15 Campul Magnetic in Vid

7/23/2019 15 Campul Magnetic in Vid

1/25

A. Rusu, S. Rusu 15. Cmpul magnetic n vid

1

15. Cmpul magnetic n vid. Micarea particulelor ncrcate ncmp magnetic

15.1 Cmpul magnetic. Inducia magnetic. Fora

electromagnetic. Momentul magnetic

Din timpuri strvechi se cunoate c unele buci de roc au proprietatea de a se atrage sau de a serespinge. S-a observat, de asemenea, c aceste buci de roc se orienteaz n spaiu ntr-o anumitdirecie. Aceast proprietate se utiliza n China antic pentru orientarea n spaiu, astfel construindu-seprima busol. Ulterior s-a constatat, c aceste buci de roc au in componena lor diferite aliaje alefierului n anumite proporii de mas. Ele au fost numite magnei. Pe suprafaa magneilor ntotdeaunaexist locuri care atrag cel mai puternic substanele feroase. Aceste locuri au fost numite polimagnetici. Orice magnet suspendat de un fir flexibil (departe de ali magnei sau substane feroase) seorienteaz cu polii si spre polii geografici. Din aceast cauz polul magnetului orientat spre polul sudgeografic a fost numit polul sud (S), iar cel orientat spre polul nord geografic polul nord (N).Magneii interacioneaz ntre ei. Polii de acelai nume se resping, iar cei de nume diferite se atrag.Este clar c interaciunea magneilor trebuie s se produc printr-un anumit mediu. Acest mediu acptat denumirea de cmp magnetic.

n anul 1820 fizicianul danez Hans Christian Oersted (1777 1851) a stabilit experimental c sursa cmpului magnetic estecurentul electric. Acest fapt se atest prin aciunea de reorientare ceo exercit un conductor parcurs de curent electric asupra unui acmagnetic (fig. 15.1). S-a stabilit, de asemenea, c orice conductor

parcurs de curent electric este supus unei aciuni de for din parteaunui magnet permanent. Dup cum era i de ateptat, fora ceacioneaz din partea magnetului asupra unui conductor rectiliniuparcurs de curent este proporional cu intensitatea curentului princonductor I , cu lungimea l a prii conductorului aflat n cmp idepinde de unghiul dintre direcia cmpului magnetic i cea a

curentului. n cazul cnd acest unghi este de o90 (cmpul magneticeste perpendicular pe conductor), fora, numit i forelectromagnetic, este maxim(fig. 15.2). Astfel,

maxF BIl= . (15.1)

n aceast expresie coeficientul de proporionalitate B reprezint caracteristica de for a cmpuluimagnetic, care a cptat denumirea de inducie a cmpului magnetic. Ea arat ct de intens estecmpul magnetic. Dup cum rezultdin (15.1),

maxFBIl

= , (15.2)

Fig. 15.1

Fig. 15.2


2/25


2

Inducia cmpului magnetic este numeric egal cu fora ce acioneaz asupra unei uniti

de lungime (1 m) a conductorului rectiliniu parcurs de un curent cu o intensitate unitar

(1 A), atunci cnd cmpul magnetic este perpendicular pe conductor.

Unitatea de inducie magneticn SI este T (tesla):

N1T 1A m=

Inducia magnetic este o mrime vectorial. n cazul unui magnet permanent vectorul inducieimagnetice este orientat de la polul nord al magnetului spre polul sud al acestuia (fig. 15.2).

Cmpul se numete staionar dac inducia lui nu variaz n timp att ca mrime, ct i ca

direcie i sens.

n teoria magnetismului se utilizeaz pe larg reprezentarea grafic a cmpului magnetic staionar

utiliznd liniile de cmp magnetic.

Linia trasat n cmpul magnetic astfel nct direcia tangentei la ea n orice punct s

coincid cu direcia vectorului induciei cmpuluise numete linie de cmp.

ntruct tangenta ca i oricare alt dreapt definete dou sensuri

opuse, liniei de cmp i se atribuie un anumit sens (fig. 15.3). n calitate

de sens pozitiv al liniei de cmp se ia sensul vectorului B

. Liniile

cmpului magnetic pot fi observare cu ajutorul piliturii de fier care

magnetizndu-se n cmpul cercetat, se orienteaz asemenea acelor

magnetice. nfigura 15.4,asunt reprezentate liniile cmpului magnetic

ale unui magnet permanent n form de bar,obinute prin metoda menionat. Analog se pot obine

tablourile liniilor de cmp magnetic ale curenilor de diferite forme (fig. 15.4,b, 15.4,ci 15.4,d). Ca i

n cazul cmpului electric liniile de cmp magnetic sunt mai apropiate n locurile unde cmpul este mai

intens i mai distanate n locurile unde cmpul este mai slab. De aceea, dup densitatea liniilor de

cmp se poate judeca despre mrimea inducieicmpului magnetic. Sensul liniilor cmpului magnetic

se determin aplicnd regula burghiului cu filet de dreapta:

Fig. 15.3

a) b) c) d)

Fig. 15.4


3/25


3

La rotirea burghiului cu filet de dreapta, astfel nct acesta s

nainteze n sensul curentului din conductor, sensul rotaiei

mnerului suindic sensul liniilor cmpului magnetic format

de acest curent(fig. 15.5).

Dac vectorul induciei magnetice intr n figur perpendicular pe

planul ei, atunci acesta se noteaz cu simbolul , iar dac esteperpendicular pe planul figurii i iese din ea - cu simbolul (fig. 15.5).

Aceleai notri se utilizeaz i pentru indicarea sensului curenilor perpendiculari pe planul figurii.

Alturi desimbolurile menionate se scrie mrimea fizic corespunztoare, adic B

sau I .

Dup cum s-a stabilit experimental, n cazul cnd unghiul dintre direcia cmpului i cea a

curentului rectiliniu o90 , fora electromagnetic este

sinF BIl = . (15.3)

Aceast formul este valabil numai pentru cazul cnd de-a lungul prii conductorului rectiliniu de

lungime l inducia magnetic B este aceeai.

Cmpul magnetic caracterizat n toate punctele lui de aceeai inducie magnetic att ca

mrime, ct i ca direcie i sensse numete omogen.

n caz contrar cmpul se numete neomogen.n cazul unui cmp magnetic neomogen i/sau a unui conductor parcurs de curent de form arbitrar,

pentru determinarea forei electromagnetice, conductorul se divizeaz imaginar n elemente att de mici,nct ele s poat fi considerate rectilinii, iar cmpul n limitele lor - omogen. Fora ce acioneaz

asupra unui element de curent Idl

din partea cmpului magnetic poate fi scris sub form scalar

sindF BIdl = ,

sau vectorial

dF I dl B =

. (15.4)

Sensul forei electromagnetice dF

ce acioneaz asupra elementului de

curent Idl

se determin cu ajutorul regulii minii drepte (vezi cap. 4):

dac rotim cu patru degete a minii drepte vectorul

dl

(seafl pe primul loc n produsul vectorial) spre vectorul

B (se afl

pe al doilea loc n produs) pe drumul cel mai scurt, atunci

sensul vectorului

dF va fi indicat de degetul mare ndoit sub

unghiul de 90o(fig. 15.6).

