2. BAZELE TEORETICE ALE FIABILITĂŢII ...cfcem.ee.tuiasi.ro/pdf/capitolul_2_studenti.pdf30...

FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL

2. BAZELE TEORETICE ALE FIABILITĂŢII COMPONENTELOR INSTALAŢIILOR HIDROENERGETICE

2.1 Clasificarea elementelor şi sistemelor din punct de vedere al fiabilităţii

Clasificarea elementelor şi sistemelor este esenţială mai ales în etapa de analiză, pe baza clasificării stabilindu-se indicatorii elementelor ca date de intrare şi cei ai sistemului ca date de ieşire din calcule, modelele şi metodele de calcul folosite.

Orice clasificare presupune criteriile după care se realizează, clasele şi subclasele referitoare la fiecare din aceste criterii.

Criteriile cele mai uzuale sunt:

− − − − − −

− −

− −

după numărul de stări (elemente şi sistem); după reparabilitate (elemente); după dependenţă (sisteme); după structură (sisteme); după gradul de redondanţă (sisteme); după durata misiunii (elemente şi sistem);

În figura 2.1 se prezintă clasele corespunzătoare fiecărui criteriu.

2.1.1 Clasificarea după numărul de stări

Criteriul este foarte important, clasele cele mai frecvente, atât pentru elemente cât şi pentru sisteme, fiind următoarele:

După acest criteriu elementele şi sistemele sunt:

1. binare (bivalente); 2. multivalente; 3. parametrice:

monoparametrice; multiparametrice;

4. de producţie; 5. de deservire.

Elementele şi sistemele binare (bivalente) au numai două stări:

de funcţionare (succes); de defect (refuz).

Ele modelează foarte bine elementele şi sistemele informatice. Pentru modelarea lor matematică li se asociază variabile binare de tipul:

FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 27

Continuă

Duratamisiunii

Dependente

Dependenţăreciprocă

Intermitentă

Independente

Reparabile

Reparabilitate

Nedecompozabil(buclate)

Nereparabile

Număr destări

De deservire

De producţie

Parametrice

Multivalente

Bivalente(informaţionale)

La cerere

Ciclică

Paralel

Serie

Structură

Cu elem. nerezervate

Complexe

Dec.serie Dec.paralelDec.mixt

Decompozabil

Rezervabilitate

Majoritară

Cu elem. rezervate

Cu rez. individuală

Cu rez. comună

Activă

Alunecătoare

Pasivă(stand-by)Structural

Dimensional

Monoparametrice

Multiparametrice

Semiactivă

Fig. 2.1 Clasificarea elementelor şi sistemelor


element i → variabila xi ={1-elementul i funcţionează; 0-elementul i nu funcţionează}, variabile care se supun operatorilor algebrei binare (Boole).

Un sistem format din n elemente binare independente are un număr nss de stări:

nn

i

inCnss 2

1==∑

=

Noţiunea de stare a sistemului trebuie înţeleasă ca o combinaţie de stări ale elementelor sale. Mulţimea stărilor sistemului binar se subdivide în două submulţimi:

S - mulţimea stărilor de funcţionare (succes); R - mulţimea stărilor de defect (refuz);

Sistemele formate din elemente binare pot fi binare sau nu.

Ca elemente şi sisteme binare în cadrul unei centrale hidroelectrice putem exemplifica:

a) elemente: stator turbină, segment lagăr, coloana de distribuţie, paletă aparat director etc.

b) sisteme: etanşare paletă rotor turbină, celulă electrică de medie şi înaltă tensiune, cap de distribuţie hidroagregat, aparat director etc.

Elementele şi sistemele multivalente au mai mult de două stări, în cele mai multe cazuri stărilor elementelor (sistemelor) multivalente asociindu-li-se un anumit nivel de performanţă (debit, putere, etc.).

Performanţa acestor sisteme este modelată matematic de o variabilă aleatoare discretă cu domeniul de definiţie finit şi discret x1, x2, … xn, fiecărei valori a domeniului de definiţie (xi) corespunzându-i o anume probabilitate pi cu condiţia:

∑=

=n

iip

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

nii xxxx

ppppX LL

LL

21

21

Matematic stările unui element multivalent formează un sistem complet de evenimente (sunt incompatibile şi cel puţin una din ele se realizează sigur).

Numărul de stări ale unui sistem format din elemente multivalente independente este:

∏=

=nes

iinsenss

1


unde nsei este numărul de stări ale elementului i.

Referitor la numărul de stări ale elementelor şi sistemului putem avea următoarele situaţii:

Elemente Sistem binar binar binar multivalent

multivalent multivalent

Ca elemente şi sisteme multivalente în cadrul unei centrale hidroelectrice putem exemplifica:

- elemente: stator hidrogenerator (3 stări: funcţionează la parametri nominali, funcţionează cu restricţii de putere datorită defectelor proprii, nu funcţionează), transformator de putere (3 stări: funcţionează la parametri nominali, funcţionează cu restricţii de putere datorită defectelor proprii, nu funcţionează), rotor turbină (3 stări: funcţionează la parametri nominali, funcţionează cu restricţii de putere datorită defectelor proprii, nu funcţionează) etc.

