4.7)care exprim traiectoria n timpa strii este o funcie explicit de timp.

Dac vectorul x este n-dimensional, exist n traiectorii n timp, cte una pentru fiecare

component

xi(t) = i(t, t0, x0, u[t0,t]) , i= 1, ..., n . (1.4.8)Aceste traiectorii pot fi reprezentate grafic ntr-un spaiu (n+1)-dimensional consisernd t ca

parametru implicit, crescnd de la t0, sau ca n grafice separate x

i(t),t m t

0, i = 1, ..., n. Deseori

acest grafic poate fi fcut cu eliminarea lui t din soluiile (1.4.8) ale ecuaiilor de stare, ceea

ce reprezint o traiectorie n spaiul strilor.Dac notm xi = xi(t), i = 1, ...,n , relaia i-si-s (1.4.8) se scrie sub forma:

x1 = 1(t, t0, x0, u[t0,t])

xi = i(t, t0, x0, u[t0,t]) (1.4.9)

xn = n(t, t0, x0, u[t0,t]) ,i eliminnd t din cele n relaii anterioare vom determin o traiectorie n spaiul strilor,exprimat implicit prin

F(x1, x

2, ..., x

n, t

0, x(t

0)) = 0 (1.4.10)

unde s-a considerat o intrare dat (cunoscut). Cele mai simple expresii sunt obinute dac

intrarea este constant pentru orice t.

Dac componentele vectorului de stare sunt ieirea i primele (n-1) derivate ale

acesteia n raport cu timpul, spaiul strilor se numete spaiul fazelor, iar traiectoria dinspaiul fazelor se numete traiectorie de faz.

Traiectoria din spaiul strilor poate fi obinut uor direct din ecuaiile de stare,

exprimate printr-un sistem de ecuaii difereniale de ordinul unu. Pentru n = 2, graficul poatefi exploatat eficient nplanul strilorsauplanul fazelor.


13/73

1. DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.5. Exemple de sisteme dinamice

12

1.5. Exemple de sisteme dinamice

1.5.1. Sisteme difereniale cu parametri concentraiAceste sisteme sunt sisteme continue n timp. Att intrarea u ct i ieirea y sunt

vectori de funcii de timp:

u ` , u = (p %1 ) vector u = [u 1 , u 2 , ... up ]T

y ` , y = (r%1 ) vector y = [y 1 , y 2 , ... y r]T (1.5.1)Relaia intrare-ieire (i-e) este constituit dintr-un set de ecuaii difereniale:

Fi(y,y(1),...,y(ni),u,...,u (mi), t) =0

i=1, r (1.5.2)

Dimensiunea sau ordinul sistemului esten [

i=1

r

ni.Forma standard a ecuaiilor de stare ale acestui sistem se obine transformnd sistemul

de ecuaii difereniale de ordinul n ntr-un sistem echivalent de n ecuaii difereniale deordinul I (forma normal Cauchy) care nu conin derivatele n raport cu timpul ale intrrii:

x.

(t) =f(x(t), u(t), t), t mt0, x(t0) =x0

y(t) =g(x(t), u(t), t)

u ` (1.5.3)

Aceasta constituie forma implicit a sistemului dinamic

S = {, f, g} sau S = {, f, g, x}

unde f este o funcie care exprim o ecuaie diferenial, g exprim o relaie algebric, iar x

este un n-vector.

Prima ecuaie din (1.5.3) reprezint ecuaia de stare propriu-zis, iar a doua reprezintrelaia (ecuaia) de ieire.

x(t) = [x1(t),...,xn(t)]T reprezint starea sistemului.

Numrul n de elemente ale acestui vector reprezint dimensiunea sau ordinulsistemului.

Este clar c f i g sunt funcii vectoriale:

f(x(t), u(t), t) = [f1(x(t),u(t),t) f2(x(t),u(t),t) . . . fr(x(t),u(t),t)]T

g(x(t), u(t), t) = [g1(x(t),u(t),t) g2(x(t),u(t),t) . . . gp(x(t),u(t),t)]T.

Dimensiunea vectorului de stare x nu are nici o legtur cu numrul p al intrrilor i

numrul r al ieirilor.Dac funcia f(x,u,t) ndeplinete condiiile Lipschitz n raport cu variabila x, atunci

soluia x(t) exist i este unic pentru orice t m t0.

Sistemul se numete invariant n timp sau autonom dac variabila timp nu apareexplicit n ecuaiile de stare (n funciile f i g), iar forma acestora este:

x.

(t) =f(x(t), u(t)), t mt0, x(t0) =x0

y(t) =g(x(t), u(t))

u` (1.5.4)

sau, mai simplu

x

.

=f(x,u)y=g(x,u) . (1.5.5)


14/73


13

Dac funciile f i g sunt liniare n raport cu x i u, sistemul se numete liniar continuun timp.

Ecuaiile de stare corespunztoare unui sistem liniar sunt

S:

x.

(t) =A(t)x(t) +B(t)u(t)

y(t) =C(t)x(t) +D(t)u(t) (1.5.6)

Deoarece matricele A, B, C, D depind de variabila timp, un astfel de sistem se

numete sistem liniar multivariabil variant n timp: mai multe intrri (p-intrri) - mai multeieiri(r-ieiri).

Matricele de descriere au urmtoarele denumiri:

A(t), (nxn) - matricea sistemului;

B(t), (nxp) - matricea de comand (de intrare);

C(t), (rxn) - matricea de ieire;

D(t), (rxp) - matricea auxiliar sau

matricea de legtur direct intrare-ieire.

Ecuaiile de stare ale unui sistem liniar monovariabilsau sistem cu o singur intrare (p= 1) i o singur ieire (r = 1) sunt:

S : x

.(t) =A(t)x(t) +b(t)u(t)

y(t) =cT(t)x(t) +d(t)u(t) (1.5.7)n acest caz u(t) i y(t) sunt scalari, matricea B(t) degenerez ntr-un vector coloan

notat b(t), matricea C(t) degenerez ntr-un vector linie notat cT(t), iar matricea D(t) degenere-z ntr-un scalar notat d(t).

Dac toate aceste matrice nu depind de timp (au toate elementele constante), sistemulse numete sistem (dinamic) liniar invariant n timp(SLIT), avnd forma:

S : x

.

=Ax + Buy=Cx + Du (1.5.8)

Se observ c n oricare dintre formele ecuaiilor de stare, nu apar derivatele n raportcu timpul ale intrrii.

1.5.2. Sisteme cu ntrziere (Sisteme cu timp mort)

Undeva, n aceste sisteme, exist cel puin un operator de ntrziere, ceea ce nseamn

c n sistemele fizice exist elemente n care informaiile se transmit cu vitez finit.

Ecuaiile de stare au forma:

x.

(t) =f(x(t), x(t ), u(t), t) , t mt0 (1.5.9)

(t) =g(x(t), x(t ), u(t), t) (1.5.10)

Ordinul sistemelor cu ntrziere este infinit i nu are nici o legtur cu numrul

elementelor vectorului x.

1.5.3. Sisteme discrete n timp

Ecuaiile de stare care descriu aceste sisteme sunt exprimate prin ecuaii cu diferene,

intrarea uk, ieirea yki starea xkfiind iruri de numere.