Se utilizeaz pe larg i regula minii stngi:

Fig. 15.5

Fig. 15.6


4/25


4

dac aezm mna stng astfelnct vectorul induciei magnetice s intre perpendicular n

palm, iar cele patru degete ntinse s indice sensul curentului din conductor, atunci

degetul mare ndoit sub unghiul de 90oindic sensul forei electromagnetice

dF (fig. 15.6).

Expresia (15.4) reprezint fora electromagnetic dF

ce acioneaz asupra elementului de curent

Idl

. Pentru a determina fora electromagnetic F

ce acioneaz asupra ntregului conductor, trebuie ssumm forele ce acioneaz asupra tuturor elementelor conductorului aflate n cmpul magnetic, iarpentru ca rezultatul s se obin exact mai trebuie s calculm limita acestei sume cnd dimensiunileelementelor tind la zero. Dup cum se tie, aceast procedur se numete integrare, obinndu-se

( )

F I dlB =

L

, (15.5)

unde L reprezint linia ce urmeaz conductorul dup care se calculeaz integrala.ntruct curentul din conductor este format de un anumit numr dN de purttori de sarcin n

micare, expresia (15.4) trebuie s reprezinte suma forelor ce acioneaz asupra fiecrui purttor.

Considernd c purttorii de sarcin sunt identici, putem determina fora magnetic ce acioneazasupra unui purttor cu sarcina q :

m

I dlB qdN dlBdF dlF q B q B

dN dN dtdN dt

= = = = =

v

, (15.6)

Aici s-au folosit definiiileI dq dt= , dq qdN = i dl dt= v

. Aceast formul este valabil nu numai

pentru un purttor de sarcin ce particip la formarea curentului n conductor, ci i pentru oriceparticul ncrcat ce se mic n cmp magnetic cu viteza v

. ntruct fora magnetic se exprim prin

produsul vectorial al vectorilor v

i B

, din (15.6) rezult urmtoarele proprieti specifice ale acesteifore:

1. Cmpul magnetic nu acioneaz asupra particulelor ncrcate aflate n repaus n raport cu acest

cmp, ntruct, dac 0=v

, atunci i 0mF =

.

2. Cmpul magnetic nu acioneaz nici asupra particulelor ncrcate ce se mic n sensul

cmpului ( )0= sau n sens opus acestuia ( ) = , ntruct sin 0 0= i sin 0= .

3. Fora magnetic este orientat perpendicular pe

planul vectorilor v

i B

. Sensul ei poate fi stabilitcu ajutorul regulii minii drepte sau regulii minii

stngi (fig. 15.7).4. Fora magnetic, fiind perpendicular pe direcia

deplasrii particulei ncrcate, nu efectueaz lucrumecanic:

cos 02

m mL F dl F dt

= = =v

.

Fig. 15.7


5/25


5

Prin urmare, aciunea forei magnetice nu poate modifica valoarea vitezei particulei. Aceasta nseamnc dac particula ncrcat a intrat n cmp magnetic cu viteza v

, atunci ea va iei din acest cmp,

avnd aceeai valoare a vitezei. Cmpul magnetic, ns, poate s varieze direcia vitezei ei, adic s-icurbeze traiectoria.

Aceste proprieti ale forei magnetice se utilizeaz pe larg la stabilirea regularitilor de micareaparticulelor ncrcate n cmpuri magnetice, regulariti utilizate la proiectarea aparatelor electronice cufascicol (vezi 15.5).

Dup cum rezultdin (15.6), modulul forei magnetice este

sinm

F q B = v ,

de unde

sinmFB

q =

v. (15.7)

Astfel, inducia cmpului magnetic poate fi definit i n alt mod:

Inducia cmpului magnetic este numeric egal cu fora magnetic ce acioneaz asupra

unei uniti pozitive de sarcin ce se mic cu o vitez unitar perpendicular pe liniile

cmpului magnetic.

Dac asupra particulei ncrcate cu sarcina q de rnd cu

cmpul magnetic de inducie B

mai acioneaz i un cmp

electric de intensitate E

, atunci fora rezultant LF

ce

acioneaz asupra particulei, numit i fora Lorentz, este

LF qE q B = + v

. (15.8)

Dup cum arat experiena, cmpul magnetic exercit oaciune de orientare asupra cadrelor parcurse de curent. n figura 15.8) este reprezentat un cadrudreptunghiular suspendat de un fir neelastic. n lipsa curentului cadrul se stabilete ntr-o stare deechilibru indiferent (linia nentrerupt). Latrecerea prin cadru a unui curent asupralaturilor lui acioneaz forele magnetice care lrotesc astfel, nct planul cadrului s fieperpendicular liniilor cmpului magnetic (linia

ntrerupt). Pentru determinarea momentuluide rotaie exercitat de forele magneticeasupracadrului v-om orienta cmpul n direcieorizontal. n acest caz vectorul induciei

magnetice B

este paralel laturilor 2-3 i 1-4ale cadrului iperpendicular pe laturile 1-2 i

3-4 (fig. 15.9,a). Forele 1F

i 3F

ce acioneaz

Fig. 15.8

Fig. 15.9


6/25


6

asupra laturilor 1-2 i, respectiv, 3-4 sunt perpendiculare pe latura respectiv i totodat pe vectorul

induciei magnetice B

, fiind perpendiculare pe planul figurii 15.9,a. 1F

intr n planul figurii 15.9,a,

iar 3F

iese. Aceste fore se vd n seciunea cadrului privit de sus (fig. 15.9,b). Conform (15.3)

1 3F F BIa= = , iar ( )2 4 sin 2 cosF F IBb IBa = = = , unde a i b sunt lungimile laturilor

cadrului, iar este unghiul dintre sensul vectorului induciei magnetice B

i sensul normalei n

lacadru. Forele 2F i 4F sunt aplicate laturilor 2-3 i, respectiv, 1-4 n sensuri opuse de-a lungul axei de

rotaie i se compenseaz reciproc. Modulul momentului M (produsul dintre for i braul ei) al

cuplului de fore 1F

i 3F

este

1 3 1sin sin sin sin sin2 2

b bM F F F b BIab BIS = + = = = , (15.9)

unde S ab= este aria cadrului.Formula (15.9) poate fi reprezentat i altfel, dac se utilizeaz noiunea de

moment magnetic al cadrului parcurs de curent. Moment magnetic al unuicadru parcurs de un curent cu intensitatea I se numete vectorul (fig. 15.10)

mp IS ISn= =

, (15.10)

unde Seste aria suprafeei plane mrginit de contur, n

este vectorul unitar al

normalei la suprafaa conturului, iar S Sn=

este vectorul suprafeei S .