- sisteme: o centrală echipată cu două hidrogeneratoare ( 3 stări: funcţionează ambele grupuri, funcţionează un grup, nu funcţionează nici un grup), o centrală echipată cu 4 hidrogeneratoare, hidrogenerator (3 stări: funcţionează la parametri nominali, funcţionează cu restricţii de putere datorită defectelor proprii, nu funcţionează).

Elementele şi sistemele parametrice au funcţionarea caracterizată de un parametru continuu (monoparametrice) sau de un vector de parametri (multiparametrice). Parametrii pot fi debite, puteri, presiuni, temperaturi, etc.

Domeniul de definiţie al fiecărui parametru este continuu într-un interval delimitat de o valoare minimă (mi) şi maximă (Mi).

Matematic este modelat de o variabilă aleatoare continuă X caracterizată de o funcţie de distribuţie:

[ ]dx

dxxXxPxf +<<=)(

cu condiţia:

1)( =∫M

m

dxxf

şi/sau o funcţie de repartiţie:

[ ] ∫=<=x

duufXxpxF0

)()(


unde f(u) este funcţia de distribuţie cu variabila x schimbată în u.

Ca elemente şi sisteme parametrice în cadrul unei centrale hidroelectrice putem exemplifica:

- elemente: servomotor aparat director având ca parametru presiunea, servomotor rotor turbină cu acelaşi parametru presiunea, stator hidrogenerator cu parametri tensiune, curent, frecvenţă) ş.a.

- sisteme: turbina hidraulică având ca parametri debitul, căderea, turaţia, hidrogenerator cu parametri tensiune, curent, frecvenţă.

Elementele şi sistemele de producţie reprezintă un caz particular al celor parametrice, în acest caz parametrul fiind o cantitate de produse sau energie. Această clasă este utilă pentru sistemele la care producţia poate fi stocată în puncte intermediare ale procesului de producţie iar funcţionarea este caracterizată mai puţin de timp de funcţionare şi mai mult de producţie realizată de element sau sistem într-un anume timp de referinţă.

Indicatorul care le caracterizează este performablitatea (vezi definiţiile).

Amenajările hidroenergetice cu posibilităţi de stocare a apei ce asigură servicii de sistem (reglaj putere-frecvenţă) pot fi considerate, din punct de vedere al fiabilităţii, sisteme de producţie.

Elementele şi sistemele de deservire sunt sistemele de producţie destinate să satisfacă o anume cerere constantă sau variabilă. Performanţa lor caracterizează nivelul în care sistemul satisface (serveşte) cererea. Modelarea poate fi facilitată dacă cererea este inclusă ca element al sistemului iar satisfacerea cererii este modelată în relaţiile funcţionale ale sistemului (în structură).

Privit din punctul de vedere al modului de acoperire a cererii (aer comprimat, presiune de ulei, apă de răcire), într-o centrală hidroelectrică, ca elemente de deservire putem exemplifica: instalaţia de aer comprimat, grupul de ulei sub presiune, instalaţia de apă de răcire.

Din punct de vedere al modului de acoperire a energiei contractate, o hidrocentrală ce funcţionează pe baza unui grafic de putere ofertat/acceptat, într-o analiză de fiabilitate, poate fi considerată sistem de deservire. Rezultă, deci, că sucesul sau insuccesul este determinat numai de modul de acoperire a graficului de putere ofertat şi acceptat.

De remarcat că, impunând o valoare critică inferioară sau superioară, respectiv un domeniu de admisibilitate pentru parametru respectiv performanţă, putem modela elementele parametric sau multivalente, prin variabile binare. Dacă parametrul este în zona admisibilă atunci elementul este în stare de funcţionare, invers în stare de defect (refuz).


2.1.2 Clasificarea după capacitatea de reparare

Se referă la elementele sau sistemele binare care pot fi:

nereparabile; − − reparabile.

Elementele şi sistemele nereparabile sunt caracterizate de o singură perioadă de funcţionare Tf (până la prima defecţiune), considerată matematic o variabilă aleatoare continuă cu domeniul de definiţie [0,Tfmax] din care se pot determina indicatorii de fiabilitate ai elementului.

Ca elemente nereparabile, într-o centrală hidroelectrică, putem exemplifica: segmenţii de grafit ai etanşării arborelui turbinei, arcurile de susţinere a segmenţilor lagărului axial generator, carcase pompe. Sunt puţine sisteme nereparabile într-o centrală hidroelectrică în sensul strict al definiţiei şi anume: reductori de curent şi tensiune (joasă şi medie tensiune).

Elementele şi sistemele reparabile au existenţa formată dintr-o succesiune alternativă de perioade de funcţionare (caracterizate de variabila aleatoare continuă Tf) şi de defect (caracterizată prin altă variabilă aleatoare continuă Td). Trecerile din starea de succes în cea de refuz, de asemenea alternative cu cele din starea de refuz în starea de succes, formează două fluxuri de evenimente iar pentru o perioadă de referinţă T dată formează două variabile aleatoare discrete cu domeniul de definiţie, şirul numerelor naturale.

1)()(1 ≤−≤− fd NMNM

Nd - numărul de defecţiuni; Nf - numărul de reparări (restabiliri).