Forma general a ecuaiilor de stare este:

xk+1 = f(xk, uk, k) (1.5.11)

yk= g(x

k, u

k, k) (1.5.12)

unde k reprezint pasul curent, iar k+1 - pasul urmtor.


15/73


14

Dac funciile f i g sunt liniare n raport cu x i u, ecuaiile de stare corespunztoaresunt:

xk+1 = Akxk+ Bkuk (1.5.13)yk= Ckxk+ Dkuk (1.5.14)

i reprezint un sistem liniar discret variant n timp. Matricele A, B, C, D au aceleaidenumiri ca n cazul sistemelor difereniale.

Dac matricele A, B, C, D au toate elementele constante n raport cu variabila k,atunci sistemul se numete sistem liniar discret invariant n timp.

Ecuaiile de stare ale unui sistem liniar discret monovariabilvariant n timp sau sistemcu o singur intrare i o singur ieire sunt:

xk+1 = Akxk+ bkuk (1.5.15)

yk=ckT

xk+ dkuk (1.5.16)n acest caz uk i yk sunt scalari, matricea Bk degenerez ntr-un vector coloan

notat bk, matricea Ck degenerez ntr-un vector linie notatck

T

, iar matricea Dk degenerez ntr-un scalar notat dk.

1.5.4. Alte tipuri de sisteme

* Sisteme cu parametri distribuii

Sunt descrise prin ecuaii difereniale cu derivate pariale, n care pe lng variabilatimp t, apare i o variabil spaial z:

F(xt ,

xz,x,u(t,z),t,z)=0 (1.5.17)

Traiectoria de stare x(t, z) este o funcie dependent de intrarea u(t, z) i de condiiile

iniiale i pe frontier. Acestea sunt sisteme infinit-dimensionale.* Sisteme cu numr finit de stri (Sisteme logice sau automate finite)

Sunt sisteme la care mrimile caracteristice (intrri, ieiri, variabile de stare, parame-tri) pot lua numai un numr finit de valori. n general, se descriu prin ecuaii discrete n timp,iar funciile f i g sunt exprimate prin operaii specifice. n cazul bivalent u, y i x sunt varia-

bile logice bivalente, iar f i g sunt funcii logice definite ntr-o algebr bivalent.* Sisteme stochastice

Toate sistemele de mai sus se numesc sisteme deterministe (n orice moment de timp,orice variabil este bine definit). Sistemele stochastice sunt sisteme n care mrimile de in-trare, ieire, stare i parametri sunt exprimate printr-o serie de caracteristici probabilistice i

statistice, pentru care se construiesc o serie de operatori matematici specifici. Studiul acestorsisteme se bazeaz pe teoria probabilitilor.


16/73

1.DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.6. Proprietile generale ale sistemelordinamice

15

1.6. Proprietile generale ale sistemelor dinamice

Sistemele dinamice sunt caracterizate printr-o serie de proprieti generale:

1.6.1. Proprietatea de echivalenSe consider un sistem dinamic S = S(, f, g) = S(, f, g, x) n care s-a prezentat i

vectorul de stare x.

Dou stri xa, xbcS ale acestui sistem sunt echivalente la momentul t = t0 (k = k0)dac evoluiile ieirii pornind din aceste stri iniiale, pentru o aceeai intrare aplicat, sunt

identice:

xa(t0) = (xa, t0) l (xb, t0) =xb(t0) g (t, t0, xa, u[t0,t]) h(t, t0, xb, u[to,t]),

(t, t0, xa, u[t0,t]) h(t, t0, xb, u[t0,t])

Dac dou stri sunt echivalente la un moment t0, ele rmn echivalentet mt0:

xa(t0) lxb(t0) e x

a(t) lxb(t) t mt0.Dac pentru sistemele difereniale liniare invariante n timp (SLIT) definite prin:

x.

=Ax + Bu

y=Cx + Du , S=S(A,B,C,D,x)

..

x=Ax+ Bu

y=Cx+ Du, S=S(A, B, C, D, x)

exist o matrice ptrat nesingular T, det T ! 0, nct x=Tx i

A =TAT1 , B =TB , C =CT1 , D =D ,

atunci cele dou sisteme sunt echivalente i-e (S lS).Pentru sisteme cu o singur intrare i o singur ieire (SISO) avem:

b=Tb

cT =cTT1

x=T1x

x.

=T1.

x e

T1.

x=AT1x+ Bu.

x= (TAT1)x+ TBu

A B

y=Cx e y=CT1x+ Du unde , C =CT1 , D =D

1.6.2. Proprietatea de decompoziie

n evoluia ieirii i a strii unui sistem dinamic se deosebesc dou componente:1. Componenta liber (rspunsul liber), notat yl(t) pentru ieire, respectiv xl(t) pentru

stare, denumit i rspuns la intrare nul, este determinat numai de starea iniial asistemului. Prin intrare nul pe intervalul [t0, t] se nelege segmentul de intrareu[t0,t] =0[t0,t] = {(, u() =0), c [t0, t]} _ .

2. Componenta forat (rspunsul forat), notat yf(t) pentru ieire, respectiv xf(t)pentru stare, denumit i rspuns la stare nul, este determinat numai de intrare, considerndstarea iniial nul.

Prin stare nul, se nelege starea de echilibru, deci starea care se automenine, cnd

intrarea este nul, adicxnula =(t, t0, xnula, 0[t0,t]) =0, t mt0

.


17/73

1.DESCRIEREA I PROPRIETILE GENERALE ALE SISTEMELOR 1.6. Proprietile generale ale sistemelordinamice

16

Un sistem S are proprietatea de decompoziie n raport cu ieirea sau n raport cu

starea, dac acestea por fi scrise sub forma y(t) = y l(t) + yf(t), pentru ieire, respectiv x(t) =

xl(t) + xf(t), pentru stare.

1.6.3. Proprietatea de liniaritateUn sistem este liniar dac rspunsul su n raport cu starea i ieirea este o combinaie

liniar de perechi (stare iniial, intrare). Considerm c

(xa, t0), u[t0,t]a

d xa(t), ya(t)

(xb, t0), u[t0,t]b

d xb(t), yb(t) .Acest sistem este liniar dac:

(x, t0 ) = xa +xb

u [t0 ,t] = ua +ub

x(t) = x a(t) +xb (t)

y(t) = ya(t) +yb (t)

,c

Dac sistemul este exprimat ntr-o form implicit, prin ecuaii de stare, el este liniar

dac cele dou funcii implicate n aceste ecuaii sunt liniare n raport cu cele dou variabile x

i u.

1.6.4. Proprietatea de invarian n timp

Un sistem este invariant n timp dac rspunsurile sale prin stare i ieire nu depind de

momentul iniial de la care sunt determinate aceste rspunsuri; considernd aceeai stare

iniial, rspunsurile unui sistem invariant sunt aceleai, indiferent de momentul iniial, dac

intrarea aplicat sistemului este aceeai, dar translatat conform momentului iniial

corespunztor.Un sistem este invariant n timp dac n ecuaiile de stare, variabila timp t nu apare

explicit. Dac un sistem este invariant n timp, ntotdeauna momentul iniial apare prin

binomul (t-t0). Putem astfel exprima (t-t) prin: t-t = (t-t0)- (t-t0).