Vectorii , ,mp S n

sunt perpendiculari pe suprafaa plan. Sensul lor se

determin cu ajutorul regulii burghiului cu filet de dreapta:

dac rotim mnerul burghiuluicu filet de dreapta n sensul curentului din conturul plan,atunci sensul vectorului moment magnetic este indicat de sensulnaintriiburghiului.

innd seama de (15.10), formula (15.9) poate fi scris sub forma

sinmM p B = . (15.11)

Regula minii drepte ne permite sobservm c (15.11) poate fi reprezentat i sub form vectorial:

mM p B =

. (15.12)

Relaia (15.2) reflect aciunea unui cmp magnetic omogen asupra unui cadru parcurs de curent. n

cazul aciunii unui cmp magnetic neomogen asupra unui cadru parcurs de curent , de rnd cu efectul derotaie a cadrului mai apare i o micare a acestuia spre domeniile unde cmpul este mai intens. Aceastmicare seproduce sub aciunea forei (15.5), n care integrala se calculeaz dup conturul nchis alcadrului, adic

( )

F I dlB =

L

(15.13)

Fig. 15.10


7/25


7

15.2 Calculul cmpului magnetic. Legea lui Biot i Savart

Dup descoperirea n 1820 de ctre Oersted a aciuniimagnetice a curentului electric, a devenit clarc utilizarea acestei aciuni n practic poate fi realizat numai dac s-ar putea calcula induciacmpului magnetic creat de un curent de orice form. Primii care au observat aceast necesitate i aurezolvat problema calculului amintit au fost fizicienii francezi Jean-Baptiste Biot (1774 1862) i Felix

Savart (1791 1841). Ei i-au nceput cercetrile prin clarificarea dependenei induciei magneticeBdeintensitatea curentuluiIdin conductor stabilind experimental, c pentru un conductor de formarbitrarinducia magnetic este proporional cu intensitatea curentului din conductor:B~I. n continuare Bioti Savart au studiat, de asemenea, experimental, cmpul magnetic al unui conductor rectiliniu foartelung parcurs de curent stabilind, c inducia magnetic este invers proporional cu distana r de laconductor:B~I/r. De asemenea, ei au stabilit, c n centrul unei bucle circulare parcurse de curentul cuintensitatea I, inducia magnetic B ~ I/R, unde Reste raza buclei. Experienele efectuate de Biot iSavart n scopul msurrii induciei magnetice create de cureni de alte forme i de sisteme de curenide forme arbitrare i-au condus la concluzia c n cazul cmpurilor magnetice, ca i ncel al cmpurilor

electrice este valabil principiul superpoziiei, adic principiul independenei aciunii cmpurilor:fiecare conductor parcurs de curent sau parte a acestuia (element de curent) creeaz cmp

magnetic independent de celelalte conductoare sau pri componente ale conductorului.

De aici rezult, c inducia cmpului magnetic creat de un conductor sau un sistem de conductoare

parcurse de curent trebuie s fie egal cu suma vectorial a induciilor cmpurilor magnetice dB

createde elementele de curent ale conductorului sau sistemului de conductoare parcurse de curent. Pentru aobine un rezultat exact trebuie calculat limita acestei sume, cnd dimensiunile elementelor de curenttind la zero, adic integrala

( )

B dB=

L

, (15.14)

unde integrala se calculeaz dup linia ce coincide cu conductorulparcurs de curent.

Biot i Savart au stabilit c inducia dB

a cmpului magnetic creat

de elementul de curent Idl

n punctul cu vectorul de poziie r

(vectorul ce unete elementul de curent cu punctul de observaie) este(fig. 15.11)

0

34IdB dl r r

= , (15.15)

unde 70 4 10 H m = este constanta magnetic. Sensul vectorului

dB

poate fi determinat cu ajutorul regulii minii drepte, nsmai comod este s se utilizeze n acest

scop regula burghiului cu filet de dreapta. Pentru determinarea modulului vectorului dB

observm c

sindlr dl r =

. ntruct CB rd = , unde d este unghiul sub care se vede elementul dl din

Fig. 15.11


8/25


8

punctul de observaie (fig. 15.11), iar sin sin sinCB dl dl CB rd = = = , rezult c

2sindlr dl r r d = =

. Aadar

0

4

IdB d

r

=

. (15.16)

S considerm n continuare cteva exemple de calcul a induciei magnetice.

1. Cmpul magnetic al unui conductor rectiliniu de lungime finit parcurs de un curent cu

intensitatea I(fig. 15.12)

Conform principiului superpoziiei inducia cmpului magnetic este egal

cu suma vectorial a induciilor dB

ale cmpurilor tuturor elementelor de

curent Idl

, n care se poate diviza conductorul. Regula burghiului cu filet de

dreapta ne arat c sensurile vectorilor dB

n punctul de observaiesituat la

distana 0r de la conductor coincid i sunt orientate perpendicular pe planul

figurii spre cititor (fig. 15.12). Acelai sens l are i vectorul rezultant B .Pentru determinarea valorii induciei rezultante este necesar de integratexpresia (15.16):

2

1

0

4

IdB

r

= .

Din figura 15.12 se observ, c0

sinr r = , de unde 0 sinr r = .

Substituind rn expresia precedent, obinem

( ) ( )22

1 1

0 0 01 2

0 0 0

sin cos cos cos4 4 4

I I IB d

r r r

= = = . (15.17)

Aici 1 i 2 sunt unghiurile dintre sensul curentului i direcia spre punctul de observaie msurate la

captul conductorului n care curentul intr i, respectiv, n care curentul iese.Formula (15.17) are mai multe cazuri particulare. Iat cteva din ele:

1a). Conductorul infinit lung parcurs de curent

n acest caz1

0 = i 2 = i din (15.17)pentru inducia magnetic obinem

0

02

IB

r

= . (15.17,a)

1b). Conductorul semi-infinit parcurs de curent

n acest caz un capt al conductorului, de exemplu, cel inferior rmne ca nfigura 15.12, iar cellalt

se ntinde pnla infinit. n acest caz 2 = i din (15.17) rezult

Fig. 15.12


9/25


9

( )0 10

1 cos4

IB

r

= + . (15.17,b)

Dac punctul de observaie se afl vizavi de captul conductorului semi-infinit, atunci 1 2 = i se

obine

0

04IBr

= . (15.17,c)

Celelalte cazuri particulare se analizeaz analog.

2.Cmpul magnetic n centrul unui curent circular de intensitatea I

Dac conductorul parcurs de curent are forma unui arc de cerc derazRce se sprijin pe unghiul , atunci n centrul curentului circular

(fig. 15.13) sensurile vectorilor dB

i, prin urmare, al induciei

rezultante B

pentru sensul indicat al curentului, sunt perpendiculare pe

planul figurii de la cititor. Conform principiului superpoziiei valoareainduciei magnetice n centrul curentului este

0 0 0

0 04 4 4

Id I IB d

R R R

= = = . (15.18)

Dac bucla circular este ntreag, atunci 2 = i din (15.18) seobine

0

2

IB

R

= . (15.18,a)

3.Cmpul magnetic pe axa unui curent circular de intensitate I(fig. 15.14)

n acest caz pentru calcularea inducieimagnetice trebuie s divizm bucla circular nelemente mici i s utilizm principiul superpoziiei(15.14). Valoarea integralei (15.14) nu depinde demodul de divizare a buclei. De aceea pentrusimplificarea calculelor prin utilizarea simetrieiinelului, v-om diviza bucla ntr-un numr par de

elemente de curent Idl

de lungime egal. Vectorii

1dB

provenii de la aceste elemente sunt simetrici

n raport cu axa buclei Ox i egali ca mrime. Deaceea proieciile acestor vectori pe planulperpendicular axei Ox se vor compensa reciproc, iar proieciile lor pe axa Ox se vor aduna. Esteevident, c acelai comportament -l vor avea i proieciile menionate ce se refer la celelalte perechide elemente de curent ale buclei. Astfel, inducia cmpului magnetic albuclei este orientat de-a lungul

axei sale i este egal cu suma proieciilor vectorilor 1dB

pe aceast ax (fig. 15.14), adic

Fig. 15.13

Fig. 15.14


10/25


10

( )1 cosB dB =

L

,

unde, conform (15.15)( )