Când T→ ∞ se poate uşor accepta că:

NNMNM fd == )()(

Cunoscând variabilele aleatoare Tf şi Td se pot calcula toţi ceilalţi indicatori de fiabilitate pentru elementul reparabil, inclusiv Nd şi Nf .

În hidrocentrale majoritatea echipamentelor şi instalaţiilor pot fi considerate ca făcând parte din categoria elementelor şi sistemelor reparabile.

2.1.3 Clasificarea după dependenţă

Se referă la sisteme care pot fi:

cu elemente independente; − − cu elemente dependente.

În cazul elementelor independente, funcţionarea respectiv fiabilitatea unui element nu depinde de fiabilitatea celorlalte elemente ale sistemului.


Ipoteza independenţei permite calculul facil al probabilităţilor stărilor sistemului folosind teorema produsului de probabilităţi (probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor cu care se realizează fiecare din evenimente.)

Astfel probabilitatea stării sistemului cu toate elementele în funcţiune Ps0 va fi:

∏∈

=nesi

is pP0

unde nes - numărul de elemente ale sistemului.

Pentru stările cu unul sau mai multe elemente defecte se înlocuiesc în produs valorile corespunzătoare ale lui pi cu qi.

Ipoteza independenţei este adesea adoptată, pentru simplificarea calculelor, dar nu reflectă întotdeauna realitatea.

Baza obiectivă a dependenţei dintre elementele unui sistem o constituie relaţia fiabilitate - solicitare.

Dacă se acceptă că la solicitare zero elementele nu se defectează iar fiabilitatea scade cu creşterea solicitării (stresului) elementului, iar aceasta este funcţie de stresul celorlalte elemente este evidentă dependenţa dintre elemente.

Cele mai evidente şi utilizate ipoteze de dependenţă sunt cele de tip serie şi de tip paralel care se manifestă după cum urmează. La un sistem serie cu elemente dependente serie la defectarea unui element (primul) sistemul iese din funcţiune, celelalte elemente nu mai sunt solicitate şi deci nu se mai defectează.

Efectul este că sistemul evoluează numai cu toate elementele în funcţiune şi în mulţimea stărilor cu un element defect.

Numărul de stări ale sistemului în acest caz va fi nss = nes+1.

La celelalte sisteme (care nu sunt serie) ipoteza dependenţei serie duce la:

nesnssnes 21 ≤≤+

La un sistem paralel cu elemente dependente paralel, dacă solicitarea sistemului se repartizează pe elementele sale, rezultă că solicitarea unui element şi deci fiabilitatea lui va depinde de care din celelalte elemente este în funcţiune iar fiabilitatea unui element va depinde de starea în care se află sistemul. Matematic aceasta poate fi exprimată prin probabilităţi condiţionate:

[ ] [ ][ ]BP

BAPBAP I=


Ipoteza dependenţei de tip paralel multiplică volumul datelor de intrare în calcule, fiecare element va avea mai multe valori pentru probabilităţile (intensităţile) de defectare, numărul acestora putând creşte de la 1 în ipoteza independenţei la 2(nes-1) în cazul dependenţei paralel la un sistem paralel cu elemente diferite.

Ca elemente şi sisteme independente, într-o hidrocentrală, putem aminti: arbore turbină şi generator, butuc rotor turbină, paletă rotor turbină şi aparat director, întrerupătoare de joasă, medie şi înaltă tensiune, instalaţia de acţionare vane rapide. Cele mai multe echipamente şi instalaţii, însă, sunt dependente. În acest sens exemplificăm: lagărele hidroagregatului împreună cu instalaţia de răcire şi cea de ungere formează un sistem dependent, rotorul turbinei funcţionează dependent de coloana de distribuţie, capul de distribuţie, servomotor rotor şi acumulatorul de ulei sub presiune, generatorul funcţionează dependent de excitatoare şi sistemul de reglaj al excitaţiei (manual sau automat).

2.1.4 Clasificarea după structură

Criteriul se referă la sisteme ce pot fi caracterizate prin două categorii de structuri:

structura externă, respectiv modul în care sistemul interacţionează cu exteriorul;

−

− structura internă, respectiv relaţia sa cu elementele componente.

Aceste două aspecte ale structurii obiectivizează relativitatea noţiunilor de element şi sistem, structura externă a unui sistem devine parte a structurii interne a "suprasistemului" în care sistemul nostru devine element.

Structura externă Clasele de sisteme după structura externă - Ss2 - sunt:

Ss21 - bipolar (biterminal) simplu:

intrare ieşire

Exemplu: servomotoare aparat director şi rotor turbină, întrerupătoare de

joasă, medie şi înaltă tensiune.

Ss22 - bipolar, multiplu (o intrare)


intrareieşire

ieşire

ieşire

ieşire

Vector Exemplu: instalaţia de acţionare a vanelor rapide (un singur grup de ulei sub

presiune cu acţionarea a patru vane rapide ).

Ss23 - bipolar, multiplu (1 ieşire)

ieşireintrare

intrare

intrare

intrare

Vector Exemplu: regulatorul automat de viteză cu simplu reglaj - turbine Francis-

intrări: turaţie hidrogenerator, putere, poziţie aparat director; ieşire: comanda servomotorului aparatului director).