1.6.5. Proprietatea de controlabilitate

Fie S un sistem dinamic. O stare x0 la momentul t0 este controlabil n starea (x1,t1)

dac exist o intrare admisibil u[t0,t1] _ care transfer starea (x0,t0) n starea (x1,t1). Dac

aceast proprietate are loc pentru orice x0 cX, sistemul se numete complet controlabil.

Dac, n plus, aceast proprietate are loc pentru orice interval [t0, t1] finit, sistemul se numetetotal controlabil.

1.6.6. Proprietatea de observabilitate

Se spune c starea x0 la momentul t0 este observabil la un moment t1 mt0 dac

aceast stare poate fi unic determinat cunoscnd intrarea u[t0 ,t1] i ieirea [t0,t1]. Dac

aceast proprietate are loc pentru orice x0 cX, sistemul se numete complet observabil.Dac, n plus, aceast proprietate are loc pentru orice interval [t0, t1] finit, sistemul se numetetotal observabil.

1.6.7. Proprietatea de stabilitate

Este una dintre cele mai importante proprietati ale unui sistem dinamic.


18/73


19/73

2.SISTEME DIFERENIALE LINIARE INVARIANTE N TIMP (SLIT) 2.1. Descrierea intrare-ieire a unui SLIT-SISO

18

Relaia i-e (2.1.1) se va scrie sub forma:

k=0

n

aky(k)(t) =

k=0

n

bku(k)(t) , an ! 0 (2.1.2)

Dac se menioneaz bn = 0, nseamn c sistemul este strict propriu. De asemenea,

dac m < n, se va considera c bn = 0,..., bm+1= 0.Relaia intrare-ieire (2.1.2) poate fi uor exprimat n domeniul complex s, aplicnd

acesteia transformarea Laplace. Reamintim c

L y(k)(t) =skY(s) i=0

k1

y(ki1)(0+)si , km 1(2.1.3)

L u(k)(t) =skU(s) i=0

k1

u(ki1)(0+)si , km1(2.1.4)

unde s-au notat cuY(s) =L{ (t)} , U(s) =L{ u(t)} (2.1.5)

transformatele Laplace ale ieirii i ale intrrii. Pentru moment, abscisele de convergen nu

sunt precizate.Menionm c n (2.1.3), (2.1.4) condiiie iniiale sunt definite ca limite la dreapta:

y(ki1)(0+) , u(ki1)(0+). Pentru simplitate acestea vor fi notate cu y(ki1)(0) , u(ki1)(0) .

Se obine

k=0

n

aksk

$ Y(s) k=1

n

i=0

k1

y(ki1) (0)si = k=0

n

bksk

$ U(s) k=1

n

i=0

k1

u(ki1)(0)si

de unde Y(s) se deduce sub forma:

k=0

n

aksk

$ Y(s) = k=0

n

bksk

$ U(s) + I(s)

Y(s) = (s)

L(s)U(s) + (s)

L(s)

(2.1.6)Yf(s) Yl(s)

unde s-a notat:

M(s) = k=0

n

bksk =b ns

n +bn1sn1 + ... +b1s+b0

(2.1.7)

L(s) = k=0

n

aksk =ans

n + an1sn1 + ... + a1s + a0

(2.1.8)

I(s) = k=1

n

ak i=0

k1

y(ki1)(0)si k=1

n

bk i=0

k1

u(ki1)(0)si(2.1.9)

Din relaia (2.1.6) se observ c ieirea apare descompus ca suma a dou componentenumite componenta forat a rspunsului yf(t), determinat numai de intrare i componenta

liber a rspunsului yl(t), determinat numai de condiiile iniiale. n domeniul complex s,aceasta nseamn:

Y(s) = Yf(s) + Yl(s) (2.1.10)unde

Yf(s) = (s)

L(s) $ U(s) =H(s)U(s) (2.1.11)este transformata Laplace a rspunsului forat care depinde numai de intrare, i

Yl(s) = (s)

L(s) (2.1.12)este transformata Laplace a rspunsului liber care depinde numai de condiiile iniiale. Daccondiiile iniiale sunt nule atunci I(s) = 0 i Y(s) = Yf(s).

Dac intrarea u(t) h0,t m0 , atunci U(s) = 0 i Y(s) = Yl(s). Acestea exprimproprietatea de decompoziie. Orice sistem liniar are proprietatea de decompoziie.


20/73


19

Rspunsul forat Yf(s) exprim comportarea intrare-ieire a sistemului (rspunsul i-e)care nu depinde de starea sistemului (deoarece se presupune c aceasta este zero) sau demodul cum este organizat descrierea intern a sistemului (cum este definit stareasistemului).

Rspunsul liber Yl(s) exprim comportarea stare iniial-ieire a sistemului (rspunsulsi-e) care nu depinde de intrare (deoarece se presupune c aceasta este zero), dar depinde demodul cum este organizat descrierea intern a sistemului (cum este definit stareasistemului).

Putem acum defini o noiune foarte important i anume, noiunea de funcie detransfer(FT).

Funcia de transfer (FT) a unui sistem, notat cu H(s), este raportul dintretransformata Laplace a ieirii i transformata Laplace a intrrii care a determinat acea ieire,n condiii iniiale nule (c.i.n.), dac acest raport se pstreaz pentru orice variaie a intrrii:

H(s) =Y(s)

U(s)

c.i.n. , acelai pentruU(s)

(2.1.13)Din (2.1.6) - (2.1.11), se observ c n cazul SLIT-SISO, funcia de transfer estentotdeauna o funcie raional (raportul a dou polinoame):

H(s) =M(s)

L(s) = bns

n+bn1sn1+ ... +b1s+b0

ansn+an1sn1+ ... +a1s+a0 . (2.1.14)

Uneori un SLIT-SISO se noteaz sub forma

S= FT{M, } g FT (2.1.15)Exist i sisteme pentru care se poate defini o funcie de transfer, dar aceasta nu este o

funcie raional (este cazul sistemelor cu ntrziere sau sistemelor descrise prin ecuaii cu

derivate pariale).

Dac polinoamele L(s) i M(s) nu au factori comuni (sunt polinoame coprime)raportul acestora exprim o aa-numit funcie de transfer ireductibil (FTI).

Funcia de transfer exprim numai comportarea intrare-ieire (i-e) a sistemului sau

rspunsul forat, adic rspunsul sistemului n condiii iniiale nule.

Dac numrtorul M(s) i numitorul L(s) au un factor comun, adic

M(s) = M(s)P(s) ; L(s) = L(s)

P(s), (2.1.16)

atunci,

H(s) = M(s P(s)

L(s)P(s) e H(s) =

M(s)

L(s) (2.1.17)Aceasta nseamn c o aceeai comportare intrare-ieire poate fi asigurat de o

ntreag familie de funcii de transfer.

