17 z 2. REPREZENTAREA DREPTEI a z [V] RGI - cap2_Repr. dr..pdfsemiplanul bisector [B 1] şi [B 4]....

REPREZENTAREA DREPTEI

17

2. REPREZENTAREA DREPTEI

2.1 Epura dreptei

În general, o dreaptă oarecare este definită de două puncte. Prin urmare, pentru a

construi în spaţiu sau în plan o dreaptă, este suficient să se construiască proiecţiile a două

puncte ale ei.

Fie dreapta D din spaţiu, definită de punctele A şi B, ce aparţin dreptei (fig.2.1, a).

Proiectantele duse din A şi B pe planul orizontal de proiecţie vor determina proiecţia

orizontală a dreptei, d. În mod similar se determină proiecţia pe planul vertical, d’ şi pe

planul lateral, d”.

Reprezentarea

în epură a dreptei D

(fig.2.1 b) se obţine

prin construirea pro-

iecţiilor punctelor ca-

re definesc dreapta şi

unirea proiecţiilor de

acelaşi fel ale celor

două puncte, astfel:

a b = d,

a’ b’ = d’,

a” b” = d”.

Punctul M(m,m’)

se găseşte pe dreapta D(d,d’), atunci când proiecţiile lui se situează pe proiecţiile de acelaşi

fel ale dreptei: m d şi m’ d’ (fig.2.1). Rezultă că, în epură, atunci când este dată o

proiecţie a unui punct ce aparţine unei drepte, cealaltă proiecţie a punctului poate fi

determinată pe proiecţia de nume contrar a dreptei şi pe aceeaşi linie de ordine.

2.2 Studiul dreptei

Prin studiul dreptei se urmăreşte urmelor, stabilirea diedrelor pe care le străbate şi

determinarea punctelor de intersecţie cu planele bisectoare.

Urmele dreptei sunt punctele unde dreapta intersectează planele de proiecţie.

Dreapta D(d,d’) din figura 2.2, a, intersectează planele de proiecţie în punctele: H(h,h’,h”)

- urmă orizontală, V(v,v’,v”) - urmă verticală şi L(l,l’,l”) - urmă laterală.

Pentru a se determina urmele dreptei în epură, trebuie să se ţină seama de condiţia

de apartenenţă a punctului la dreaptă şi de definiţia urmei dreptei.

Urmele, fiind puncte conţinute în planele de proiecţie, au una din coordonate nulă.

Astfel, în figura 2.2, b, pentru determinarea urmei orizontale a dreptei D, se prelungeşte

proiecţia verticală d’ până la intersecţia cu axa Ox (adică, se caută un punct care să aibă

cota zero), determinându-se punctul h’- proiecţia verticală a urmei orizontale. Pentru

determinarea proiecţiei orizontale a urmei orizontale, se duce linia de ordine prin proiecţia

h’ care intersectează proiecţia orizontală a dreptei, d, în h; h” = d” Ox.

La determinarea urmei verticale a dreptei D (punct de depărtare zero), se

procedează în mod similar, prelungind proiecţia orizontală d a dreptei până la intersecţia cu

axa Ox, unde se obţine punctul v – proiecţia orizontală a urmei verticale. Prin proiecţia v se

a

a'

x O

[H]

D

az

ax

a"

ay

[L]

z

y

Bb'

bz

byb

bx b"

m'

m"

m

M

d

d"A

d'

[V]

a b

a

a'

x

az

ax

a"

z

y

y1O

ay

b

b"b'

bx

by

bzd'

m

m"m'

d

d"

Fig.2.1 Reprezentarea dreptei: a) în spaţiu, b) în epură

REPREZENTĂRI GRAFICE INGINEREŞTI

18

duce o linie de ordine până la intersecţia cu proiecţia verticală d’ a dreptei şi se determină

punctul v’ - proiecţia verticală a urmei verticale; v” = d” Oz.

Urma laterală este un punct din planul lateral, deci are abscisa nulă, iar pentru

determinarea ei în epură se poate proceda în două moduri (fig.2.2, b):

- se prelungeşte proiecţia orizontală d până la intersecţia cu Oy şi se determină

proiecţia orizontală a urmei laterale l; se duce un arc de cerc cu centrul în O şi de rază Ol

până la intersecţia cu Ox; se ridică o perpendiculară până la intersecţia cu d”, unde se

obţine l” – proiecţia laterală a urmei laterale a dreptei D; l’ = d’ Oz.

- se prelungeşte proiecţia verticală d’ până la intersecţia cu Oz şi se determină l’,

proiecţia verticală a urmei laterale; se duce o paralelă la Ox prin l’ până la intersecţia cu d”

unde se obţine l” - proiecţia laterală a urmei laterale a dreptei D; l = d Oy.