0 0 0

1 3 2 2 2sin

4 2 4 4

I I IdB rdl dl dl

r r x R

= = =

+, iar dup cum se observ din

figura 15.14, 2 2cos R R

r x R= = + . Integrarea se va realiza dup elementul de lungime

dl , care la

parcurgerea ntregii bucle variazde la 0 pn la 2 R . Aadar

( ) ( )

2 2 2

0 0 0

3 2 3 2 32 2 2 20

24 2

RIR IR IR

B dlrx R x R

= = =

+ + . (15.19)

Observm c momentul magnetic al spirei este 2mp I S I R= = . Atunci formula (15.19) poate fi

scris sub forma

( )0 0

3 2 32 2 22

m mp p

B rx R

= =+ , (15.19,a)

sau sub form vectorial

( )0 0

3 2 32 2 22

m mp pBrx R

= =

+

. (15.19,b)

Dac punctul de observaie este situat n centrul buclei cnd0x= , atunci formula (15.19) trece n (15.18,a), dup cum i

trebuie s fie. Din analiza expresiei (15.19) rezult c valoarea

induciei magnetice n centrul buclei, cnd 0x= , este ivaloarea ei maxim:

0max0 2x

IB B

R

=

= = .

La creterea distanei x de la centrul buclei pn la punctul de observaie situat pe axa ei, inducia

magnetic scade tinznd ctrezero, cnd x . n afar de aceasta funcia ( )B x este o funcie par.

Deci, graficul ei este simetric n raport cu axa ordonatelor (fig. 15.15).

4. Cmpul magnetic al solenoidului

Solenoidul reprezintun fir metalic nfurat pe un miez cilindric, avnd un numr mare de spireprin care circul un curent cu intensitateaI. Dac spirele sunt situate aproape una de alta sau una lngalta, atunci solenoidul poate fi considerat ca un sistem de cureni circulari de aceeai raz cu ax

comun. Notm razaspirelor i lungimea solenoidului cu R i, respectiv,cu 0l (fig. 15.16). Conform

principiului superpoziiei inducia cmpului magnetic ntr-un punct arbitrar M situat pe axasolenoidului Ox la distana x de la captul lui din stnga este egal cu suma vectorial a induciilormagnetice ale cmpurilor create de toate spirele solenoidului n acest punct. Sensurile induciilor

Fig. 15.15


11/25


11

acestor cmpuri coincid i sunt orientate conformregulii burghiului spre dreapta. Acelai sens l are siinducia cmpului magnetic rezultant. Pentrudeterminarea induciei cmpului n punctul M (fig.15.16), divizm solenoidul n elemente mici delungime dl situate la distana l de la punctul de

observaie M . Fiecare element conine cte ndl spire,unde cu n a fost notat numrul de spire pe unitatea delungime, adic densitatea liniar a spirelor. nconformitate cu (15.19) aceste spire creeaz n punctulde observaie M un cmp cu inducia

2

0

32

IRdB ndl

r

= .

Din figura 15.16 rezult, c sinr R = , iar tgl R = . Atunci 2sindl Rd = i expresia

precedent capt forma

0 sin2

nIdB d

= .

Acoperind cu elemente mici ntregul solenoid, unghiul dintre axa Ox i direcia spre elementul ales

variazde la 1 (unghiul dintre axa Ox i direcia spre prima spir prin care curentul intr n solenoid)

pn la 2 (unghiul dintre axa Ox i direcia spre ultima spir prin care curentul iese din solenoid).

Integrnd ntre aceste limite, obinem:

( ) ( )22

11

0 0 02 1

sin cos cos cos2 2 2nI nI nI B d

= = = . (15.20)

Dup cum se observdinfigura 15.16,

( )12 2

cos cos cos x

x R = = =

+,

( )

( )

0

222

0

cosl x

R l x

=+

i pentru inducia cmpului magnetic al solenoidului n punctul situat pe axa lui la distana x de lacaptul pe unde intr curentul de intensitate I , obinem

( ) ( )

( )

00

2 2 22

02

l xnI xB x

x RR l x

= +

++

. (15.21)

Fig. 15.16


12/25


12

Formula (15.21) a fost dedus pentru punctele din interiorul solenoidului aflate pe axa lui, adic pentru

00 x l . Din simetria problemei rezult i fr efectuarea unor calcule, c induciile cmpului la

capetele solenoidului trebuie s fie egale. Totodat aceast valoare trebuie s fie cea minim. Aceast

condiie se verific uor, dac n (15.21) se substituie 0x= (captul din stnga) i 0x l= (captul din

dreapta):

( ) ( )( )

0 0 0

min 02 2 2

0 0

10

2 2 1

nI l nI B B x B x l

l R R l

= = = = = =

+ +. (15.22)

De asemenea, din simetria problemei rezult c valoarea maxim a induciei trebuie s se observe n

mijlocul solenoidului, cnd0

2x l= :

( )

0 0

max2

02 1 2

l nIB B x

R l

= = =

+. (15.23)

Astfel,pe msura avansrii n interiorul solenoidului inducia magnetic crete de la valoarea minim(15.22) la captul solenoidului pn la valoarea maxim (15.23) n centrul solenoidului. Dacsolenoidul este infinit lung, atunci 1 , iar 2 0 i din (15.20) se obine valoarea

0B nI= . (15.24)

Acest rezultat arat caracterul omogen al cmpului magnetic din interiorul unui solenoid infinit lung.

ntruct cmpul magnetic este creat de curentul electric, iar curentul electric este creat de purttoriide sarcin electricn micare, rezult c fiecare sarcin n micare creeaz cmp magnetic. Conformprincipiului superpoziiei, cmpul rezultant trebuie s reprezinte rezultatul suprapunerii cmpurilorcreate de toate sarcinile ce formeaz curentul electric. Inducia cmpului magnetic creat de o sarcin n

micare poate fi determinat mprind (15.15) la numrul de purttori din elementul de curent Idl :

[ ]0 0 0 03 3 3 34 4 4 4qdB I dq qdN dl q

B dl r dl r r rdN r dN r dN dt r dN dt r

= = = = =

v

. (15.25)

Aici s-a utilizat faptul c I dq dt= , iar dq qdN = , unde

q este sarcina unui purttor.

Sensul vectorului induciei cmpului magnetic creatde sarcina ce se mic cu viteza v

n punctul

caracterizat cu vectorul de poziie r

se determin cuajutorul regulii minii drepte (fig. 15.17).

Dac avem dou sarcini electrice 1q i 2q ce se

mic ntr-un sistem de referin inerial cu aceeaivitez v

pe direcii paralele n acelai sens (fig. 15.18),

atunci fiecare din aceste sarcini se afl n cmpul magnetic creat de cealalt sarcin. Conform (15.6)fiecare sarcin va aciona prin intermediul cmpului magnetic asupra celeilalte sarcini cu foramagnetic

Fig. 15.17


13/25


13

[ ]2 1

0 1 21 2 34

m q q

q qF q B q B r

r

= = = v v v v

. (15.26)

Dup cum se observdin (15.26), prin intermediulcmpului magnetic sarcinile de acelai semn se atragntre ele, iar cele de semn contrar se resping, dac

acestea se mic n acelai sens. La micareasarcinilor n sensuri opuse totul se ntmpl invers.Modulul acestei forepoate fi determinat, observnd

c [ ] ( ) ( ) ( ) 2cos 2r r r r r = = = v v v v vv vv v

2r= v

:

1 2 2024m

q qF

r

= v .