Ss24 - multipolar

intrare

intrare

intrare

intrare

ieşire

ieşire

ieşire

ieşire

Fig.2.2 Structuri externe

Exemplu: un hidroagregat poate fi privit ca element multipolar, având intrări multiple (debit şi cădere de apă, curent şi tensiune de excitaţie hidrogenerator, debit şi presiune de apă de răcire, nivel de ulei de ungere etc.) şi ieşiri multiple (producţie de energie electrică, servicii de sistem, tranzitare apă etc.)


Structura internă din punctul de vedere al fiabilităţii reprezintă relaţia dintre elemente şi sistem. Structura poate fi exprimată prin mai multe forme. Clasele de sisteme după criteriul structurii interne sunt:

sisteme serie; − − − − −

sisteme paralel; sisteme simple, decompozabile serie şi paralel; sisteme complexe decompozabile; sisteme nedecompozabile serie-paralel (buclate).

Sistemul serie (binar) iese din funcţiune la defectarea oricăruia dintre elemente. Este cel mai puţin fiabil dintre sisteme. Fiabilitatea lui este mai mică decât fiabilitatea celui mai puţin fiabil dintre elemente, cel mult egală cu aceasta. Exemplul clasic este lanţul. La sistemele multivalente sau de producţie, performanţa sistemului este egală cu a celui mai puţin performant dintre elemente.

1 2 3 i n

Fig. 2.3 Structură serie

Sistemul paralel iese din funcţiune când se defectează toate elementele sale. Este cel mai fiabil dintre toate sistemele. Exemplu de sistem paralel binar este funia. La sistemele multivalente sau de producţie în mod curent performanţa sistemului rezultă din însumarea performanţelor elementelor.

1

2

3

i

n Fig. 2.4 Structură de tip paralel

Sistemul simplu decompozabil paralel este format din subsisteme serie legate în paralel. Fiecare din aceste subsisteme poartă numele de cale minimală, drum minimal sau legătură minimală definită ca o submulţime minimală din mulţimea elementelor sistemului care, fiind simultan în funcţiune, asigură funcţionarea sistemului indiferent de starea celorlalte elemente. Un exemplu de sistem simplu decompozabil paralel este dat în figura 2.5


m.n m

1.1 1.2 1.i 1.n 1

2.1 2.2

j.1 j.2 i.j

m.i

2.i 2.n 2

j.n j

m.2m.1

I Ie

Fig. 2.5 Structură simplu decompozabilă paralel

Sistem simplu decompozabil serie este format din subsisteme paralel legate serie. Aceste subsisteme poartă denumirea, la sistemele binare, de secţionări minimale, tăieturi minimale sau grupuri de defectare, definite ca submulţimi minimale din mulţimea elementelor sistemului care defectându-se simultan duc la ieşirea din funcţiune a sistemului, indiferent de starea celorlalte elemente. Un exemplu de sistem simplu decompozabil serie este dat în figura 2.6

m.n m

1.1 2.1 j.1 m.1

1.2 2.2

1.i 2.i j.i

j.n j

j.2 m.2

m.i

2.n 21.n 1

I Ie

Fig. 2.6 Structură simplu decompozabilă serie

În orice sistem binar există legături, respectiv secţionări minimale, dar la cele simplu decompozabile acestea sunt delimitate şi fizic.

Calculul fiabilităţii sistemelor simplu decompozabile este facil şi de aceea una din metodele de calcul a fiabilităţii sistemelor binare are la bază echivalarea cu sisteme simplu decompozabile (căutarea căilor respectiv secţionărilor minimale).

Sistemele complexe decompozabile serie-paralel sunt cele care pot fi reduse la un pseudoelement echivalent sistemului numai prin operaţii de punere în paralel şi în serie a elementelor sale dar la care secţionările minimale nu sunt delimitate fizic.

Sisteme nedecompozabile sau buclate au, drept cel mai simplu reprezentant, schema în punte formată din cinci elemente din figura 2.7.


Abordarea lor în calculele de fiabilitate se face prin echivalarea cu sisteme decompozabile. Metodele de echivalare sunt uşor de aplicat şi au la bază căutarea căilor minimale.

Un exemplu pentru un caz mai complex este dat în figura 2.8.

2.1.5 Clasificarea după gradul de redondanţă

Se referă la sisteme şi reflectă măsura şi modul în care elementele sistemului se rezervă reciproc. Rezervarea se poare face individual când elementul de bază are prevăzut un element de rezervă ce intră în funcţiune la defectarea bazei. Elementul de rezervă poate fi încărcat la fel ca baza şi deci se defectează cu aceeaşi intensitate şi poartă denumirea de rezervă activă (caldă) sau poate fi descărcat atâta timp cât baza funcţionează şi atunci poartă denumirea de rezervă pasivă (rece).

A B

CD

EI E

1 2

3

4D

A

BE

CE

CD

BA

I E

D

A

C

B

D

E

BI E

C

E

A

a) b)

c) Fig. 2.7 a) exemplu de sistem nedecompozabil; b) sistem echivalent simplu decompozabil paralel; c)

sistem decompozabil serie

Există şi o situaţie intermediară când rezerva individuală poartă denumirea de rezervă semiactivă. Pentru rezerva semiactivă s-a consacrat deja termenul de stand-by.