Împărţirea dreptei în regiuni înseamnă stabilirea diedrelor pe care le străbate

aceasta. Delimitarea porţiunilor de dreaptă ce sunt cuprinse în fiecare diedru este făcută de

urmele orizontale şi verticale ale dreptei, care sunt „puncte de graniţă” pentru dreaptă, fiind

situate în planele de proiecţie ce definesc diedrele.

O dreaptă de poziţie generală străbate trei diedre. Segmentul de dreaptă cuprins

între urmele H şi V se află într-un singur diedru, iar celelalte două semidrepte, din stânga şi

dreapta urmelor, în alte două diedre.

x O

D

[V]

[L]

z

y

d

d"d'

a b

x

z

y

[H]

h'

v" V=v'

H=h

l'L=l"

v

lh"

d"d'

v"

l' l"

v

v'

h

l

Oh'

d

y1

h"

Fig.2.2 Urmele dreptei

==x O

[B1]D

[V]

z

y

H = h d

d'

a b

x

z

y

O

V = v'

h' v

i

I

Jj'

j

i'

[H]

[B4]

DI

DIV

DII

v'

v

h

h'

j = j'

d'

d

DIIDIDIV

i'

i

a'

a

axb'

b

bx

Fig.2.3 Împărţirea dreptei în regiuni. Intersecţia cu planele bisectoare


19

Pentru identificarea diedrelor străbătute de dreapta D(d,d’) din figura 2.3, se

analizează semnele depărtărilor şi cotelor punctelor dreptei, considerând un punct pe

dreaptă în fiecare regiune, astfel:

- în regiunea din dreapta urmei V(v,v’), punctul A(a,a’) are depărtarea negativă

(axa 0) şi cota pozitivă (axa’ 0); rezultă că semidreapta străbate diedrul DII ;

- în regiunea cuprinsă între urme, punctul I(i,i’) are depărtarea pozitivă şi cota

pozitivă; segmentul de dreaptă VH din dreapta D se găseşte în diedrul DI ;

- în regiunea din stânga urmei H(h,h’), punctul B(b,b’) are depărtarea pozitivă

(bxb 0) şi cota negativă (bxb’ 0); rezultă că semidreapta străbate diedrul DIV.

Pentru determinarea punctelor în care dreapta intersectează planele bisectoare se

ţine seama de faptul că, punctul de intersecţie cu bisectorul [B1-3] va avea depărtarea egală

cu cota şi de acelaşi semn, iar punctul de intersecţie cu bisectorul [B2-4] va avea depărtarea

şi cota egale în modul şi de semne contrare.

Analizând dreapta D(d,d’) din figura 2.3, a, se observă că aceasta intersectează

semiplanul bisector [B1] şi [B4]. Pentru a determina aceste puncte, în epură, se face o

construcţie pur geometrică. Se duce din punctul h’ o dreaptă simetrică proiecţiei verticale

d’, faţă de axa Ox, care intersectează proiecţia orizontală d în i (fig.2.3, b), rezultând şi

proiecţia verticală i’, situată pe d’ şi astfel punctul I(i,i’) este punctul de intersecţie cu

semiplanul bisector [B1] (depărtarea egală cu cota). Punctul J(j,j’) este punctul de

intersecţie cu semiplanul [B4] şi se determină prelungind proiecţiile d şi d’ ale dreptei până

la intersecţia lor (depărtarea şi cota egale în modul).

2.3 Drepte în poziţii particulare

2.3.1 Dreaptă paralelă cu unul din planele de proiecţie

a) Dreapta orizontală (dreaptă de nivel) este dreapta paralelă cu planul orizontal de

proiecţie (fig.2.4).

Proprietăţi: - toate punctele orizontalei au aceeaşi cotă;

- proiecţiile verticală, d’ şi laterală, d’’, ale orizontalei sunt paralele cu axa Ox;

- proiecţia orizontală a orizontalei, d, are o poziţie oarecare. Orice segment din

dreapta orizontală se proiectează pe planul orizontal în adevărată mărime: AB = ab;

- unghiul pe care-l face orizontala cu planul vertical, , se proiectează în

adevărată mărime pe planul orizontal şi se regăseşte în epură între proiecţia orizontală, d, a

orizontalei şi linia de pământ, Ox;

- orizontala are numai urmă verticală V(v,v’,v’’) şi laterală L(l,l’,l’’).

a

a'

xO

[H]

D

a"

[V]

[L]

z

y

B

b'

b

b"

d

d"A

d'

a b

a

a'

x

a"

z

y

y1

O

b

b"b'

d'

d

d"

V = v'

v

l

l"

v"=l'

v

v"=l' l"

l

v'

Fig.2.4 Reprezentarea dreptei orizontale, D [H]: a) în spaţiu, b) în epură


20

b) Dreapta de front (frontala) este dreapta paralelă cu planul vertical de proiecţie

(fig.2.5).