Dac cele dou polinoame M(s) i L

(s) sunt coprime, adic

cmmdc{M(s), L

(s)} = 1 ,

atunci ultima expresie a lui H(s) reprezint funcia de transfer n forma redus (FTR). ncazul n care M(s) i L(s) au factori comuni, anumite proprieti ca, de exemplu,controlabilitatea sau/i observabilitatea nu mai sunt satisfcute.

Ordinul unui sistem se exprim prin gradul polinomului de la numitorul funciei detransfer, adic n = grad{L(s)}.

Rezult c

grad{L(s)} = n

< n = grad{L(s)}, (2.1.18)

nct sistemele pot avea ordine diferite pentru descrierea lor intern, dar toate vor avea acelairspuns forat.


21/73


20

Dac ntr-o funcie de transfer apar simplificri de factori, comportarea intrare-ieire(componenta forat), poate fi descris printr-un sistem abstract de ordin mai mic, ordinulminim fiind gradul de la numitorul funciei de transfer (dup simplificare), (funcie detransfer minimal) ns comportarea stare iniial-ieire (componenta liber) rmne de un

ordin egal cu cel avut de funcia de transfer nainte de simplificare. Exemplul 2.1.1.Descrierea unui sistem propriu prin ecuaii difereniale.

Se consider un sistem propriu cu n = 2, m = 2 descris prin ecuaia diferenial:+ 7

.+12 = u+ 4u

.+ 3u (2.1.19)

a crei transformat Laplace n c.i.n. este

s2Y(s) + 7sY(s) + 12Y(s) = s2U(s) + 4sU(s) + 3U(s) ,

din care se obine urmtoarea funcie de transfer (FT):

H(s) =Y(s)

U(s) c.i.n.=

s2+4s+3

s2+7s+12 =

M(s)

L(s) e n=2

Putem deci considera sistemulS = FT{M,N} = FT{s2 + 4s + 3, s2 + 7s+ 12} = FT{(s + 1)(s + 3), (s + 4)(s + 3)}

Se observ ns c

H(s) = (s+1)(s+3)

(s+4)(s+3) = s+1

s+4 = M(s)

L(s) , e n =1(ordinul = 1)

(2.1.20)

Funcia de transfer corespunde rspunsului forat Yf(s) =H(s)U(s) , unde

Yf(s) = (s+1)(s+3)

(s+4)(s+3) U(s) e Yf(s) = s+1

s+4 U(s) .Comportarea i-e este deci de ordinul unu, chiar dac ecuaia diferential (2.1.19) este

de ordinul doi. Desigur, soluia sistemului exprimat prin ecuaia diferential (2.1.19) depindede dou condiii iniiale. Din acest punct de vedere, sistemul este de ordinul doi.

Comportarea intern a sistemului este reprezentat prin dou variabile de stare. Dac

aceast ecuaie diferenial este reprezentat prin ecuaii de stare, aceasta va fi de ordinul doi.

Totui, expresia echivalent n domeniul timp a FTN

H(s) = s+1

s+4 = M(s)

L(s) =

Y(s)

U(s)c.i.n.

este o ecuaie diferenial de ordinul unu,y.

(t) + 4y(t) = u.

(t) + u(t)care descrie numai o parte a sistemului dat prin (2.1.19).

S considerm acum un alt sistem descris prin ecuaie diferenial,

y.

(t) + 4y(t) = u.

(t) + u(t) , (2.1.21)a crei transformat Laplace n c.i.n. este

sY(s) + 4Y(s) = sU(s) + U(s) .din care se obine urmtoarea funcie de transfer (FT):

H(s) =s+1s+4 =

M (s)

L(s) , n =1(ordinul=1) .

Acest sistem poate fi notat sub forma

S =FT{M, L } = FT{(s + 1), (s + 4)} ,

care fiind de ordinul unu, soluia sa general va depinde de o singur condiie iniial.

Rspunsul forat corespunztor luiS

este,Yf(s) =

s+1s+4 U(s)

identic cu rspunsul foratcorespunztor lui S .Aceasta reprezint partea complet controlabil i complet observabil a sistemulu S.


22/73


23/73


24/73


25/73

2.SISTEME DIFERENIALE LINIARE INVARIANTE N TIMP (SLIT) 2.4.Rspunsul sistemelor LIT

24

* rspunsul forat al ieiriiYf(s) = [C(s)B + D]U(s) =H(s)Us) (2.4.17)

care relev proprietatea de decompoziie.Se noteaz cu (s), unde (s) =C(s) (2.4.18)

aa-numita matrice a funciilor de baz n domeniul complex s, i cu H(s), unde

H(s) = [C(s)B + D] (2.4.19)matricea de transfera sistemului.

Pentru sistemele LIT-SISO, matricea de transfer devine funcia de transfer:H(s) = cTF(s)b + d (2.4.20)

2.4.2. Rspunsul n timp al sistemelor LIT considernd momentul iniial zero

Rspunsul n timp al unui sistem LIT considernd momentul iniial zero, t0 =0, poatefi uor determinat utiliznd teorema de convoluie n real a transformrii Laplace:

L1{F1(s) $ F2(s)} =

0

t

f1(t )f2()d(2.4.21)

unde F1(s) = L{f1(t)}, F2(s) = L{f2(t)} .Relaia (2.4.8) poate fi interpretat ca

X(s) = (s)x(0) + (s)$BU(s) = (s)x(0) + F1(s)$F2(s)cu (t) =L-1{(s)} =L -1{(sI-A)-1}astfel nct, prin aplicarea teoremei de convoluie n real, se obine:

x(t) = (t)x(0) + 0

t

(t )Bu()d , (2.4.22)Acesta este rspunsul prin stare al sistemului. nlocuindu-l n (2.4.3) rezult

y(t) =C(t)x(0) + 0

C(t )Bu()d + Du(t)(2.4.23)

adic rspunsul prin ieire, ambele evolund din momentul iniial t0 =0.2.4.3. Proprieti ale matricei de tranziie

Fie A o (n x n) - matrice. Matricea de tranziie ataat matricei A are urmtoareleproprieti:

1. Transformata Laplace a matricei de tranziie.

Matricea de tranziie definit prin(t) =eAt , t (2.4.24)

are transformata LaplaceL{(t)} = L{eAt} = (s) = (sI A)1 . (2.4.25)

2. Proprietatea de identitate.(0) = I, unde (0) = (t)|t=0 (2.4.26)

3. Proprietatea de tranziie.

(t1+t2) = (t1)(t2) = (t2)(t1) t1, t2 (2.4.27)

4. Proprietatea determinantului.

Matricea de tranziie este o matrice nesingular, det(t) !0,t .


26/73

2.SISTEME DIFERENIALE LINIARE INVARIANTE N TIMP (SLIT) 2.4.Rspunsul sistemelor LIT

25

5. Proprietatea de inversiune.(-t) = -1(t) (2.4.28)

6. Matricea de tranziie este soluia ecuaiei difereniale matriceale:.

(t) =A(t) , (0) =I , .