Un exemplu de rezervă individuală este prezentat în figura 2.9 pentru cazul unei staţii de transformare cu două transformatoare.


6

2 7

1

83

41 7

42 6

52 8

53 7

5 81 4

4 63 5

I Ie

b)

72

61

4

82

5

I Ie

a )

6

2 7

1

83

11 2

24 3

57 4

88 6

4 4

2 7

3

5

6

75 5

8 3

6 1

I Ie

c)

Fig.2.8 Sistem nedecompozabil complex (a), căile (b) şi secţionările (c) sale minimale

pasivă

semiactivă

activă

activă

pasivă

Fig. 2.9 Tipuri de rezervare


Modelarea sistemelor rezervate individual pasiv sau semiactiv trebuie să considere în calcul şi sistemul care execută punerea rezervei în locul bazei (în energetică AAR - anclanşare automată rapidă + întrerupătoare). Există două posibilităţi:

−

−

− −

− −

aşa-numitul comutator ideal cu probabilitatea de succes egală cu 1 şi timp de comutare automată nulă;

comutare reală care este caracterizată de o probabilitate de ratare a comutării qa=1-pa>0 şi un timp de comutare tka>0.

Există modele care consideră şi comutatorul real. Rezerva comună presupune un element de rezervă pentru mai multe elemente de bază. Poate fi rezervă alunecătoare ca de exemplu un întrerupător pentru n celule debroşabile ca în figura 2.10 sau faza de rezervă în cazul staţiilor cu 3(6) transformatoare monofazate.

Sistemele majoritare sunt construite din n+k elemente, de obicei identice, la care funcţionarea este asigurată de funcţionarea orcăreia n elemente. Acesta poartă denumirea de sisteme majoritare n din n+k. cazurile cele mai frecvente sunt 2 din 3.

Fig. 2.10 Exemplu de rezervă alunecătoare

2.1.6 Clasificarea după durata misiunii

După acest criteriu elementele şi sistemele pot fi:

cu misiune continuă; cu misiune intermitentă:

ciclică; la cerere.

Modelarea fiabilităţii celor cu misiune intermitentă trebuie să reflecte faptul că elementul sau sistemul trebuie să fie în stare de succes atunci când este solicitat. Un exemplu de misiune intermitentă la cerere sunt sistemele AAR tratate anterior sau sistemele de protecţie prin releul care trebuie să fie în funcţiune la defectarea altor elemente.


2.2 Forme de exprimare a structurii Structura, din punct de vedere al fiabilităţii şi definită ca relaţia dintre

fiabilitatea elementelor şi a sistemului, poate fi exprimată prin diverse forme din care vom evidenţia în continuare:

A. Pentru sisteme binare formate din elemente binare:

schema bloc; − − − −

− −

funcţia de structură; tabelul Karnaugh; funcţia de fiabilitate;

B. Pentru sisteme binare sau multivalente formate din elemente binare sau multivalente:

tabelul de adevăr; graful stărilor.

Fiecare dintre aceste forme de exprimare este adecvată pentru un anume scop.

2.2.1 Schema bloc (schema de fiabilitate)

Reprezintă elementele sub formă de blocuri cu legături funcţionale între un punct definit de intrare şi unul de ieşire cu convenţia că starea de succes a sistemului este asigurată dacă între punctul de intrare şi cel de ieşire există cel puţin o legătură de succesiune între elemente în funcţiune.

2.2.2 Funcţia de structură

Are forma:

)( ixfy =

unde:

y - este o variabilă binară asociată sistemului cu valoarea 1 dacă sistemul funcţionează şi 0 dacă sistemul este defect.

xi - este o variabilă binară asociată elementului i care are valoarea 1 dacă elementul i funcţionează şi 0 dacă elementul i este defect. Funcţia (f) foloseşte operatorii algebrici binari şi anume:

I - şi - notat şi cu (• );

U - sau - notat şi cu (+);

x - non - complementarul lui x.


Forma cea mai utilizată dintre cele cunoscute pentru funcţia f este cea canonică disjunctivă:

∑ ∏∈ ∈

=msssj nesi

izy

unde:

msss - mulţimea stărilor de succes ale sistemului; nes - numărul de elemente al sistemului;

ii xz = , dacă în starea j elementul i funcţionează;

ii xz = , dacă în starea j elementul i este defect;

2.2.3 Tabelul Karnaugh

Este folosit mult pentru simplificarea schemelor logice şi reprezintă o formă grafică a funcţiilor de structură la care sunt reprezentate prin căsuţe toate cele 2n stări ale sistemului binar format din elemente independente cu alocarea unor jumătăţi din acestea fiecărui element în funcţionare şi evidenţierea, de exemplu prin haşurare, a căsuţelor corespunzătoare stărilor de succes.

Este sugestiv şi util la calculul sensitivităţii sistemului din punct de vedere al elementelor.

2.2.4 Funcţia de fiabilitate

Pentru un sistem, are forma:

),1()( niPfP iS ∈=

unde n este numărul de elemente al sistemului.

