10.10.Exercitii Pregatire Bac Cls a 10-A

1

1. Puteri i radicali

1) Aducei la o form mai simpl : a) 625-11254

3 25 0,5 5 ; b)81 22 3 8 :27 185 ;

c) (8 2 ) 23

:(4

1) 2

27

; d)

2 21

2 03 32(0,01) 2 64 8 5

; e)

21

43 2

3

.

2) Calculai a)

3

513 81 :39

= b)

3

512 16 : 24

=

c) 25

5 6 4 5 8 3 29 : 27 81 : 9 3 : 27 81

3) S se afle care numr din perechile de numere este mai mare:

a). 13)5,0( i 132 ; b). 35 i 5,25 ; c). 11 36 i 15 76 .

4) S se afle mulimea valorilor lui x pentru care este adevrat inegalitatea :

a). 7293 x b). 1

3 1243

x

; c). 25,0)2(32 3 x

5) Calculai media aritmetic i media geometric a numerelor 7 4 3 i 7 4 3 .

6) Calculai: a) 33:125752243 = b) 88225)392200450(162

c) 15 72 4 2 8 108 2 6 3 3 18

d)

15

7

15

1

32

53

5

34

e)

6

5

6

5

22

33

3

24

f)

14

5

14

3

22

73

7

22

7) Calculai prin raionalizare: a) 27

10

27

5

= b)

25

4

+

53

3

=

c) 132

1

= d)

621

1

=

8) Artai c Q 43...531

9) S se calculeze a) 31

.27

8

2

3

b) .3

39

3

3

10) S arate c numrul 3212273 este natural.

11) Ordonai cresctor numerele: 2 2a i .23

1

b

2

12) S se ordoneze cresctor numerele a) 3 4 ; 4 6 ; 12 280 b) 3 ; 3 18 ; 6 312 .

13) Calculai: a) 6 7 5 114125 : 25 5 b) 333 12822543

c) 1923

-813

+6483

+3753

d) 423

22503

+ 36863

+ 163

.

14) S se scrie sub form de putere :

3 216 , 3 512 , 3 5 10222 ,

4 3 15333 .

15) Pentru 4a i 2

1b , calculai:

1

121:

3

15,11

2111

2

1

a

bba

ba

a.

16) S se scrie sub form de putere :

a) 44

3 4

33

2

2

3 2

x

x

x

xx

x

x, x > 0 b) 4

4

3 2

3

3

4 33 2

x

x

x

x

x

xx, x > 0

17) Calculai x4

4

x2

x2

x2

x2

pentru 124x .

18) S se determine valorile naturale ale lui n pentru care expresia nnE 310)( este bine definit.

19) Determinai valorile lui x pentru care exist 2 4 3x x .

20) Determinai valorile lui x pentru care exist a) 36

2 1

x

x

b)

2 1

2

x

x

21) Determinai numerele naturale n, pentru care, pe rnd: a) 8 < 2n < 32;

b)

23 5

3 3 81

2 2 16

n

c) 1 1 1

32 2 4

n

22) Demonstrai identitile :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

( identitatea lui Lagrange )

4322344 464 babbabaaba

543223455 510105 babbababaaba

322344 ababbaababa

43223455 babbabaababa

))()((3)( 3333 cbcabacbacba

).....)(( 22422242222222 nnnnnn yyxyxxyxyx

).....)(( 1221 nnnnnn yxyyxxyxyx

)......)(( 2121221212 nnnnnn yxyyxxyxyx

2222222222 )()()()())(( bxayazcxcybzczbyaxzyxcba

3

23) Calculai E(a) =

1

1

22

112 : 2 1

1 2 2

4

a

aa

a

pentru 1

2a .

24) S se aduc la o form mai simpl expresia 3 3 12 12 2 2E x y x y x y xy

.

2. Ecuaii exponeniale

1) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 5x .

2) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 10 43x .

3) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 10 0,01x .

4) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 4 3x x .


6) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3 2 67 49x x .


8) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 22 3 54x x .

9) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .931 x

10) S se determine soluiile reale ale ecuaiei

x

x

3

13 2 .

11) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .8

12 4

2

xx

12) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 5

1125 x .

13) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .42

1

x .

14) S se rezolve ecuaia .2822 3 xx

15) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3622 3 xx .

16) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 1222 1 xx .

17) S se rezolve n R ecuaia 2 32 2 2 37x x x .

18) S se rezolve n R ecuaia 522

24 xx .

19) S se rezolve ecuaia 02137353 11 xxx .

20) S se rezolve ecuaia 2 3 22 4.x x

21) S se rezolve ecuaia 347747 12 xx .

22) Sa se rezolve ecuaia

5

2

3

9

4

x

.

23) S se rezolve ecuaia .82 12

xx

24) S se rezolve ecuaia .8

4

2

1 x

x


1

x

26) S se rezolve ecuaia .7323 1 xx

27) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 42 1 x

4

28) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia .2

3

3

2

x

x

29) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia .1553 xx

30) S se rezolve ecuaia 13333 321 xxx .