(0) =A (2.4.29)2.4.4. Calculul matricei de tranziie

Pentru a calcula matricea de tranziie se pot folosi diverse metode.1. Metoda direct. Cunoscnd A, calculm direct

(s) = (sI-A)-1, (t) =L-1{(s)} (2.4.30)2. Utilizarea formulei generale a funciei de matrice. Definind polinomul caracteristic almatricei ptrate A,

L() = det(I-A) (2.4.31)

i ecuaia caracteristic,

L() = 0 => L() =k=1

( k)mk , kc C ,

k=1

N

mk=n (2.4.32)atunci funcia de matrice ataat matricei A se definete prin:

f(A) = k=1

N

l=0

mk1

f(l)(k)Ekl unde f

(l)(k) = d lf()

dl

= (2.4.33)Matricele Eklse numesc matrice spectrale ale matricei A. Exist n matrice Ekl. Ele se

determin rezolvnd un sistem algebric matriceal alctuit prin alegerea a n funcii arbitrare

independente f(). n final, pentruf() =et d f(A) =eAt , f(l)(k) =t

lekt

(2.4.34)3. Metoda polinomial.

Fie f(): C d C, o funcie continu care admite mk-1 derivate n k, ceea censeamn c

f(l)(k) = exist, l c[0, mk1] (2.4.35)i o (nxn) - matrice A al crei polinom caracteristic este:

det(I A) = k=1

N

( k)mk

. (2.4.36)

Fie p() = n1n1 + ... + 1+ 0 (2.4.37)

un polinom de gradul (n-1) avnd n coeficieni i , 0 [i [n 1 . Funcia de matricepolinomial ataat, p(A) este:

p(A) =n1An1 + ... + 1A + 0I . (2.4.38)

n aceste condiii, dac urmtorul sistem de n ecuaii sunt satisfcutef(l)(k) = p

(l)(k) , k = 1, ..., N , l = 0, ..., mk-1 (2.4.39)atunci, f(A) = p(A) (2.4.40)

Relaia (2.4.39) exprim n condiii, ce reprezint, de fapt, un sistem algebric cu nvariabile necunoscute: 0, 1, ..., n-1. Rezolvnd acest sistem se determin coeficienii 0, ...,n-1.

4. Metoda numeric.(t) lp(t) =

k=0

pAk

k!tk

(2.4.41)


27/73


28/73


29/73


30/73

3. CONEXIUNEA SISTEMELOR 3.2. Conexiunea serie

29

S:

x.

= Ax + Bu

y = Cx + Du , (3.2.5)

n1 n2 p n1 n2

undeA= A1 0

B2C1 A2n1n2

B= B1B2D1

n1n2 C= r D1C1 C2 D= D 2D1

3.2.3. Conexiunea serie a dou sisteme LCIT. Reprezentarea intrare-ieire

Presupunem c intereseaz numai comportarea intrare-ieire a sistemului interconectat

serie, reprezentat n Fig.3.2.2. In acest caz se pot obine uor maticele de transfer, astfel: H1(s) =C1(sI A1)

1B1+ D1 (3.2.6)

H2(s) =C2(sI A2)1B2+ D2

Rspunsurile forate ale celor dou sisteme se exprim prin:

S1 : Y1(s) =H 1(s)U

1(s); S2 : Y2(s) =H 2(s)U

2(s) ,

iar relaiile de conexiune sunt:Rc : U2(s) h Y1(s); U(s) h U1(s); Y(s) h Y2(s). p1 =p; r2 = r; p2 = r1 .

Fig. 3.2.2.

Se deduce c

Y(s) =Y 2 (s) =H 2(s)U2 (s) =H 2(s)Y

1(s) =H 2 (s)H1 (s)U1(s) =H(s)U(s)

H(s) =H2(s)H1(s) (3.2.7)

3.2.4.Conexiunea serie n regim staionar a dou subsistemeSe spune c un sistem Si este n starea de echilibru, notat xe

idac starea sa xi este

constant pentru orice moment de timp, raportat la un moment iniial.

La sistemele continuale de forma,

S i : x. i(t) =fi(x

i(t), u i(t), t); yi(t) =g i(xi(t), ui(t), t); (3.2.8)

aceasta nseamn

xi(t) =xei =const., t mt0 g x

. i(t) h 0, t mt0 (3.2.9)Starea de echilibru este soluia real a ecuaiei

fi(xei , ui(t), t) =0 e xe

i =fi1( ui(t), t) xe

i =const. , (3.2.10)

posibil numai pentru anumite funcii ui(t) =uei (t) .Ieirea, n starea de echilibru, este:

ei (t) = g i(xe

i , uei (t), t) (3.2.11)

Dac sistemul este invariant n timp, adic

S i : x. i(t) =fi(x

i(t), ui(t)); yi(t) =g i(xi(t), ui(t)); (3.2.12)

o stare de echilibru,

xei =fi

1( ui(t)) xei =const. (3.2.13)

este posibil numai dac intrarea este o funcie constant n timp:

ui(t) =ue

i (t) =Ue

icD

u, t mt

0 e

(3.2.14)xe

i =fi1(Ue

i ) xei =const. c Rn (3.2.15)

i un astfel de regim se numete regim staionar.


31/73

3. CONEXIUNEA SISTEMELOR 3.2. Conexiunea serie

30

Ieirea, n regim staionar, este

Yei =g i(xe

i , Uei ) =g i(fi

1(Uei ), Ue

i ) =Q i(Uei ) , Ue

ic Du . (3.2.16)

Din motive de convenien, vom nota variabilele de intrare i de ieire, n regim staionar, cu

Yei =Y i , Ue

i =U i

. (3.2.17)Relaia intrare-ieire, n regim staionar, se numete caracteristic static:

Y i =Q i(Uei ) , Ue

ic Du (3.2.18)

Se spune c un sistem se afl n regim staionar, ncepnd din momentul t 0, dac toate

variabile sistemului: stare, intrare, ieire sunt (funcii) constante n timp, t mt 0 .Pentru sisteme LIT-SISO de forma,

Si : x. i(t) =A ix

i(t) +b iui(t); yi(t) =c i

Tx i(t) +d iui(t) , (3.2.19)

caracteristica static este

Yi =Q i(Uei ) = [ci

TAi1b i+ d i] $ U

i , Ueic Rdaca det(Ai) ! 0 . (3.2.20)

Starea de echilibru estexk=xe =const., km k0 g xk+1 hx k, km k0 (3.2.21)

dat de ecuaia:

xei =fi(xe

i , uki , k) e xe

i = i1( uk

i , k) xei =const. (3.2.22)

Se consider acum dou subsisteme neliniare S1, S2, descrise prin caracteristicile statice,S1 : Y

1 =Q 1(U1 ) (3.2.23)

S2 : Y2 =Q 2(U

2) (3.2.24)

Ele sunt conectate n serie prin urmtoarele relaii de conexiune:

Rc : U2 =Y1 , U=U 1 , Y= Y 2 .

Sistemul interconectat serie are o caracteristic static,

Y= Q(U) =Q 2[Q1(U)] =Q 2 ) Q1(U)

obinut prin simpla compunere a celor dou funcii. Aceast compunere poate fi realizat i

pe cale grafo-analitic.

3.2.5.Conexiunea serie a mai multor subsisteme

Toate aspectele discutate cu privire la conexiunea a dou sisteme pot fi extinse, fr

dificultate, la cazul conexiunii serie a mai multor subsisteme, s presupunem q.