Proprietăţi: - toate punctele frontalei sunt egal depărtate de planul vertical;

- proiecţia orizontală a frontalei, d, este paralelă cu linia de pământ, Ox;

- proiecţia verticală a frontalei, d’, are o poziţie oarecare. Orice segment de

dreaptă, AB, aflat în poziţie de frontală în spaţiu, se proiectează în adevărată mărime pe

planul vertical: AB = a’b’;

- proiecţia laterală a frontalei, d”, este perpendiculară pe axa Oy1;

- unghiurile pe care le face frontala cu planul orizontal, , şi respectiv cu

planul lateral, , se regăsesc în epură între d’ şi axa Ox, şi respectiv axa Oz, ;

- frontala are numai urmă orizontală H(h,h’,h”) şi laterală L(l,l’,l”).

c) Dreapta de profil este dreapta paralelă cu planul lateral de proiecţie (fig.2.6).

Proprietăţi: - toate punctele dreptei de profil au aceeaşi abscisă;

- proiecţiile orizontală, d şi verticală, d’, ale dreptei de profil sunt în prelungire

şi perpendiculare pe linia de pământ, Ox;

- proiecţia laterală a dreptei de profil, d”, are o poziţie oarecare. Un segment al

dreptei de profil se proiectează în adevărată mărime pe planul lateral: AB = a”b”;

- unghiurile pe care le face dreapta de profil cu planul orizontal, şi vertical,

, se identifică în epură ca fiind unghiurile dintre d” şi axa Oy1 - şi axa Oz - ;

- dreapta de profil are numai urmă orizontală H(h,h’,h”) şi verticală V(v,v’,v”).

a

a'

x

O

[H]

D

a"

[V]

[L]

z

y

B

b'

b

b"

d

d"A

d'

a b

a

a'

x

a"

z

y

y1O

b

b"b'

d'

d

d"

H = h

h'

h"=l

l"

l'

h'

l' l"

l

h"

h

Fig.2.5 Reprezentarea dreptei de front, D [V]: a) în spaţiu, b) în epură

a

a'

x

O

[H]

D

a"[V]

[L]

z

y

B

b'

b

b"

d

d"

A

d'

a b

a

a'

x

a"

z

y

y1O

b

b"b'd'

d

d"

H = h

v = h'

h"

v"

h"

h

V = v'

v' v"

v = h'

Fig.2.6 Reprezentarea dreptei de profil, D [L]: a) în spaţiu, b) în epură


21

2.3.2 Dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecţie

a) Dreapta verticală este dreapta perpendiculară pe planul orizontal de proiecţie

(fig.2.7).

Proprietăţi: - toate punctele verticalei sunt egal depărtate de planul vertical şi de planul

lateral de proiecţie;

- proiecţia orizontală a verticalei, d, este un punct şi se confundă cu urma

orizontală, d h;

- proiecţiile verticală, d’ şi laterală, d”, ale verticalei sunt paralele cu axa Oz;

- dreapta verticală nu are urmă verticală şi laterală, doar urmă orizontală.

b) Dreapta de capăt este dreapta perpendiculară pe planul vertical de proiecţie

(fig.2.8).

Proprietăţi: - toate punctele dreptei de capăt au aceeaşi abscisă şi aceeaşi cotă;

- proiecţia verticală a dreptei de capăt, d’, este un punct şi se confundă cu urma

verticală, d’ v’;

- proiecţia orizontală a dreptei de capăt, d, este paralelă cu axa Oy;

- proiecţia laterală a dreptei de capăt, d”, este paralelă cu axa Oy1;

- dreapta de capăt nu are urmă orizontală şi laterală, doar urmă verticală.

z

a'

x

O[H]

D

a"

[V]

[L]

y

B

b'

d = a = b = h

b"

d"

A

d'

a b

a'

x

a"

z

y

y1O

b"b'

d' d"

h'

h"

h"

d = a = b = h

h'

Fig.2.7 Reprezentarea dreptei verticale, D [H]: a) în spaţiu, b) în epură

xO

[H]

D

a"[V]

[L]

y

B

d

b"

d"

A

a b

x

a"

z

y

y1

O

d"d' = a' = b' = v' v"

h"v

b

a

d' = a' = b' = v' b"v"

z

b

a

d

v

Fig.2.8 Reprezentarea dreptei de capăt, D [V]: a) în spaţiu, b) în epură


22

c) Dreapta fronto-orizontală este dreapta perpendiculară pe planul lateral de

proiecţie (fig.2.9).