Funcţia de fiabilitate a unui sistem poate rezulta din funcţia de structură a acestuia. La sistemele bivalente funcţia de structură rezultă ataşând sistemului variabila aleatoare binară:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ssS qpY

01

ps - probabilitatea de succes a sistemului;

qs - probabilitatea de refuz a sistemului.

Elementelor care compun sistemul le ataşăm variabilele aleatoare (X1, X2, … Xi, … Xn):


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iii qp

X01

pi - probabilitatea de funcţionare a elementului i;

qi - probabilitatea de refuz a elementului i.

Funcţia de structură va avea în acest caz forma:

),,,( 21 niS xxxxfY LL=

care în cazul formei canonice disjunctive devine:

∑ ∏= =

=nsss

j

nes

iizZ

1 1

unde: nsss = numărul de stări de succes a sistemului

nes = numărul de elemente a sistemului

⎩⎨⎧

=defectesteielementuljstareaindacax

zafunctioneaielementuljstareaindacaxz

i

ii

Se observă că:

( ) SSSS pqpYM =⋅+⋅= 01

( ) iiii pqpXM =⋅+⋅= 01

( ) iiii qqpXM =⋅+⋅= 10

[ ] [ ] [ ]( ) ( )iiniSS pfXMfxxxxfMYMp ==== ),,,( 21 LL

unde f este funcţia de structură.

2.2.5 Tabelul de adevăr

Poate reprezenta structura sistemelor binare sau multivalente formate din elemente binare sau multivalente. Are un număr de coloane egal cu numărul de elemente ale sistemului, plus o coloană pentru sistem şi un număr de linii egal cu numărul de stări ale sistemului.

Numărul de stări ale sistemului va fi: nesnss 2= - pentru sistemul format din elemente binare independente;

∏∈

=mesi

insenss - pentru sistemul format din elemente multivalente.

nss - numărul de stări ale sistemului; nes - numărul de elemente a sistemului;


nsei - numărul de stări al elementului i; mes - mulţimea elementelor sistemului.

Tabelul conţine simboluri sau numere care definesc starea (succes - refuz) respectiv nivelul de performanţă al elementului respectiv sistemului corespunzător liniei şi coloanei date. Performanţele sistemului în funcţie de cele ale elementelor în fiecare stare rezultă din analiza funcţională a sistemului.

De exemplu la debitele şi puterile pentru sistemele serie, performanţa sistemului este egală cu performanţa minimă a elementelor înseriate, iar la cele paralel performanţele se adună.

2.2.6 Graful stărilor

Nodurile grafului corespund fiecare unei stări a sistemului. În cazul independenţei elementelor acestea vor fi în număr de 2n.

Laturile grafului corespund tranziţiilor între stări sau sunt dublu orientate. Fiecărui sens al laturii i i se asociată intensitatea de tranziţie corespunzătoare.

În tabelele următoare se prezintă exemple de exprimare a structurii sub cele 6 forme: tabelul 2.1 pentru sisteme binare formate din două elemente binare, tabelul 2.2 şi tabelul 2.3 pentru sisteme binare formate din trei elemente binare:

2.3 Indicatori de fiabilitate pentru elemente şi sisteme

În general, indicatorii de fiabilitate reprezintă măsura fiabilităţii evidenţiind aspecte particulare sau globale ale acesteia. Există, pentru fiecare categorie de sisteme, indicatori reprezentativi unii dintre ei fiind consideraţi pentru diferite scopuri:

− − −

− − − −

proiectare; aprecierea strategiilor de exploatare; relaţii contractuale, etc.

În continuare se vor evidenţia indicatori de fiabilitate pentru:

elementul simplu binar nereparabil; elementul simplu binar reparabil; sisteme multivalente bipolare; sisteme multivalente de deservire (la care se va considera simultan performanţa sistemului şi cererea de la ieşirea din sistem).


Tab. 2.1 Sistem binar format din două elemene binare

SERIE PARALEL

SCHEME BLOC

1 2

1

2

FUNCŢIA DE STRUCTURĂ

21 xxy ⋅= 2121 xxxxy ⋅−+=

FUNCŢIA DE FIABILITATE

21 ppPs ⋅= 2121 ppppPs ⋅−+=

TABELUL DE ADEVĂR

Elem.1 Elem.2 SistemI f f fII f d dIII d f dIV d d d

Elem.1 Elem.2 SistemI f f fII f d fIII d f fIV d d d

TABELUL KARNAUGH

GRAFUL STĂRILOR

ff

df fd

μ1

λ1

μ2

λ2

SR

df fd

ff

SR

μ1

λ1

μ2

λ2

dd

μ1’

λ1’

μ2’

λ2’


Tab. 2.2 Sistem binar format din trei elemente binare

α β

SCHEME BLOC

1 2 3

1

3

2


321α xxxy ⋅⋅= ∏=

=3

1iixyβ


321 pppPs ⋅⋅=α ∏=

=3

1iis qQ β

TABELUL DE ADEVĂR E 1 E 2 E 3 S is t

I f f f fII d f f dIII f d f dIV d d f dV f f d dV I d f d dV II f d d dV III d d d d