Pentru q sisteme LIT descrise prin matricele de transfer Hi(s)

Si : Yi(s) =H i(s)U

i(s) , i= 1 : q (3.2.25)

relaiile de conexiune sunt urmtoarele,Rc : ui+1= yi ,i =1 :(q 1) (3.2.26)

iar condiiile de conxiune sunt urmtoarele:

Cc : i ` i+1 , i= 1 :(q 1) (3.2.27)

Matricea de transfer echivalent intrare-ieire este,

H(s) = HqHq-1... H1=

i=0

q1

Hqi(s)(3.2.28)

deoarece

Yq= HqUq , Yq-1 = Hq-1Uq-1 , dar Uq= Yq-1 => Yq= Hq(Hq-1Uq-1) .a.m.d.

Pentru sisteme LIT-SISO, ordinea funciilor de transfer poate fi modificata

H(s) = HqHq-1 ... H1 = H1 ... Hq-1Hq=i=1

q

Hi(s)(3.2.29)


32/73

3. CONEXIUNEA SISTEMELOR 3.3. Conexiunea paralel

31

3.3. Conexiunea paralel

Considerm q subsisteme LIT descrise prin matricele de transfer Hi(s)S

i

: Yi(s) = Hi

(s)Ui(s)

, i = 1, ..., q ; (3.3.1)

penru care se consider urmtoarele relaii de conexiune,

Rc :

(3.3.2)i urmtoarele condiii de conexiune:

Cc :

i=

i ` , i

i = 1, ..., q (3.3.3)Conform acestor dou mulimi precizate, relaia intrare-ieire a celor q subsisteme

interconectate este

S: Y(s) = i=1q

Yi(s) = i=1q

H i(s)U(s) =[ i=1q

H i(s)]$U(s) =H(s)U(s) (3.3.4)

Schema bloc care ilustreaz aceast conexiune este prezentat n Fig.3.3.1.

u

y

u yH2

22

u yHq

qq

u yH1

11

+

+

+

+

Fig. 3.3.1.

Matricea de transfer echivalent intrare-ieire a conexiunii paralele, este:

H(s) = i=1

q

H i(s) (3.3.5)

U i(s) =U(s)

Y(s) = i=1

q

Yi(s) i= 1, q


33/73


34/73


35/73

4.REPREZENTAREA GRAFIC I REDUCEREA SISTEMELOR 4.1. Scheme de principiu i scheme bloc

34

" & 6 5u

F y

6 53. Puncte de ramificaie

0 % aceeaivariabil & % *

7 6 5!

y

y

y

y

y

y y

y

y

y

y yy

yy

6 5!

Exemplul 4.1.1. Schema bloc a unui integrator8 &

x(t) = x(t0 ) + t0

t

u()d , x.

(t) = u(t) (5!)

" & 6 5# - % (5!) - "

x(t) = t0

t

x(t0)( t0)u()d +t0

t

u()d=t0

t

[u() + x(t0)( t0)]d

& & 6 5#"

x(t)

u( t )

x ( )t0

x(t).

1

x(t). x(t)u( t )

x ( )t0

(t- )t0

+

+

a ) b )

1s

x ( 0 )

X (s)U (s) ++

1

L { x ( t ) }

6 5# 6 55' & %

L x.

(t) =sX(s) x(0). (5#)

, % 9(a t0)" .: ;()9L


36/73

4.REPREZENTAREA GRAFIC I REDUCEREA SISTEMELOR 4.1. Scheme de principiu i scheme bloc

35

- & & & &

' - % & %

& & % x.

(t) =a(t) $ x(t) +b(t) $ u(t)

y(t) =c(t) $ x(t) + d(t) $ u(t) (5>)- & & 6 5>

b (t ) c(t) +

++

+u(t) y(t)x(t) x(t)x ( 0 ).

d(t)

a(t)

6 5>

' & % % " & % (5>)

x.

(t) =a $ x(t) +b $ u(t)

y(t) =c $ x(t) + d $ u(t) (5?)- & 6 5> %

% %- & - &

% & 6 55 " & 6 5?

a

c

d

b+

+

+

+

+

+U ( s ) Y ( s )X (s)

x ( 0 )

1s

L { x ( t ) }x ( t ) 6 &

u ( t ) y (t )x ( t )

6 5?1 & & %

% - % " " " ' - "%

L{x. (t)} =sX(s) x(0) = aX(s) +bU(s)X(s) =

1s[aX(s) + x(0) +bU(s)]

X(s) =1

sa[x(0) +bU(s)] (5@)

* & " % 1

sa & & 6 5@

cb

d

+

++

+U(s) Y(s)X(s)x(0)

1s-a

6 5@' - " % A() ;()

0() (B)


37/73


38/73


39/73


40/73

4. REPREZENTAREA GRAFIC I REDUCEREA SISTEMELOR 4.2. Reducerea sistemelor utiliznd scheme bloc

39

"

1

a1, a2

b1, b2 / " A1(s), A2(s), B1(s), B2(s) 9 5-+ /

:+ :2 + 2 '5-5)

G (s)12G (s)11

G (s)21 G (s)22

B (s)1

A (s)1

B (s)2

A (s)2

+ +

+ +

B (s)1

A (s)1

B (s)2

A (s)2

a) b)

7

9 5-+B1(s) =G11(s)A1(s) + G12(s)A2(s); B2(s) =G21(s)A1(s) + G22(s)A2(s) '5-5)

9 5-+ 4.2.3.3. Algoritm pentru reducerea schemelor bloc complicate

! / / ! 2')

1

H ik(s) =HUkYi (s) =

Yi(s)

Uk(s)|Uj(s)h0 , j!k

; 3 *1. % 32. % ; 9 5-+3. % ' ) / +4. % / -5. % / 56. % .


41/73


42/73


43/73


44/73

5. REALIZAREA SISTEMELOR PRIN ECUAII DE STARE 5.2. A doua form canonic structur D-I

43

5.3. A doua form canonic structur D-I

!

" #

! "

Y(s) = H(s)U(s) = L(s)[M(s)U(s)] $%

& ' ' '

any(n) + an1y

(n1) + ... +a1y(1) + a0y

(0) =bnu(n) +bn1u

(n1) + ...+b1u(1) +b0u

(0)$%(

y(k) =

d y(t)

dtk =Dk{y(t)} =Dky=D{Dk1y} $%%

u(k) = d u(t)

dtk =Dk{u(t)} =Dku=D{Dk1u}

$%)*"

D{*} def

= dt{*} $%$' $%(

anDn + an1D

n1 + .. + a1Dy + a0y=bnDnu +bn1D

n1u + .. +b1Du +b0u +

Dn[any bnu] + Dn1[an1y bn1u] + .. + D[a1y b1u] + [a0y b0u] =0

x2

a0yb0u +

x.

n

D[a1yb1u+D[.. + D[an1y bn1u +

x. 1

D

x1

[any bnu]]..]] =0

$%,

$%,

x1 =an bnu $%-

y= 1an x1+

bnan u

x2 =an1y bn1u + x.

1 e x.

1 = an1an x1+ x2+ (bn1 bn

an1an )u

x3 =an2y bn2u + x.

2 e x.