Proprietăţi: - toate punctele fronto-orizontalei au aceeaşi depărtare şi aceeaşi cotă;

- proiecţia laterală a fronto-orizontalei, d”, este un punct identic cu urma

laterală, d” l” ;

- proiecţiile orizontală, d şi verticală, d’, ale fronto-orizontalei sunt paralele cu

linia de pământ, Ox;

- dreapta fronto-orizontală nu are urmă orizontală şi verticală, doar urmă

laterală.

2.4 Poziţiile relative a două drepte

a) Drepte paralele

Două drepte paralele

în spaţiu, AB MN

(fig.2.10, a), au în epură

proiecţiile de acelaşi nume

paralele între ele, ab mn şi

a’b’ m’n’ (fig.2.10, b).

Observaţie: Dacă

două drepte paraleleîntre ele

şi paralele cu unul din

planele de proiecţie sunt

date în epură numai prin

proiecţiile pe celelalte două

plane (unde apar paralele), pentru a verifica paralelismul lor, este obligatoriu să se verifice

dacă şi în cea de a treia proiecţie sunt paralele.

b) Drepte concurente

În spaţiu, două drepte sunt concurente când au un punct comun, punctul de

intersecţie al lor. În epură, condiţia ca două drepte să fie concurente este ca proiecţiile lor

de acelaşi nume să se intersecteze, iar punctele de intersecţie ale proiecţiilor (orizontale şi

verticale) să fie pe aceeaşi linie de ordine.

xO

[H]

D

[V][L]

y

B

d

d"= a"= b"= l"A

a b

x

z

y

y1

O

a' l'

ba

z

ba

dl

b'd'a' b'd' l'

l

d"= a"= b"= l"

Fig.2.9 Reprezentarea dreptei fronto-orizontale, D [L]: a) în spaţiu, b) în epură

xO

[H]

[V]

z

y

B

b'A

a b

x

z

y

O

a'

ba

b'

a'

ab

NM

m'n'

m

n

m'n'

nm

Fig.2.10 Reprezentarea dreptelor paralele:

a) în spaţiu: AB MN, b) în epură: ab mn, a’b’ m’n’


23

În figura 2.11, a,

AB MN = I, iar în epură

(fig.2.11, b), ab mn = i şi

a’b’ m’n’ = i’, proiecţiile

punctului de intersecţie i şi

i’ sunt pe aceeaşi linie de

ordine, ii’ Ox.

Două drepte se pot

intersecta în spaţiu sub un

unghi oarecare sau sub un

unghi drept. Dacă un unghi

oarecare are laturile parale-

le cu un plan de proiecţie,

unghiul se proiectează în

adevărată mărime pe planul respectiv.

Pentru unghiul drept este suficient ca numai una dintre laturile lui să fie paralelă cu

planul de proiecţie pentru ca acesta să se proiecteze în adevărată mărime pe acel plan –

teorema unghiului drept.

Rezultă că, în sistemul de proiecţie dublu ortogonal, unghiul drept se proiectează în

adevărată mărime pe unul din planele de proiecţie, atunci când una din laturile unghiului

este o orizontală (fig.2.12, a), o frontală (fig.2.12, b) sau o dreaptă de profil (fig.2.12, c).

Pe baza celor de mai sus se poate formula şi reciproca teoremei unghiului drept:

dacă proiecţia unui unghi este de 900, atunci unghiul proiectat este drept numai dacă cel

puţin una dintre laturile lui este paralelă cu acel plan de proiecţie.

c) Drepte disjuncte

Dreptele disjuncte sunt oricare drepte din spaţiu care nu sunt nici paralele, nici

concurente.