Modulul forei de interaciune electric

1 2

20

14el

q qFr

= .

Raportul dintre fora magnetic i cea electric de interaciune a sarcinilor este

2

2

0 0 2

m

el

F

F c = =

v

v , (15.27)

ntruct 20 0 c = , unde c este viteza luminii n vid.

Astfel, interaciunea magnetic dintre sarcinileelectrice n micare este un efect relativist. Lamicarea sarcinilor electrice cu viteze mici, cum sentmpl, de exemplu, la trecerea curentului electricprin conductoarele metalice, n care viteza micrii

orientate a electronilor 310 m / sv , fora magnetic

de interaciune dintre 2 electroni este de 1023ori mai mic dect fora de interaciune electric dintre

acetia: 2310m elF F . S-ar prea c fora magnetic, fiind att de mic, nici n-ar trebui s se observe

experimental, manifestndu-se doar la viteze comparabile cu cele ale luminii n vid. Totui, ea seobserv experimental n cazul interaciunii unuinumr enorm de perechi de particule ncrcate ce semic n direcii paralele, de exemplu, n cazul interaciunii magnetice a dou conductoare cilindriceparcurse de cureni electrici. n acest caz numrul de perechi ce interacioneaz este enorm, iarinteraciunea electric nu este prezent, observndu-se numai cea magnetic. Ea este egal cu sumaforelor magnetice de interaciune dintre toate perechile de sarcini i poate fi msurat experimental ,dar i calculat. De exemplu, fora magnetic ce acioneaz din partea tuturor sarcinilor ce formeaz un

curent rectiliniu infinit cu intensitatea 1I asupra tuturor sarcinilor ce formeaz un element de curent

2I dl (fig. 15.19), poate fi determinat cu ajutorul relaiei (15.3), n care 2 = :

Fig. 15.18

Fig. 15.19


14/25


14

1 2dF B I dl= ,

unde1

B este inducia cmpului magnetic a conductorului rectiliniu infinit lung parcurs de curentul cu

intensitatea 1I , care conform (15.17,a) este

0 1

1 2

IB

r

= .

Substituind n formula precedent, obinem

0 1 2

2

I IdF dl

r

= .

Aceast formul a fost utilizat la stabilirea unitii fundamentale pentru intensitatea curentului n SI amperul:

Amperul este intensitatea curentului electric constant care, meninut n dou conductoare

paralele, rectilinii, de lungimi infinite i seciune transversal circular neglijabil, situate

n vid la distana de 1 m unul de altul, conduce la aciunea unei fore de 2107N asupra

fiecrui metru de lungime a conductoarelor.

15.3. Legea curentului total (teorema circulaiei) pentru cmpul magnetic

n vid

Studiind cmpul electric am stabilit c acesta este potenial, adic lucrul forelor cmpului electricpentru deplasarea unei sarcini nu depinde de forma traiectoriei de deplasare a sarcinii, ci numai depoziiile ei iniial i final. n capitolul 11 afost stabilitcondiia de potenialitate a cmpului electric

att sub form integral (11.2):

( )( )

0Edl =

L

,

ct i diferenial (11.4):

rot 0E=

.

S clarificm acum, dac i cmpul magnetic este potenial sau nu.Pentru aceasta v-om calcula circulaia vectorului induciei magnetice acmpului creat de un conductor rectiliniu infinit lung parcurs de uncurent de intensitate I de-a lungul unui contur nchis trasat imaginar n

cmpul magnetic. V-om nota cu unghiul dintre vectorul induciei magneticeB

i cel al elementului

de lungime dl

al conturului de integrare. Liniile cmpului magnetic al unui curent infinit reprezintnite cercuri concentrice situate n plane perpendiculare conductorului, avnd sensuri determinate deregula burghiului cu filet de dreapta (fig. 15.20). Mai nti n calitate de contur nchis v-om considera o

linie de cmp de raz 0r . Dup cum se observ din figura 15.20, n acest caz 0= . Atunci, innd

seama de (15.17, a), obinem

Fig. 15.20


15/25


15

( )( )

0 0 02 2 2

0 00 0

0 00 0 0

cos 22 2

r r rI I

Bdl Bdl Bdl dl r Ir r

= = = = =

L

. (15.28)

Acest calcul demonstreaz c circulaia vectorului induciei cmpului magnetic al unui conductorrectiliniu parcurs de curent de-a lungul unei linii de cmp este diferit de zero.

Cmpurile, circulaia crora este diferit de zero se

numesc cmpuri turbionare.

Totodat circulaia are aceeai valoare de-a lungul tuturor liniilor decmp i este egal numeric cu produsul dintre constanta magnetic iintensitatea curentului.

n cazul unui contur de integrare arbitrar ce include curentul

menionat (fig. 15.21), observnd c 0cosdl r d = , obinem

acelai rezultat:

( )( ) ( )

2 20 0 0

0 0

00 0

cos 22 2

Ir IBdl Bdl Br d d I

r

= = = = =

LL

.

Pentru un contur de integrare ce nu include curentul cercetat (fig.15.22) se obine

( )( )

( ) ( )2 1

1 2

0

1 2 2 1

02

a b

IBdl Bdl Bdl d d

= + = + =

L

, (15.29)

adic circulaia vectorului induciei magnetice de-a lungul unui contur

nchis trasat imaginar n cmpul magnetic se anuleaz, dac acest contur nuinclude curentul care genereaz cmpul. Rezultatele (15.28) i (15.29) aufost obinute pentru cmpul magnetic al unui curent rectiliniu infinit, dar sepoate demonstra c acestea rmn valabile i pentru cmpul magneticgenerat de un conductor parcurs de curent de orice form.

n cazul general cmpul magnetic este creat de un sistem de conductoare

parcurse de curenii cu intensitile 1 2 3, , , , nI I I I . Conform principiului

superpoziiei, inducia cmpului magnetic rezultant1

n

i

i

B B=

=

, unde iB

este

inducia cmpului magnetic creat de conductorul cu numrul i prin care circul curentul cu intensitateai

I . Circulaia vectorului B

de-a lungul unui contur de form arbitrar trasat imaginar n cmpul

magnetic va fi

( )( ) ( ) ( )

0

1 1 1

n n n

i i i

i i i

Bdl B dl B dl I= = =

= = =

L L L

, (15.30)

Fig. 15.21

Fig. 15.22


16/25


16

unde am utilizat relaia (15.28), considernd c toi cei n cureni strbat suprafaa mrginit deconturul de integrare L. Intensitile curenilor ce nu strbat acest contur n suma (15.30) nu vor intra,ntruct pentru acetia are loc relaia (15.29).Astfel,

circulaia vectorului induciei cmpului magnetic n vid de-a lungul unui contur de

form arbitrar trasat imaginar n acest cmp este egal cu produsul dintre constanta

magnetic 0i suma algebric aintensitilor curenilor ce strbat suprafaa Smrginit

de conturul ales .