E 1 E 2 E 3 S is tI f f f fII d f f fIII f d f fIV d d f fV f f d fV I d f d fV II f d d fV III d d d d

TABELUL KARNAUGH

GRAFUL STĂRILOR

dff ffd

fffμ1

λ1μ2

λ2

fdf

μ3

λ3

SR

d ff ffd

fff

SR

μ 1

λ1μ 2

λ2

fd fμ 2

μ 2

d d d

fd dd fdd d f

μ 3

λ3

λ2

μ 2

μ 2

μ 2λ1 λ1

λ1

μ 1

μ 1 μ 1

λ3λ3

μ 3μ 3

μ 3

λ3


Tab 2.3 Sistem binar format din trei elemente binare

γ δ

SCHEME BLOC 2

3

1

2 3

1


321

321321

xxx

xxxxxxy

⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=γ 321321321

321321

xxxxxxxxx

xxxxxxy

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=δ


321

321321

qpp

pqppppPs

⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅=γ 321321321

321321

ppqqqpqpppqppppPs

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= ⋅ ⋅ + ⋅δ

TABELUL DE ADEVĂR E 1 E 2 E 3 S is t .

I f f f fII d f f dIII f d f fIV d d f dV f f d fV I d f d dV II f d d dV III d d d d

E 1 E 2 E 3 S is tI f f f fII d f f fIII f d f fIV d d f dV f f d fV I d f d dV II f d d fV II d d d d

TABELUL KARNAUGH

GRAFUL STĂRILOR

d ff ffd

fff

S

R

μ 1

λ1μ 2

λ2

fd fμ 2

μ 2

d d d

fd dd fdd d f

μ 3

λ3

λ2

μ 2

μ 2

μ 2λ1 λ1

λ1

μ 1

μ 1 μ 1

λ3λ3

μ 3μ 3

μ 3

λ3

d ff ffd

fff

S

R

μ 1

λ1μ 2

λ2

fd fμ 2

μ 2

d d d

fd dd fdd d f

μ 3

λ3

λ2

μ 2

μ 2

μ 2λ1 λ1

λ1

μ 1

μ 1 μ 1

λ3λ3

μ 3μ 3

μ 3

λ3


2.3.1 Indicatorii de fiabilitate pentru elementul binar simplu nereparabil

Fiabilitatea elementului nereparabil este caracterizată de variabila aleatoare “timp de funcţionare neîntreruptă până la prima defectare” (Tf), variabilă care poate fi cunoscută prin funcţia de repartiţie:

( ) [ ]tTPtF f ≤=

şi prin funcţia de distribuţie sau densitatea de probabilitate a timpului de funcţionare:

( ) [ ] [ ]t

ttTtPdt

dttTtPtf f

t

f

ΔΔ+<<

=+<<

=→Δ 0

lim

t

t

t

t

t

Tf1

Tf2

Tf3

Tf4

Tf5

1

2

.

.

n

Fig.2.11 Timpul de funcţionare pentru elemente nereparabile

Indicatorii folosiţi pentru caracterizarea fiabilităţii elementului simplu nereparabil sunt de fapt indicatorii pentru capacitatea de a se defecta a elementelor aceştia fiind:

probabilitatea ca elementul să funcţioneze neîntrerupt cel puţin până la momentul t numită şi funcţie de siguranţă sau probabilitate de supravieţuire notată cu P(t) şi definită astfel:

−

( ) [ ]tTPtP f >=

probabilitatea ca elementul să se defecteze până la momentul t şi care este de fapt funcţia de repartiţie a lui Tf:

−

( ) [ ] ( )tFtTPtQ f =≤=

intensitatea sau rata de defectare sau de avarie ca funcţie de timp λ(t) definită ca probabilitatea condiţionată de defectarea în intervalul (t, t+dt) cu condiţia ca elementul să fi funcţionat neîntrerupt în intervalul (0, t), care este funcţia hazard a variabilei aleatoare (Tf):

−


( ) [ ]tTdttTtPdtt ff >+<<=λ

de unde rezultă:

( ) ( )( ) )(

)(

1 tPdt

tdP

tFtft =

−=λ

Variabila aleatoare "timp de funcţionare" mai poate fi caracterizată parţial şi prin:

media timpului de funcţionare neîntreruptă (M[Tf]), notată în continuare cu MTBF, care este momentul de ordinul 1 a variabilei aleatoare timp de funcţionare:

−

−

−

( )dttftMTBF f ⋅= ∫∞

0

dispersia timpului de funcţionare este momentul centrat de ordinul 2 al abaterii faţă de medie. Se exprimă cu relaţia:

dttfmtD )()(0

2 ⋅−= ∫∞

abaterea medie pătratică a timpului de funcţionare :

D=σ

Relaţiile dintre aceşti indicatori sunt date în tabelul 2.4

În figura 2.12 a,b,c se reprezintă variaţia în timp a lui λ(t), F(t) şi a lui f(t). În figura 2.12a se disting, pentru variaţia lui λ(t), trei domenii:

cu intensitatea de defectare căzătoare (faza de rodaj); − − −

cu intensitatea de defectare constantă (faza de maturitate); cu intensitatea de defectare crescătoare (faza de uzură).