Acestea sunt necoplanare, după cum se observă şi în figura 2. 13, a, AB [Q] şi

MN [R]. Din reprezentarea lor în epură (fig.2.13, b) chiar dacă proiecţiile verticale se

intersectează, a’b’ m’n’ = i’1, acesta este doar un punct de concurenţă aparent, deoarece

ducând linia de ordine, în proiecţia orizontală îi corespund două proiecţii, pe fiecare

proiecţie orizontală a dreptei în parte, i1 ab şi i2 mn. Rezultă că dreptele sunt

neconcurente. De asemenea, ele nu sunt paralele, chiar dacă au proiecţiile orizontale

paralele, pentru că nu este verificată condiţia de paralelism în proiecţia verticală.

xO

[H]

[V]

z

y

b'

A

a b

x

z

y

O

a'

b

a

b'

a'

a

b

N

M

m'

n'

mn

m'

n'

n

m

B

I

i'

i

i'

i

Fig.2.11 Reprezentarea dreptelor concurente:

a) în spaţiu: AB MN = I, b) în epură

a

x

z

y

b

a'

O

b'

a

b c

c' e'

c

e

x

z

y

n

m'

O

n'

m

j'

i'

j i

x

z

ys

r'

O

s'

r

f'

g'

f

r"

s'f"

g"

g

AB CE MN IJRS FG

Fig.2.12 Teorema unghiului drept


24

Vizibilitatea în epură

Dintre două puncte care au pe unul din planele de proiecţie, orizontal vertical sau

lateral, proiecţiile suprapuse, este vizibil punctul care se află la distanţă mai mare de acel

plan, adică cel care are cota, depărtarea respectiv abscisa mai mare.

Astfel, în figura 2.13, a se observă că dreapta MN este situată în faţa dreptei AB.

Pentru a stabili acest lucru în epură (fig.2.13, b) se consideră punctul unde proiecţiile

verticale ale dreptelor se intersectează şi unde există două puncte suprapuse, i1’ ≡ i2’. Este

vizibil punctul care are depărtarea mai mare şi anume punctul I2, implicit dreapta MN.

În figura 2.14 dintre punctele A şi B este vizibil punctul B, în fiecare dintre cazuri.

2.5 Probleme rezolvate

1. Fie punctele A(25,14,17) şi B(10,10,5). Să se reprezinte în epură dreapta

D(d,d’,d”), definită de punctele A şi B. Să se determine urmele dreptei, diedrele pe care le

străbate dreapta şi punctele de intersecţie cu planele bisectoare.

Rezolvare: Pentru rezolvarea problemei se procedează astfel (fig.2.15):

- se reprezintă epura punctelor A(a,a’a”) şi B(b,b’,b”);

- se unesc proiecţiile de acelaşi nume ale punctelor şi se obţin proiecţiile d, d’ şi d”

ale dreptei D: a b = d, a’ b’ = d’, a” b” = d”;

- pentru determinarea urmei orizontale H(h,h’,h”) – punct de cotă nulă – se

intersectează proiecţia verticală d’ cu axa Ox, rezultând proiecţia verticală a urmei

orizontale h’, d’ Ox = h’; se duce linia de ordine din h’ până pe proiecţia orizontală d,

xO

[H]

z

y

B

b'

A

a b

x

z

y

O

a'

ba

b'

a'

a

b

N

M

m'

n'

m

n

m'

n'

nm

i1'= i2'

[V]

I1

I2

i1

i2

[R]

[Q]i1'= i2'

i1

i2

Fig.2.13 Reprezentarea dreptelor disjuncte AB MN = : a) în spaţiu, b) în epură

a

x

z

y

a'

O

b'

a = b

b

x

z

y

a O

b

a' = b'

c

x

z

y

a'

O

b' a"= b"

b a

Fig.2.14 Vizibilitatea în epură


25

unde se determină proiecţia orizontală h; la intersecţia dintre proiecţia laterală d” cu axa

Oy1 se determină proiecţia laterală h”, d” Oy1 = h”;

- pentru determinarea urmei verticale V(v,v’,v”) – punct de depărtare nulă – se

intersectează proiecţia orizontală d cu axa Ox, rezultând proiecţia orizontală a urmei

verticale v, d Ox = v; se duce linia de ordine din v până pe proiecţia verticală d’, unde se

determină proiecţia verticală v’; la intersecţia dintre proiecţia laterală d” cu axa Oy se

determină proiecţia laterală v”, d” Oy = v”;

- proiecţiile orizontală şi verticală ale urmei laterale se determină la intersecţia axei

Oy, respectiv Oz, cu proiecţia orizontală, respectiv verticală, a dreptei : d Oy = l, d’ Oz

= l’; proiecţia laterală a urmei laterale l” se află trasând o paralelă la axa Ox prin l’, până la

intersecţia cu proiecţia laterală d”;

- diedrele pe care le străbate

dreapta sunt determinate de urma

orizontală şi urma verticală: în stânga

urmei orizontale dreapta stăbate diedrul

DI, pentru că punctul A DI; între urma

orizontală şi cea verticală s-a considerat

punctul C(c,c’), c d, c’ d’, care are

cota negativă şi depărtarea pozitivă, deci

C DIV (TVIII) şi implicit şi dreapta

străbate diedrul DIV; în dreapta urmei

verticale dreapta stăbate diedrul DIII,

pentru că punctul care s-a luat pe

dreaptă, e d, e’ d’, aparţine

diedrului DIII, E DIII (TVII);

- dreapta intersectează semipla-

nele bisectoare [B1] şi [B2]:

- punctul de intersecţie I(i,i’) cu bisectorul [B1] se determină trasând prin

punctul h’ simetrica proiecţiei verticale d’, faţă de linia de pământ Ox; aceasta

intersectează proiecţia orizontală d în i; ducând linia de ordine prin i, la intersecţia cu

proiecţia verticală d’ se determină i’, punctul I, având cota şi depărtarea egale.