31) S se rezolve ecuaia .)21()223( 2 x

32) S se rezolve ecuaia 1 23 3 3 39x x x .

33) S se rezolve ecuaia .42 2log x 34) S se rezolve ecuaia 2x+2 2x+1+32x 40 = 0.

35) S se rezolve ecuaia .033232 xx .

36) S se rezolve ecuaia exponenial .04254 xx

37) S se rezolve ecuaia .02234 xx


39) S se rezolve ecuaia 03349 xx .


522 xx

3. Ecuaii iraionale.

1) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .2 xx


3) S se rezolve n R ecuaia .25 x


5) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .17 x


7) S se rezolve ecuaia 222 xxx .

8) S se rezolve ecuaia .25 2 x


10) S se rezolve ecuaia 012 x .


12) S se rezolve ecuaia .21 2 xxx


14) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 2 37 7.x x x .

15) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 2 39 9.x x x .

16) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 213 x .

17) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia xxx 3 3 1 .

18) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 3 232 1 1 1x x x x .

19) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 31 2 1 0x x .

20) S se rezolve ecuaia 2 1 5x x .


5



24) S se rezolve ecuaia 2 1 2 2x x .

25) S se rezolve ecuaia 2 2 2 2x x x x .

26) S se rezolve ecuaia 3 2 33 4 0x x .

4.Logaritmi i ecuaii logaritmice.

Logaritmi

1) S se calculeze .9log2

13log 22

2) S se calculeze .2

3log3log 22

3) S se calculeze a) 33 3393log b) 3

2 2242log .

4) S se verifice egalitatea .110

9lg...

3

2lg

2

1lg

5) S se calculeze .10log6log5log 333

6) S se compare numerele 22 i .32log2

7) Compar numerele: 3log 3 9 27 81a i 2log 4 8 16 32b .

8) S arate c numrul 8log3 2)2( este natural.

9) Calculai: 3 3 3 3log 12 log 27 : log 64 2log 12 . 10) S se calculeze .9log25log 35

11) S arate c .369log4log 32

12) S se calculeze .5log10log3log 666

13) S se calculeze .8

9log...

2

3log

1

2log 333

14) S se calculeze .25log2

15

3

15) S se calculeze 10

1lg

10

1lg100lg10lg 22

16) S se arate c .130log12log5log 222

17) S se verifice c .23log

2log18log

5

55

18) S se arate c .084

1log 32

19) S se arate c .7log6log3log14log 2222

20) Se consider numrul .3log2a S se arate c .1218log2 a

21) Dac 2log3a artai c a 354log3 .

22) S se arate c 1324log3 a , unde 2log3a .

23) S se arate c numerele ,2log2 1

3C i 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

6

24) Ordonai cresctor numerele 3log3a , 3 27b ,

1

2

3

c .

25) Care dintre urmtoarele numere este mai mare:

a) 5

4log5log 22 sau ; b)

7

1log

2

1log 55 sau ; c) 10log2 3sau ; d) 7log3 2sau ;

26) S se determine valoarea lui x astfel nct ;

a) 5log4log3loglog 2222 x ; b) 5log46log37log2log aaaa x

27) S se determine valorile lui x pentru ca urmtorii logaritmi s aib sens :

a) )1(log2 x ; b) )2(log2

4 xx ; c) )(loglog 24 x ; d) )(loglog2

1

2

1 x .

28) Dac a2log3 sa se demonstreze c a

a

4

3124log16

.

29) Calculai 40log100 ,dac a5log2 .

30) tiind c lg7 = p i lg5 = q , s se exprime n funcie de p i q

a) 7,0lg ; b) 3 7lg ; c) 175lg ; d) 57lg .

31) Dac 3log 2a , s se calculeze n funcie de a expresia

3 6

3 8

log 16 log 9

log 18 log 3E

.

32) Aflai *x R dac 2 2 4 1 2 12 4

log log 3 log 5 log 3 2log 3 1 log 5x .

33) Dac 2log 3a , s se calculeze n funcie de a expresia

3 8

3 3

log 36 log 3

log 18 log 72E

.

34) S se arate c expresia:E=xx

xx

2,0

3

125

9

2

3

loglog

loglog

nu depinde de x .

35) S se arate c expresia:2)2(log3

2

8log4log

1

4log2log

1

xxxxx

nu depinde de x .

36) S se demonstreze c expresia xxx

xxxE

5,042

625255

logloglog

logloglog

este constant, 1\),0( x .

37) S se demonstreze c expresia xxx

xxxE

625255

5,042

logloglog

logloglog

este constant, 1\),0( x .