Aceast afirmaie se numete legea curentului total pentru cmpul magnetic n vid. ntruct, suma

algebric a intensitilor curenilor ce strbat suprafaa Spoate fi scris sub forma( )1

n

i

i S

I jdS=

=

, unde

j

este densitatea curentului prin elementul dS al suprafeei menionate, legea curentului total (15.30)

poate fi reprezentat i sub forma:

( )( ) ( )0

S

Bdl jdS=

L

. (15.31)

Relaiile (15.30) i (15.31) exprim legea curentului total (teoremacirculaiei) pentru cmpul magnetic n vid sub form integral. Pentrua obine forma diferenial a acestei legi, aplicm ecuaia (15.31)

pentru un contur dreptunghiularABCDinfinit mic cu laturile dy i dz

aflat ntr-un plan perpendicular axei x (fig. 15.23). Observm, c(15.31) poate fi scris sub forma

( )( ) ( )0x y z SB dx B dy B dz jdS+ + =

L. (15.32)

Aportul laturiiABn valoarea circulaiei este ( ), ,yB x y z dy , iar a laturii opuse este ( ), ,yB x y z dz dy + .Suma acestor dou mrimi poate fi calculat utiliznd formula (10.20,a), valabil pentru orice vector.Obinem:

( ) ( ), , , , y yy yB B

B x y z dz dy B x y z dy dydz dSz z

+ + = =

,

unde dS dydz= este aria dreptunghiului ABCD. Analog se determin i aportul laturilor BCi DA nvaloarea circulaiei

( ) ( ), , , , z zz zB B

B x y dy z dz B x y z dz dzdy dSy y

+ = =

.

Circulaia total de-a lungul conturuluiABCDeste

( )( )

yz

ABCD

BBBdl dS

y z

=

.

n conformitate cu (15.31), obinem

Fig. 15.23


17/25


17

0

yzx

BBj

y z

=

. (15.33,a)

Analog, alegnd conture n planele xOz i xOy , obinem

0

x zy

B Bj

z x

=

, (15.33,b)

0

y xz

B Bj

x y

=

. (15.33,c)

Multiplicnd aceste ecuaii cu vectorii unitari ai axelor de coordonate i

, j

i, respectiv, k

iadunndu-le, obinem

0rotB j=

, (15.34)

unde prin simbolul rotB

se noteaz vectorul

rot y yx xz zB B

B BB BB i j ky z z x x y

= + +

(15.35)

Expresia diferenial (15.35) joac un rol important n multe compartimente ale fizicii i matematicii.

Ea este numit rotor al vectoruluiB . Formal rotB

poate fi considerat ca produsul vectorial dintre

operatorul lui Hamilton (nabla)

i j kx y z

= + +

i vectorul B

, adic

rot

x y z

i j k

B Bx y z

B B B

= =

. (15.36)

Aadar, legea curentului total (teorema circulaiei) pentru cmpul magnetic n vid poate fi reprezentat,de asemenea, i subformdiferenial (local) (15.34).

Substituind n (15.31) expresia 0rotj B =

obinut din (15.34), avem obinem

( )( ) ( )

rotS

Bdl B dS=

L

, (15.37)

expresie cunoscuta sub numele de teorem a lui Stokes. Ea permite trecerea de la integrarea duptraiectoria nchis L de form arbitrar la integrarea dup suprafaa Smrginit de aceast traiectorie.Teorema lui Stokes (15.37) mpreun cu teorema lui Gauss (10.26) joac un rol important n multe

compartimente ale fizicii i matematicii, ntruct ele nu depind de natura fizic a vectorului B

n

teorema lui Stokes sau E

n teorema lui Gauss.


18/25


18

Legea curentului total (teorema circulaiei) poate fi utilizat pentru calcularea induciei cmpuluimagnetic, dar numai n cazurile cnd inducia magnetic este aceeai ca mrime i sens sau numai camrime n toate punctele conturului selectat sau pe unele poriuni ale acestuia.

n calitate de exemplu v-om considera cmpul magnetic al unuitoroid parcurs de un curent electric staionar. Toroidul reprezint obobina nfurat pe un tor (suprafa sau corp solid obinut prinrotirea unui cerc n jurul unei axe situate n planul su, dar care nutrece prin centrul cercului). nfigura 15.24este indicat seciuneaunei astfel de bobine care are spirele aezate una lng alta, caz ncare bobina poate fi considerat ca un sistem dintr-un numr mareNde cureni circulari conectai n serie i avnd centrele pe liniamedie a torului care reprezint un cerc de raza

( )1 2 2mr R R R= = + , unde 1R i 2R sunt razele interioar i,

respectiv, exterioar ale torului (fig. 15.24). Din simetriasistemului considerat de cureni rezult c liniile cmpului

magnetic sunt linii circulare, avnd centrul n centrul torului.Aceasta nseamn c inducia cmpului magnetic B

are aceeai valoare n toate punctele fiecrei linii

de cmp. Alegem n calitate de contur nchis una dintre aceste linii cu raza r. Circulaia vectorului B

este

( )( ) ( )

2

0

2r

Bdl B dl B dl r B

= = =

L L

.

Conform (15.30) aceast circulaie trebuie s fie egal cu 01

N

i

i

I=

. Dac 1r R< sau 2r R> , atunci

1

0N

i

i

I NI NI=

= = i se obine 2 0 0r B B = = , adic n afara toroidului cmp magnetic nu se

genereaz. Dac1 2

R r R< < , atunci1

N

i

i

I NI=

= i se obine 02 rB NI = , de unde rezult c inducia

magnetic de-a lungul liniei de cmp de raza reste

0

2

NIB

r

= . (15.38)

Acest rezultat arat c n interiorul bobinei toroidale cmpul magnetic nu este omogen, fiind maiputernic la marginea interioar i mai slab la cea exterioar. ns, dac bobina este subire, adic

diametrul ei2 1 md R R R=


19/25


19

unde ( )2 mn N R= este densitatea liniar a spirelor, adic numrul despire pe unitatea de lungime.

Acelai rezultat se obine i n cazul, cnd1

R i2

R . n acest caz bobina toroidal poate fi

consideratun solenoid de lungime infinit, n interiorul cruia, dup cum am stabilit mai devreme,cmpul este omogen, avnd inducia (15.24) care coincide cu (15.39).

15.4. Flux magnetic. Teorema Gauss pentru cmpul magnetic

Fluxul magnetic sau fluxul vectorului induciei cmpului magnetic se definete prin analogie cufluxul vectorului intensitii cmpului electric (vezi 10.4) prin numrul liniilor de cmp ceintersecteaz suprafaa considerat S. Astfel, n cazul unui cmp omogen, liniile cruia intersecteaz o

suprafa plan cu aria S(fig. 10.25), fluxul vectorului B

este

cosm BS = ,

unde este unghiul dintre inducia magnetic i normala la suprafaa plan S. Dac suprafaa nu esteplan i/sau cmpul nu este omogen, atunci suprafaa se divizeaz imaginar n elemente mici care pot fi

considerate plane, iar cmpul n limitele lor omogen, se calculeaz fluxul prin toate elementele,rezultatele se adun i se calculeaz limita cnd dimensiunile elementelortind la zero. Aceast procedur, dup cum se tie, se numete integrare ise obine

( )( )

m

S

B dS =

. (15.40)

Fluxul magnetic printr-o suprafa mrginit de un contur nchis senumete flux magnetic total al acestui contur. De exemplu, fluxulmagnetic total al unei bobine ce conine N spire identice este

mN = , (15.41)

undem este fluxul magnetic printr-o spir a solenoidului.