- punctul de intersecţie J(j,j’) cu bisectorul [B2] se determină la

intersecţia proiecţiilor orizontală şi verticală, d d’ = j ≡ j’, punct care are cota şi

depărtarea egale în modul.

2. Să se reprezinte în epură dreapta

D(d,d’,d”), definită de punctele A(15,20,10) şi

B(30,5,30). Să se determine pe dreaptă un punct

M, a cărui depărtare este 30mm şi un punct N a

cărui cotă este 20mm.

Rezolvare: Pentru determinarea epurei

dreptei se reprezintă punctele A(a,a’a”),

B(b,b’,b”) şi se unesc proiecţiile de acelaşi nume

ale punctelor, obţinându-se proiecţiile d, d’ şi d”

ale dreptei (fig.2.16).

Proiecţiile punctelor M(m,m’,m”) şi

N(n,n’,n”) trebuie să fie situate fiecare pe

proiecţia de acelaşi nume a dreptei. Pentru

aflarea lor se fixează pe Ox abscisa punctului M,

Omx = 30 şi pe Oz, cota punctului N, Onz = 20.

Prin punctul mx se trasează linia de ordine până

_x

z

y

d"d'

v

v'

h"

h l

Oh'

d

b"

a'

ab

b'

a"

y1

i'

i

j = j'

l' l"

=

=

_

DIIDI DIII

v"

Fig.2.15 Rezolvarea problemei 1

x

z

y

b"b'm"

a'n"n'

a"

b

a

Omx

d

y1

d' d"

m'

m

nz

n



26

la intersecţia cu proiecţiile d şi d’, determinând proiecţiile m şi m’ ale punctului. Proiecţia

m” se găseşte pe paralela dusă prin m’ la Ox şi totodată pe proiecţia d”. Punctul

M(m,m’,m”) este astfel determinat. Pentru punctul N se găsesc mai întâi proiecţiile

verticală şi laterală, n’ şi n”, trasând paralela la Ox prin nz, până la intersecţia cu d’ şi d”,

iar apoi din n’ se coboară o linie de ordine până pe d, unde se determină şi proiecţia n.

3. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”),

definită de punctele A(22,3,14) şi B(22,10,5). Ce

informaţii oferă epura despre dreapta din spaţiu ?

Rezolvare: Din analiza coordonatelor punctelor

care determină dreapta se observă vă aceasta este o

dreaptă de profil, deci are urmă orizontală şi verticală.

Urmele dreptei nu se pot determina conform celor

arătate la o dreaptă oarecare. După trasarea epurei

dreptei D(d,d’,d”), se prelungeşte proiecţia d” până la

intersecţia cu axele Oz şi Oy1, obţinându-se proiecţiile

laterale ale urmelor verticală şi orizontală,

d” Oz = v”, d” Oy1 = h” şi apoi celelalte proiecţii

corespunzătoare (fig.2.17).

Din epura dreptei D se găsesc unghiurile pe care aceasta le face cu planele de

proiecţie, şi anume: (D, [V]) = (d”, Oz) = şi (D, [H]) = (d”, Oy1) = .

4. Să se traseze o dreaptă D1 în planul orizontal, înclinată la 300 faţă de planul

vertical, care întâlneşte axa Ox la 30 mm şi o dreaptă D2 în planul vertical, înclinată la 450

faţă de planul orizontal, care întâlneşte axa Ox la 35 mm.

Rezolvare: În figura 2.18, a s-a trasat din v’ (Ov’= 30) proiecţia orizontală d1 sub un

unghi de 300 faţă de axa Ox şi d1’≡ Ox, respectiv d1”≡ Oy1, dreapta fiind situată în planul

orizontal. De asemenea, pentru dreapta D2, care este o frontală din planul vertical, s-a trasat

proiecţia verticală d2’

sub un unghi de 450

faţă de axa Ox,

pornind din urma

orizontală h (Oh =

35) şi d2 ≡ Ox,

respectiv d2 ≡ Oz (fig

2.18, b).