2 = an2an x1+ x3+ (bn2 bn

an2an )u

$%.

xn =a1y b1u + x.

n1 e x.

n1= a1an x1 + xn+ (b1bn

a1an)u

0=a0y

b0u + x. n e x. n =

a0an x1 + (b0 bn a0an)u $%- $%. ' /

x.

=Ax +bu x= [x1, x2, ... , xn1, xn]T

y=cTx +bu

A=

an1an 1 0 .. 0 0

an2an 0 1 .. 0 0

an3an 0 0 .. 0 0

.. .. .. .. .. ..

a1an 0 0 .. 0 1

a0a 0 0 .. 0 0

b =

bn1 bnan1an

bn2 bnan2an

bn3 bnan3an

..

b1 bna1an

b0 bna0an

,c=

1an0

0

..

00

,

d= bn

an


45/73

5. REALIZAREA SISTEMELOR PRIN ECUAII DE STARE 5.4. Forma canonic Jordan

44

5.4. Forma canonic Jordan

Exemplu.

H(s) = b4s +...+b0

(s1)(s2)2((s)2+2) =

=c0+ c11

s1+

c21

s2+

c22

(s2)2 +

c31s+c32

(s)2+2 =

(s)

U(s)

!

H3(s) = c31s+c32

(s)2+2

" #

$%

1s-1

1s-2

1s-2

C0

Y0

Y1

Y2

C21 C22

C11

H3Y3 Y

U

x11

x2

2 x2

1

x13 x2

3

& '()

x11 =

1s1

U(s)e sx11 1x1

1 =U e x.11 =1x1

1 + u

x12 =

1s2

x22 x

.12 =2x1

2 + x22

x22 =

1s

2

U(s) x.22 =2x2

2 + u

"

*

x3 = x1

3

x23

;

x. 3 =A3x

3 +b3u

y3 = c3Tx3 + d3u

+,$-+, .- % /

x. 3 =A3x

3 +b3u

y=c0u + c11x11 + c22x1

2 + c21x22 + c32x1

3 + c31x23

!


46/73


47/73


48/73


49/73


50/73


51/73

6. ANALIZA SISTEMELOR N DOMENIUL FRECVEN 6.2. Relaii ntre caracteristicile experimentale de frecveni funciile de transfer

50

yp(t) = H(j)

2j ejt + H(j)

2jejt Um

yp(t) = Um $ A() $ej(t+)ej(t+)

2j

yp(t) =

Ym

A()Umsin(t +

t ,t=t()

() )

2

0, $ $

' $

Aexp()

m

Um =A() = H(j)

3

$ $ /

4 5 / / H()0$ 6' /$ $ 7 - /

/ H(j)

t|exp

() =arg(H(j))

4

1/$ -$$ $ / ,$

-

"&

, /

$ , 8

,$ ' / 0 $ 0

,0 sj

H(j) =H(s)sdj 7 $ / $ 0

Caracteristica Amplitudine - Frecven:

.!98:9

Caracteristica Faz - Frecven:

!-8:

Caracteristica Real de Frecven:

"!#8:

Caracteristica Imaginar de Frecven:

;! 0

arctgQ()

P() + , P() < 02 , P() = 0,Q() >0

2 , P() = 0,Q() < 0

c

(,] 2* /$ ,$ ' -$

5 . ' '$ 5 ";


52/73


53/73

6. ANALIZA SISTEMELOR N DOMENIUL FRECVEN 6.3. Caracteristici logaritmice de frecven

52

6.3.2. Aproximri asimptotice ale caracteristicilor de frecven

1 (

1

6.3.2.1. Aproximri asimptotice ale caracteristicii amplitudine - frecven pentru unpolinom de gradul I de variabil complex

3

H(s) =Ts + 1 $%/1

|H(j)|=|jT + 1|=A() = (T)2 + 1 L() =20lg[A()] $%%

4

A() = (T)2 + 1 l1 ,T


54/73


55/73

6. ANALIZA SISTEMELOR N DOMENIUL FRECVEN 6.3. Caracteristici logaritmice de frecven

54

- ( ( ()

x=lg(T) G(x) = ()|Td10x =arctg(10

x)

x d gd 0eG(x) d 0x d +gdeG(x)d

2

" ()

T=1 g x=0

G(x) G (x) =

10x ln10

102x+1 eG(0) =

ln102

, () a()

( # $%:

-1 0 1 2 -2x

T=10x

x=lg( )T0.1 1 10 1000 0.01 T

18

0

135

90

45

0

-45

-90

0

/4

/2

/4

/2

3/4

( )( )

x1x2- 0 = 0 -

, (

, (

4 $

1 (

( )a ( )a

grade rad

1T=0.2 2T=5

x2= 0.69897x1= - 0.69897

50.2.

..

.

2T

=1 1T

1

, y = (ln10/2)x + /4

# $%:

, ( '


56/73


57/73


58/73

6. ANALIZA SISTEMELOR N DOMENIUL FRECVEN 6.4. Caracteristici elementare de frecven

57

P() = Real(H( )) = 1 !%&'5"Q()= Img(H(j)) = T !%&'%"

/ 0- %&*A( ) L( )

0.1 1 10 1000 0.01

T

40

30

20

10

0

-10

-20

1

10

100

0.1

dB

Panta

+20 dB/dec

Eroare max.

3dB

0.1 1 10 1000 0.01 T0

/4

/4

/2

( )Eroare max.

6 grade ( )a

50.2

..

0- %&* / !34" / 0-%&&

P

Q

0.5 1

0.5

1

0

0

-0.25

1

=

1( ) =0

=1/T=z

1( )

1H(j )

0- %&&. :' . / / /

) d /


59/73

6. ANALIZA SISTEMELOR N DOMENIUL FRECVEN 6.4. Caracteristici elementare de frecven

58

H(j) =1

1+jT = 1

1+(T)2 j

T

1+(T)2 !%&'9"

P() = 1

1+(T)2 , Q() =

T

1+(T)2 !%&'?"

A() = 1

1+(T)2 !%&),"

L() = 20lg 1 + (T)2

!%&)'"

La() =0 , T


60/73


61/73

7. STABILITATEA SISTEMELOR 7.2. Criterii algebrice de stabilitate

60

! "#

$ % &

7.2. Criterii algebrice de stabilitate7.2.1. Condiia necesar de stabilitate

' !

!07.2.2. Criteriul fundamental de stabilitate

( ! ) & &

) *+, *-, (

) & *+,i! & % . "# - Criteriul Routh de stabilitate.

7.2.3. Criteriul de stabilitate Hurwitz/ L(s) =a s + a 1s 1 + ... + a1s1 + a0 a ! 0 012 3, /

"# 4 n % n

n=

coloa e

an1 an3 an5 an7 ... 0

an an2 an4 an6 ... 0

0 an1 an3 an5 ... 0

0 an an2 an4 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 a0

011

& ani, i=1, .. ,n / )

) & ! &

4 4 4 "#

) &

4 43,k=1,n !