ntruct liniile cmpului magnetic, dup cum arat multipleexperimente, sunt nchise, numrul liniilor de cmp care intr printr-o suprafa nchis este egal cunumrul liniilor care ies din aceast suprafa. Rezultc

fluxul magnetic printr-o suprafa Snchis de formarbitrar trasat imaginar n cmpul

magnetic este ntotdeauna egal cu zero

( )( ) 0S B dS =

. (15.42)

Aceast afirmaie exprim coninutul teoremei lui Gauss pentru cmpul magnetic n vid sub formintegral. Forma diferenial (local) a acestei teoreme se obine uor, trecnd n (15.42) de la integraladup suprafaa nchis Sla integrala dup volumul V coninut n interiorul acestei suprafee, utilizndrelaia (10.26):

Fig. 15.25


20/25


20

( )( ) ( )

divS V

B dS B dV =

.

innd seama de (15.42), obinem

div 0B=

, (15.43)

care i este forma diferenial a teoremei lui Gauss.Ambele forme ale acestei teoreme arat c n natur nu exist "sarcini" magnetice (monopoluri

magnetice) n care eventual ar putea s nceap sau s se termine liniile de cmp magnetic (cum a fost

n cazul liniilor de cmp electric). Existena monopolurilor magnetice a fost prezis de fizicianul i

matematicianul britanic Paul Dirac (1902 1984) n baza teoriei cuantice. Monopolul magnetic este o

particul ipotetic, care reprezintun magnet izolat cu un singur pol magnetic (un pol nord, fr un pol

sud sau vice-versa). Pn n prezent nu au fost stabilite dovezi experimentale clare privind existena

monopolurilor magnetice. Existena lor ar conduce la modificarea teoremei lui Gauss (15.42) i (15.43),

ceea ce la rndul su ar conduce la modificarea electromagnetismului n ntregime, precum i a

aplicaiilor tehnice ale acestuia.

15.5. Lucrul forelor electromagnetice la deplasarea conductorului

parcurs de curent ntr-un cmp magnetic staionar

Asupra fiecrei poriuni a unui conductor parcurs de curent electric situat n cmp magnetic

acioneaz fora electromagnetic (15.4). Aceast for efectueaz asupra conductorului un lucru

mecanic. Considerm mai nti un caz particular. Admitem c

ntr-un cmp magnetic staionar i omogen orientat vertical se

afl n plan orizontal dou conductoare paralele AB i CD

conectate la o surs de curent (fig. 15.26). Pe conductoare sepoate deplasa liber o punte conductoare PT de lungime l ce

nchide circuitul electric. Asupra punii acioneaz fora

electromagnetic F BIl= ce deplaseaz puntea. La deplasarea

ei cu dx aceast for efectueaz lucrul

( )L IBldx IBdS Id BS = = = ,

unde Seste aria dreptunghiului APTC, iar mrimea BS este fluxul magnetic prin acelai dreptunghi.

Notndu-l cu m , avem

mL Id = . (15.44)

Pentru o deplasare finit a punii din poziia 1 n poziia 2 fora electromagnetic efectueaz lucrul

( )12 2 1m mL I= . (15.45)

Astfel,

Fig. 15.26


21/25


21

lucrul efectuat de cmpul magnetic asupra conductorului parcurs de curent este egal cu

produsul dintre intensitatea curentului prin conductor i variaia fluxului magnetic.

Rezultatul (15.45) este valabil i pentru o direcie arbitrar a cmpului magnetic. ntr-adevr,

descompunnd vectorul induciei magnetice n trei componente: n l xB B B B= + +

, observm c numai

componenta nB

a induciei magnetice perpendicular planului figurii efectueaz un lucru exprimat prinformula (15.45). Componenta lB

fiind paralel punii nu exercit asupra ei nici o aciune i, deci, nu

are cum efectua vreun lucru, iar componenta xB

exercit asupra punii o for perpendicular deplasrii

ei i, de asemenea, nu efectueaz lucru mecanic.Rezultatele (15.44) i (15.45) sunt valabile i pentru un contur de form arbitrar parcurs de curent

la o deplasare i/sau deformare arbitrar a acestuia ntr-un cmp staionar neomogen. Pentrudemonstrarea acestei afirmaii este suficient s divizm imaginar conturul n elemente de curent infinitmici i s examinm deplasri infinit mici ale acestora. Cmpul magnetic n limitele unor deplasriinfinit mici ale elementului de curent poate fi considerat omogen. De aceea, pentru astfel de deplasri

ale elementului de curent este valabil relaia (15.44) pentru lucrul elementar. Adunnd aceste lucrurielementare pentru toate elementele de curent n care este divizat conturul, v-om obine din nou expresia

(15.44), n caremd reprezint variaia fluxului magnetic prin ntregul contur. Trecerea de la formula

(15.44) la (15.45) se realizeaz prin integrarea expresiei (15.44) ntre dou poziii arbitrare aleconturului. La deplasarea conturului, ns, trebuie s asigurm constana intensitii curentului cecircul prin contur.

Lucrul efectuat de forele magnetice la o deplasare infinit mic (15.44) i la o deplasare finit (15.45)poate fi exprimat i prin variaia fluxului magnetic total al conturului . Pentru aceasta notm cu fluxul magnetic total al conturului n poziia iniial, iar cu d + fluxul magnetic total al conturului

dup o deplasare infinit mic. Notm, de asemenea, cu md fluxul magnetic prin suprafaa descris decontur la aceast deplasare. Aplicm teorema lui Gauss (15.42) pentru suprafaa nchis alctuit dinsuprafeele mrginite de contur n poziiile iniial i final i suprafaa descris de contur la deplasare,innd seama c vectorii normalelor laaceste suprafee trebuie s fie sau exteriori, sau interiori. n cazul

normalelor exterioare obinem: ( ) 0md d + + = . De aici rezult c md d = . Astfel lucrul

elementar (15.44)

mL Id Id = = , (15.44,a)

iar lucrul efectuat la o deplasare finit (15.45)

( ) ( )12 2 1 2 1m mL I I= = (15.45,a)

Aadar,

lucrul efectuat de forele electromagnetice ale unui cmp magnetic staionar la deplasarea

unui contur parcurs de curent continuu este egal cu produsul dintre intensitatea curentului

din contur i variaia fluxului magnetic total al acestuia.


22/25


22

15.6. Micarea particulelor ncrcate n cmpuri magnetice staionare

n 15.1 am stabilit c fora magnetic nu acioneaz asupra particulelor ncrcate aflate n repaus inici asupra celor ce se mic n cmp magnetic de-a lungul liniilor de cmp. Am mai stabilit c fora

magnetic este perpendicular att vectorului induciei magnetice B

ct i vectorului vitezei ei v

i,deci, nu efectueaz lucru mecanic. Aceasta nseamn c aciunea forei magnetice nu conduce lavariaia vitezei particulei ca mrime, ci numai la variaia direciei vitezei, adic la curbarea traiectorieiei. Aceste proprieti ale forei magnetice permit stabilirea legitilor micrii particulelor n cmpurimagnetice staionare, proprieti ce stau la baza principiului de funcionare a aparatelor electronice cufascicol. V-om examina mai nti micarea particulelor ntr-un cmpmagnetic omogen i staionar cnd viteza particulei v

este perpendicular pe

vectorul induciei magnetice B

(fig. 15.27). n conformitate cu regula miniidrepte, fora magnetic este orientat perpendicular pe planul figurii.Aceasta intr n figur, dac particula este ncrcat pozitiv ( 0q> ) i iese

din ea, dac particula este ncrcat negativ ( 0q< ). Valoarea forei

magnetice este mF q= vB . Ea curbeaz traiectoria particulei, astfel nct

viteza particulei s fiepermanentperpendicular pe direcia forei. Curba cesatisface acestei condiii este un cerc de o anumit raz r. Raza cerculuipoate fi determinat, aplicnd legea a doua a lui Newton la micareaparticulei, innd seama c acceleraia particulei este centripet, adicorientat spre centrul cercului:

2

m nF ma q B mr

= = v

v .