5. Se dă

punctul A(18,13,4). Să

se stabilească coordo-

natele unui punct B,

astfel încât segmentul de dreaptă AB să fie paralel cu

planul vertical de proiecţie şi să facă un unghi de 300

cu acesta şi a unui punct C, astfel încât AC să fie

verticală.

Rezolvare: Se reprezintă în epură punctul

A(a,a’,a”), se trasează prin proiecţia orizontală a o

paralelă la axa Ox, d, prin proiecţia laterală a” o

paralelă la axa Oy, d” şi prin proiecţia verticală a’ o

dreaptă înclinată la 300, faţă de axa Ox (fig.2.19).

Acestea sunt proiecţiile dreptei D(d,d’,d”), o frontală

care conţine segmentul AB. Rezultă că pentru a

stabili coordonatele unui punct B este suficient să se

a

a'

x

a"

z

y

y1

O

b

b"b'

d'

d

d"

h"

h

v' v"

v = h'


a b

x

z

y

y1O

d1'

D1=d1

d1"

h=h'

z

y

y1O

d2

D2=d2' d2"

300

v=v'

x

450


a = c =

a'

x

a"

z

y

y1O

b

b"b'

d'

d

d"

' d" = "

300

c' c"

bx

cz



27

ia abscisa punctului, de exemplu: Obx = 9mm, pentru ca

apoi să se determine proiecţiile b, b’ şi b”, astfel încât

acestea să aparţină proiecţiilor dreptei D; rezultă

B(9,13,9).

Prin punctul A(a,a’,a”) se trasează verticala

∆(,’,”), astfel încât a = , ’ Ox, a’ ’ şi

” Oy1, a” ”. Punctul C ∆ are abscisa şi

depărtarea punctului A, iar pentru cotă se consideră

Ocz = 15, C(18,13,15).

6. Prin punctul M(18,7,14) să se traseze

proiecţiile unei drepte orizontale D(d,d’,d”) şi ale unei

drepte verticale ∆(,’,”).

Rezolvare: Se reprezintă epura punctului M; prin

proiecţia verticală m’ se trasează o paralelă la axa Ox, d,

care se prelungeşte şi prin proiecţia laterală, aceasta

reprezentând d”. Problema are o infinitate de soluţii,

deoarece printr-un punct se pot trasa o infinitate de

orizontale. Se consideră o orizontală care să facă 450 cu

planul vertical, deci proiecţia orizontală d se trasează

prin m, înclinată la 450 faţă de axa Ox (fig.2.20).

Verticala ∆(,’,”) se trasează prin punctul

M(m,m’,m”), astfel: m = , ’ Ox, m’ ’ şi

” Oy1, m” ”.

7. Fie dreapta D(d,d’,d”) definită de punctele

A(21,4,8) şi B(8,8,5). Prin punctul N(18,7,20) să se

ducă o paralelă D1 la D, o dreaptă concurentă D2 cu D

şi o dreaptă disjunctă D3.

Rezolvare: Proiecţiile dreptei D1 sunt paralele cu

proiecţiile de acelaşi nume ale dreptei D, d1 d, d1’ d’

şi se trasează prin proiecţiile punctului N, n d, n’ d’.

Dreapta D2, concurentă cu dreapta D, este

definită de punctul N şi de punctul A, a n = d2,

a’ n’ = d2’. Astfel se asigură condiţia ca punctul de

concurenţă să aparţină ambelor drepte.

Dreapta disjunctă D3, este dată de proiecţiile d3

şi d3’, trasate prin n, respectiv n’, care după cum se

observă în figura 2.21, sunt concurente în f şi e’,

proiecţii care nu aparţin aceluiaşi punct al dreptei D,

nefiind situate pe aceeaşi linie de ordine.

8. Se dă frontala AB, A(12,10,16), B(4,10,2) şi

punctul exterior ei, M(20,4,4). Să se traseze în epură

prin M, o dreaptă D perpendiculară pe AB.

Rezolvare: Unghiul drept se proiectează în

adevărată mărime în proiecţia pe planul vertical. Prin

m’ se trasează o perpendiculară d’ pe a’b’ şi se

determină punctul de intersecţie I(i,i’). Unind m cu i se

obţine proiecţia d a dreptei D (fig.2.22).