Modelarea matematică a acestor faze din punct de vedere al variaţiei în timp a lui λ se poate face uşor folosind funcţia de repartiţie Weibull la care:

αβ tetF ⋅−−=1)( αβαβα tettf ⋅−−⋅⋅= 1)(

( ) 1−⋅⋅= αβαλ tt


Tabelul 2.4

Exprimat în funcţie de indicatorul Nr.crt.

Indi-cato-rul )(tF )(tf )(tR )(tλ

1 )(tF - ∫t

duuf0

)( )(1 tR− ( )[ ]duu∫−− λexp1

2 )(tf ( )dt

tdF -

( )dt

tdR− ( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅ ∫ duut

t

0

exp λλ

3 )(tR ( )tF−1 ∫∞

t

duuf )( - ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− ∫ duu

t

0

exp λ

4 )(tλ ( )( )

dttdF

tF⋅

−11

∫∞

t

duuf

tf

)(

)(

dttdR

tR)(

)(1

⋅− -

5 [ ]dttF∫∞

−0

)(1 ( ) dtduut

∫ ∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

0 0

exp λ ( )dttft∫∞

⋅0

∫∞

0

)( dttR MTBF

unde α şi β sunt parametrii repartiţiei care, aleşi corespunzător, pot modela la variaţia lui λ(t) în cele trei faze prezentate anterior, astfel:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<

urăfaza de uzmaturitatedefaza,α

rodajdeaza, fα

1, 1

1

α

În figura 2.13 se exemplifică acest lucru.

2.3.2 Indicatori de fiabilitate pentru elementul binar simplu reparabil

Elementul reparabil parcurge de-a lungul vieţii sale o succesiune alternativă de perioade de funcţionare şi defect (reparaţie), ca în figura 2.14.

Variabilele care descriu deci sub forma cea mai generală această succesiune sunt:

durata de funcţionare neîntreruptă Tf cu funcţia de repartiţie F(t); − − durata de defectare (refuz) neîntreruptă Tr cu funcţia de repartiţie G(t);

FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL

50

Timpul de funcţionare neîntreruptă poate fi caracterizat prin aceeaşi indicatori ca şi cei de la elementul simplu nereparabil. În plus, pentru elementele nereparabile se mai introduc următorii indicatori:

densitatea restabilirilor ca limita raportului dintre probabilităţi a uneia sau mai multor intrări în funcţiune în intervalul (t,t+Δt) şi mărimea intervalului, când Δt→0;

−

( ) ( )t

tttPth r

tr ΔΔ+

=→Δ

,lim0

densitatea defectărilor definită similar: −

( ) ( )t

tttPth d

td ΔΔ+

=→Δ

,lim0

rodajmaturitate

uzură

t

λ(t)

F(t2)

t1

1

t

F(t)

t1 t2

t

f(t))F(tdtf(t)

t

10

1

=⋅∫f(t2) f(t3)Δ t

t3 t3+Δ t

a)

b)

c)

Fig. 2.12 Variaţia în timp a indicatorilor: a) intensitatea de defectare; b) funcţia de reparare;

c) funcţia de distribuţie


a

b

cd

t(h)

λ(h-1) a: α=0.5b: α=1c: α=2d: α=3

40 16012080 200 240

4

8

16

12

a

bc

d

t(h)

f(t)

40 16012080 200 240

4

6

10

8

Fig.2.13 Intensitatea de defectare λ(t) şi funcţia de distribuţie a timpului de funcţionare f(t) în cazul

distribuţiei Weibull pentru diferite valori ale lui α

t

Tf1

Tr1

Tf2

Tr2

Tfn

TrnTri

Trf

T

Fig. 2.14 Duratele de funcţionare şi reparare pentru un element (sistem) reparabil

disponibilitatea A(t) este probabilitatea ca elementul să fie în starea de funcţionare la momentul t:

−

),()(),()()( dtttPtPdtttPtPdttA dfdfff +⋅++⋅=+


unde Pf(t) este probabilitatea ca elementul să fie în funcţiune la momentul t=R(t), Pff(t, t+dt) este probabilitatea ca elementul să fie defect la t = (1-Pf(t)) = 1-R(t) iar Pdf(t, t+dt) este probabilitatea ca elementul să fie reparat în intervalul (t, t+dt) = mentenabilitatea M(t).

Rezultă, prin trecere la limită t → ∞

)())(1()()( tMtRtRtA ⋅−+=

Disponibilitatea, ca urmare, poate fi crescută pe două căi:

- creşterea fiabilităţii elementului, R(t) - creşterea mentenabilităţii, M(t)

coeficientul de disponibilitate: −

][][][

fd

f

TMTMTM

A+

=

rata repunerilor în funcţiune (restabilirilor) −

ttTttTtP

tr reprep

t Δ

>Δ+≤<=

→Δ

)/(lim)(

0

2. BAZELE TEORETICE ALE FIABILITĂŢII ...cfcem.ee.tuiasi.ro/pdf/capitolul_2_studenti.pdf30...

Documents

Transcript of 2. BAZELE TEORETICE ALE FIABILITĂŢII ...cfcem.ee.tuiasi.ro/pdf/capitolul_2_studenti.pdf30...