L&

(s) = a0sn

+ a1sn1

+...+an 015

ak=ank


62/73

7. STABILITATEA SISTEMELOR 7.2. Criterii algebrice de stabilitate

61

7.2.4. Criteriul de stabilitate Routh

7.2.4.1. Tabela lui Routh. *6 *6"# 6

"# 7 ) 8

*68 11/ &

L(s) =ansn + an1s

n1 + ... + a1s1 + a0 an !0 019

: *6 *6 *6 ) ;& 012

1snj-1...

.

..

an

1 2

an-2 an-2(j-1) an-2(j)

an+1-2(j) an+1-2(j+1)an+1-2(j-1)

an-2(j-2)

j j+1 ......

......

...

...

...

...

...

...

...

2sn-1 an-1 an-3 ...3sn-2 r3,1 r3,2 r3, j-1 r3, j+1r3, j...

... ...... ... ... ...i-2sn-i ri-2,1 ri-2,2 ri-2,j...i-1n-i+1 r

i-1,1 ri-1,2 ri-1,j...

in-2 ri,1 ri.2 ri,j...

... ... ...

s

s

ri-2,j+1

ri-1,j+1

ri,j+1

...

n+10 rn+1,1

0 ...s 0 0

;& 012 . -, & 6 *67.2.4.2. Cazuri speciale n tabela Routh

a. Un element din prima coloan a tabelei Routh este zero? $ %

a.1./ ) >0, d 0

lim d0

>0

ri, 1()

a.2. ! ) *6 ) *6


63/73


64/73


65/73

7. STABILITATEA SISTEMELOR 7.3. Criterii frecveniale de stabilitate

64

P

Q

00 =0

-1+j0

Re(H (j ))d

j Im(H (j ))d

R=1

H (j )d1

H (j )d

3

H (j )d

2

c1=c

c2=c

( )c11=

( )c33=

2=

( )*-

H1d(j) H1

d(s) ( )*-

&3+ 24' $ $ $ $ Hv1(s) 3

. $ H3d

(j

) 3 Hv

3(s) H2d( ) $ $ Hv

2(s)

7.3.2. Indicatori de calitate frecveniali

a. Pulsaia de tiere (de traversare)t 6 t c %&2'

t

d t( )Re( H j( )

d)

H j( )d

jIm( )

H j( )d

Planul

(-1,j0)

Ad

t c=

( )**

6 &)*-' c = t =max{ | Ad() =1} &)*7'

b. Marginea de faz 8 &$ '

Hd( t) !"#

$ $

8 = + d(t) &)*9'

d(t) =arg H

d(jt) (2, 0]. , =0

6 :: m imp &)*;'

c. Pulsaia de tiere de faz

6

Hd(j)

=min{|d() =}&)*)'

d. Marginea de amplitudine Ad H

d(j) Ad =Ad()


66/73


67/73


68/73


69/73

8. SISTEME DISCRETE 8.1. Transformarea-Z

68

(%>% ((%)

% =

%

e ((%) =

%%

Z$ ((%) =

[ $ Z$( %%

)] =

8.1.2.3. Metoda seriilor de puteri

#$8 4 J %0

(% 7 (% % 0 % %6

((%) = ="

% =#$$"

7 3Exemple:

((%) = %.+$

%.+.%+$ =$ .%$ + 8%. + e " =$A $ = .A . =8A

8.1.3. Teoremele transformrii Z5& ! +6

8.1.3.1. Teorema liniaritii

m" 4

m" 4 +Ya(z) =+

= + () A (4% + ,4- + ,4-

, &6

+

+

4

=(

(%) +(4

(%) #$$$8.1.3.2. Teorema ntrzierii n real (domeniul timp)

Z{} =% ((%) +=

$

% ((%) =+{} c N#$$.

Z{( )} =% ((%) +=

$

()% ((%) =+{()} c N#$$1

3 0 8.1.3.3. Teorema anticiprii n real (n domeniul timp)

Z + =% ((%) ="

$

% c N#$$8

Z{( +)} =% ((%) ="

$

()% c N#$$;

Exemple+ ,


70/73

8. SISTEME DISCRETE 8.1. Transformarea-Z

69

8.1.3.5. Teorema valorii finaled

=d

( ) =%d$

[$ %$((%)] #$$@ & K$0% 0$(%L

%8.1.3.6. Teorema deplasrii n complexZ =($% (%+,- #$$#

8.1.3.7. Teorema derivrii complexeZ =K%((%)L #$$M

KL 0 6K%(%L

KL= %% K%((%)L

K$L

Z{ ()} = [%((%)][] = %% K[%((%)][$] L

[%((%)]["] =((%) #$."Exemple

$ Z =%% ((%) #$.$

. Z . = % % [%((%)]

[$] = %%K%%((%)L #$..

1 Z ( ) = % %((%) #$.1

8 Z. () = % %K%((%)L

[$]= %%K%

% ((%)L #$.8

Exemple$ N A N 1 NJ 1

(%Z,1-

%%$

O%+,-0%

% (

%%$ ) = % $

$(%$). =

%(%$).

% 4!0

.Z .$() = Z

$ 1() = %%%

%$. =

=TzT(z1 22Tz(z1

(z1 4 =

T2z(z+1

(z1 3

8.1.3.8. Teorema derivatei pariale 4

Z KL = Z

() #$.;8.1.3.9. Teorema sumei de convoluie reale

4 3 !6+

() =((%) A + 4( ) =(4(%)

4 3 4

E + 0 * * J 34 + %6

Z="

()4(( )) =((%)(4(%) #$.?

= + +

Z$ ((%)(4(%) =="

()4(( )) = ="

(( ))4() #$.@


71/73


72/73

CUPRINS

3. CONEXIUNEA SISTEMELOR 263.1. Probleme de baz ale conexiunilor 263.1.1. Sistem continual neliniar (SCN) 26

3.1.2. Sistem diferenial liniar invariant n timp (SLIT) 263.1.3. Sistem neliniar discret (SND) 26

3.1.4. Sistem liniar invriant n timp discret (SLITD) 26

3.2. Conexiunea serie 283.2.1. Conexiunea serie a dou subsisteme 28

3.2.2. Conexiunea serie a dou sisteme liniare continue invariante

n timp (SLCIT). Reprezentarea complet 28

3.2.3. Conexiunea serie a dou sisteme LCIT. Reprezentarea

intrare-ieire 293.2.4. Conexiunea serie n regim staionar a dou sisteme . Reprezentarea

intrare-ieire 29

3.2.5. Conexiunea serie a mai multor subsisteme 30

3.3. Conexiunea paralel 313.4. Conexiunea paralel-opus (Feedback-ul) 32

4.REPREZENTAREA GRAFIC I REDUCEREA SISTEMELOR

4.1. Scheme de principiu i scheme bloc

4.2. Reducerea sistemelor utiliznd scheme bloc !

"

#"

$#"

$# %

" &

' (

5.REALIZAREA SISTEMELOR PRIN ECUAII DE STARE )5.1. Formularea problemei )* )

* % )

5.2. Prima form canonic structur I-D

5.3. A doua form canonic structur D-I 5.4. Forma canonic Jordan 5.5 Deducerea ecuaiilor de stare pornind de la schema bloc


73/73

30 Teoria Sistemelor Si Reglaj Automat Curs

Documents

Transcript of 30 Teoria Sistemelor Si Reglaj Automat Curs