9. Să se precizeze poziţia relativă a dreptelor

D1, D2, D3 din figura 2.23 şi să se întrerupă proiecţiile

celor invizibile în punctele de concurenţă aparentă.

m =

m'

x

m"

z

y

y1

O

d'

d

d"' "

450


x

z

y

Ob'a'

a b

n'

n

d'

d

d1'

d2

d2'

d1

d3'

d3

e'

f


x

z

y

O

i1'= i2'

i1

i2d1

d3'j1'= j3'd2'

d3

d1'

d2

j2'

j2= j3

j1i3

i3'


x

yb

m'

O

b'

m

a'

i'

a i

zd'

d



28

Rezolvare: Studiind punctele de concurenţă aparentă I1, I2, J1, J2 şi J3 se constată că

dreptele sunt disjuncte. În proiecţia verticală sunt vizibile punctele I2 faţă de I1 şi J1 faţă de

J3, deci se reprezintă întrerupte proiecţiile d1’ şi d3’. În proiecţia orizontală sunt vizibile

punctul J2 faţă de J3, deci se reprezintă întreruptă proiecţia d3 (fig.2.23).

2.6 Probleme propuse

1. Fie punctele A şi B. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”), definită de

punctele A şi B. Să se determine urmele dreptei, diedrele pe care le străbate dreapta şi

punctele de intersecţie cu planele bisectoare.

a) A(40,10,15) şi B(15,15,10)

b) A(90,30,10) şi B(10,10,60)

c) A(30,-20,10) şi B(10,20,-30)

d) A(10,-20,-30) şi B(30,20,-10)

e) A(15,25,25) şi B(40,10,15)

2. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”), dată de M şi N. Să se găsească

urmele dreptei, diedrele pe care le străbate şi punctele de intersecţie cu planele bisectoare.

a) M(26,17,13) şi N(74,7,40)

b) M(50,10,40) şi N(20,30,10)

c) M(70,40,50) şi N(10,10,15)

d) M(65,35,15) şi N(25,10,50)

e) M(-40,30,20) şi N(30,-20,46)

3. Să se reprezinte în epură dreapta D(d,d’,d”) : A(6,30,30) şi B(10,-20,). Să se

determine pe dreaptă un punct M, a cărui depărtare este -10mm şi un punct N a cărui cotă

este 20mm.

4. Să se determine proiecţiile punctului A, de cotă -20mm şi a punctului B, de

depărtare 10mm, ştiind că aparţin dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele E(30,40,10) şi

F(-30,10,60).

5. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele A(-10,20,15) şi

B(10,10,15). Ce particularităţi are dreapta din spaţiu ?

6. Să se determine urmele dreptei D(d,d’,d”), definită de punctele A(50,30,10) şi

B(30,30,-10). Ce informaţii oferă epura despre dreapta din spaţiu ?

7. Se dă punctul A(30,20,50). Să se stabilească coordonatele unui punct B, astfel

încât segmentul de dreaptă AB să fie paralel cu planul orizontal de proiecţie şi să facă un

unghi de 450 cu acesta şi a unui punct C, aşa încât AC să definească o dreaptă de capăt.

8. Prin punctul M(10,30,15) să se traseze proiecţiile unei drepte frontale D(d,d’,d”)

şi a unei drepte verticale ∆(,’,”).

9. Prin punctul N(25,15,30) să se traseze proiecţiile unei drepte de profil D(d,d’,d”),

care face 300 cu planul vertical şi a unei drepte fronto-orizontale ∆(,’,”).

10. Fie punctul A(20,20,50). Să se traseze prin A o dreaptă orizontală, ştiind că

aceasta întâlneşte semiplanul bisector [B1] la o distanţă de 60mm de planul lateral.

11. Fie dreapta D(d,d’,d”) definită de punctele A(10,30,15) şi B(60,10,5). Prin

punctul N(45,50,40) să se ducă o paralelă D1 la D, o dreaptă concurentă D2 cu D şi o

dreaptă disjunctă D3.

12. Prin punctul C(30,20,40) să se traseze o perpendiculară pe o orizontală D, aflată

la 50mm de planul orizontal, ştiind că face cu planul vertical un unghi de 450.

13. Să se ducă în epură prin punctul M(10,-20,30) o verticală şi o fronto-orizontală.

14. Prin punctul A(20,0,40) să se ducă o frontală care face 600 cu planul orizontal.

15. Să se construiască epura unui triunghi isoscel ABC, ştiind că baza AB este

paralelă cu planul orizontal de proiecţie: A(50,10,20), B(20, 40, 20).

17 z 2. REPREZENTAREA DREPTEI a z [V] RGI - cap2_Repr. dr..pdfsemiplanul bisector [B 1] şi [B 4]....

Documents

Transcript of 17 z 2. REPREZENTAREA DREPTEI a z [V] RGI - cap2_Repr. dr..pdfsemiplanul bisector [B 1] şi [B 4]....