De aici se obine

mr

q B=

v

. (15.46)

Aceast formul este valabil i n cazul relativist, cnd masa particulei depinde de viteza ei:

0

2 21

mmr

q B q B c= =

v v

v

, (15.46,a)

unde c este viteza luminii n vid,0

m este masa de repaus a particulei, iar 2 20 1m m c= v .

Perioada de rotaie a particulei este 2T r= v . ntruct const.=v , folosind (15.46) obinem:

0

22 2

22 1 2

1

mm ET

q B q B q Bcc

= = =

v, (15.47)

unde 2E mc= este energia total a particulei. Se observ c pentru particulele nerelativiste cndc


23/25


23

02 m

Tq B

= . (15.47,a)

n caz general, particula intr n cmpul magnetic subun unghi ascuit oarecare fa de vectorul induciei

magnetice B

(fig. 15.28). n acest caz vectorul vitezei

v are dou componente: sin=v v perpendicular

vectorului induciei magnetice B

i cos=v v

paralel vectorului B

. Dup cum am vzut n cazul

precedent, datorit componentei v particula efectueaz

o micare de rotaie pe un cerc de raz

0

2 2

sin

1

mmr

q B q B c

= =

v v

v

. (15.48)

Concomitent, datorit componentei vitezei v , particula efectueaz o micare de translaie cu aceast

vitez de-a lungul vectorului induciei magnetice. Rezult c particula se mic pe un cerc care, la

rndul su, se deplaseaz cu viteza v constant n direcie perpendicular pe planul su. Aceast

traiectorie este asemntoare cu cea descris de punctele elicei avionului care zboar rectiliniu i deaceea este numit linie elicoidal. Axa liniei elicoidale coincide cu linia cmpului magnetic. Ocaracteristic a acestei linii este pasul h distana dintre dou spire vecine, adic distana la care sedeplaseaz planul cercului ntr-o perioad de rotaie T. Aadar, pasul poate fi determinat ca produsul

dintre componenta vitezei v i perioada de rotaie: h T= v . Perioada poate fi determinat ca n cazul

precedent i coincide cu (15.47):0

22 2

22 2 1 2

1

mr m ET

q B q B q Bcc

= = = =v v

.

Astfel, pentru pasul liniei elicoidale se obine:

0

2 2

22 cos cos

1

mmh T

q B q B c

= = =

v vv

v . (15.49)

n cazul particulelor nerelativiste, cnd c


24/25


24

Din relaiile (15.48) i (15.49) se observc att raza, ct ipasul liniei elicoidale se micoreaz pe msura avansriiparticulei ntr-un cmp magnetic neomogen, inducia cruiacrete n sensul micrii particulei (fig. 15.29). Acest rezultat seutilizeaz pe larg la focalizarea fasciculelor de electroni naparatele electronice cu fascicol.

15.7. Efectul Hall

Efectul Hall const n apariia unei diferene de potenial i, respectiv, a unui cmp electrictransversal (denumit cmp electric Hall) ntr-un metal sau semiconductor parcurse de un curentelectric, atunci cnd ele sunt introduse ntr-un cmp magnetic, perpendicular pe direcia curentului.Efectul a fost observat pentru prima dat n anul 1879 de ctre fizicianul american Edwin Herbert Hall(1855 1938) i i poart numele.

Admitem o plac metalic (fig. 15.30) strbtut deun curent cu intensitatea I i situat ntr-un cmp

magnetic cu inducia B perpendicular pe direciacurentului. Hall a stabilit c ntre punctele A i C,situate ntr-o seciune transversal a plcii, apare o

diferen de potenialA C

= proporional cu

produsul dintre intensitatea curentului din conductor

I i inducia cmpului magnetic B

i inversproporional cu limea plcii b :

A C

RIB

b

= = , (15.50)

unde coeficientul de proporionalitate R se numete constanta lui Hall. Ea depinde de materialulplcii, pentru unele materiale fiind pozitiv, iar pentru altele negativ.

Efectul Hall se explic prin aciunea forei magnetice mF q B = v

asupra purttorilor de curent din

conductor. n cazul unor sarcini pozitive, n conformitate cu regula minii drepte, aceast for esteorientat n sensul axei Oz i deviaz purttorii spre faa superioar a plcii. Din aceast cauz pe faasuperioar a plcii se va acumula un surplus de sarcin pozitiv, iar pe cea inferioar - un surplus desarcin negativ. Dac purttorii sunt de sarcin negativ, atunci totul se va produce invers. Astfel,ntre feele superioar i inferioar ale plcii apare un cmp electric (cmpul Hall) de o anumit

intensitate E

, care se opune devierii altor sarcini ctre faa superioar, ntruct asupra purttoriloracioneaz fora electric eF qE=

orientat n sens opus sensului forei magnetice mF q B = v

. La

echilibru

0 0e m

F F qE q B + = + = v

.

De aici se obine urmtoarea expresie pentru intensitatea cmpului electric Hall:

Fig. 15.29

Fig 15.30


25/25


0 0

0 0x x

i j k

E B Bk

B

= = = v v v

,

ntruct n sistemul de referin acceptat nfigura 15.30 x iv = v

i B B j=

. Astfel cmpul Hall este

orientat n sens opus axei Oz . Diferena de potenial dintre punctele A i C poate fi determinatutiliznd relaia de legtur dintre potenialul i intensitatea cmpului electric (11.12):0 0

A C z x x

a a

E dz B dz Ba = = = = v v .

ns, componenta vitezei xv poate fi exprimat prin intensitatea curentului din conductor. ntr-adevr,

dac prin seciunea plcii n timpul dttrece sarcina dq , atunci

xx

qnS dt dq qnSdlI qn ab

dt dt dt = = = =

vv ,

unde S ab= este aria seciunii transversale a plcii, iar n este concentraia purttorilor cu sarcina q .

De aici ( )x I qnab=v i diferenade potenial Hall devine

1A C x

BIBa

nq b = = =v , (15.51)

ceea ce coincide cu formula experimental (15.50). Din compararea acestui rezultat cu (15.50),obinem urmtoarea expresie pentru constanta Hall:

1R

nq= . (15.52)

Rezult c semnul constantei Hall este determinat de semnul sarcinii purttorilor de curent q . Valoarea

constantei Hall se poate determina experimental, ca fiind o mrime ce reprezint panta dependeneiliniare a diferenei de potenial de expresia BI b . Cunoaterea constantei R permite determinarea

concentraiei n a purttorilor de curent din conductor1

nRq

= , (15.53)

care este dificil de determinat pe alte ci. Cunoscnd concentraia electronilor din conductor cu ajutorulrelaiei (14.44) se poate determina valoarea parcursului liber mediu al acestora.

15 Campul Magnetic in Vid

Documents

Transcript of 15 Campul Magnetic in Vid