Ecuaii logaritmice

1) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .2)43(log5 x

2) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .3log)2(log 22 xx

3) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .3)5(log)2(log 22 xx

4) S se determine soluiile reale ale ecuaiei ).32(log)6(log 32

3 xx

5) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .2)44(log 23 xx

6) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .0)3(log2 x

7) S se rezolve ecuaia ).33(log)52(log 222 xxx

8) S se rezolve ecuaia .1)1(log 23 x

7

9) S se rezolve ecuaia ).23(log)4(log 222

2 xxx

10) S se determine soluiile reale ale ecuaiei .2)2(log 22 xx

11) S se rezolve n mulimea numerelor reale pozitive ecuaia .2log 22 x

12) S se rezolve ecuaia .11log2 x

13) S se determine soluiile reale ale ecuaiei ).1(log1)13(log 55 xx

14) S se rezolve reale ecuaia .1)42(log)2(log 22

2 xxx

15) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia .0)12(log 14 x

16) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia .1log 32 x

17) S se rezolve ecuaia: 2)13lg()7lg( xx

18) S se rezolve ecuaia .03lg4lg2 xx

19) S se rezolve ecuaia 2lg 3lg 4 0.x x

20) S se rezolve ecuaia: xx lg4

1

3

1lg

12

1 2

21) S se rezolve ecuaia: 23loglog3 xx

22) S se determine valorile reale pozitive ale numrului x, tiind c xlg , 2

3 i xlg sunt trei

termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

23) S se rezolve ecuaia: log2(9x+7) = 2+ log2(3x+1).

5. Numere complexe

1) S se calculeze (1+2i)(1-2i)+5i(2-i) =

2) S se calculeze z

1, z , z dac z = 5 - 12i

3) S se gseasc numerele reale x i y dac (2x+yi)-(y+3xi) = 6 - 10i

4) S se determine numerele reale x i y tiind c are loc egalitatea iiyix 1313253 .

5) Sa se calculeze 43 43(1 ) (1 ) .i i

6) Determinai numrul real m, pentru care are loc:

a) (m + i )2 = 24 10i ; b) (2m + i )2 +2(m i)2 = 21.

7) Fie numerele complexe .3;33;322 321 iziziz

Calculai i scriei sub form algebric numrul complex Z= .432 231 zzz

8) Fie 1 2 2

1

i iz

i

. Calculai Re(z), Im(z) i z .

9) Se consider numerele complexe z1=9+12i i z2=15-36i. S se calculeze :

1

2

2

111 Im,Re,,

z

z

z

zzz .

10) S se calculeze produsul P = 2 3 85i i i i i suma S = 2 3 240i i i i . 11) Determinai numerele reale x, y, pentru care au loc:

a) 34

x yii

i

b)

6 52 4

ii

x yi

c)

3 5

3 5

ix yi

i

.

12) S se determine numrul complex z = a + bi, (a,bR) tiind c iz 30162 .

8

13) S se determine numrul complex z = a + bi, (a,bR) tiind c izzz 4142 .

14) Rezolvai n C ecuaiile:a) z + |z| =1 + 3i; b) 1 5z iz i ; c) (2 + i)z+(3 - 5i) = 8 + 8i ;

d) 2z z z i ; e) 3 4 2z z i .

15) Determinai ecuaia de gradul al doilea cu coeficieni reali, astfel nct una dintre rdcini s fie:

.

16) Fie z1 = 1 2i, z2 = - 2 + i . Determinai n plan, imaginile geometrice ale numerelor

complexe:z1, z2, z1+z2, 1z , 2z .

17) a) Determinai z C , cu proprietatea: 21 3

2 2

iz ;

b) Determinai x, y reali, astfel nct: 2 3

1 31 1

x yi

i i

.

18) Rezolvai ecuaia:

3 22 2 2

1 0z i z i z i

z i z i z i

19) Determinai m real astfel nct1 2

m iz

i

s fie pur imaginar.

20) Determinai m real astfel nct 4

3 ( 7)

az

m m i

s fie real.

21) S se rezolve ecuaia 1z z

zz , unde 1z .

22) Se consider ecuaia. 2 2 0,z mz m m R cu soluiile 1z , 2z .

a) S se calculeze 2 21 2z z .

b) S se determine m R, pentru care ecuaia are soluii complexe .

c) Dac 1z i 2z sunt complexe, s se determine m R astfel nct 1 2 1z z

23) Fie 1 3

2 2

i

a)S se arate c i 3 1

b) S se arate c 2 3 3 , ,a b a b a b a b a b R . 24) S se verifice dac urmtoarele ecuaii au soluie numrul complex dat :

a) 2 2 + 10 = 0; 1 = 1 3 b) 2-10 + 26 = 0 ; 1 = 5 +

c) +4

= 2 ; 1 = 1 + 3.

25) S se rezolve n C ecuaiile cu coeficieni reali:

a) x2 + 4 = 0 b) 4x2 4x + 10 = 0 c) (x 3)2 = 25 d) x2 4x + 20 = 0 e) x2 2x + 3 = 2(x 1).

26) S se determine astfel nct ecuaiile s aib una din soluiile specificate: a) z2 + (m 2)z + 2 = 0; 1 = 1 b) mz2 6z + 25 = 0; 1 = 3 + 4 c) z2 2z + m2 + 1 = 0; 1 = 1 4 d) mz2 (m + 3)z + 5 = 0; 1 = 2 + .

z

i

i

31

3

9

27) S se determine astfel nct ecuaiile de gradul II s nu aib soluiile reale: a) x2 2mx + (m 1)2 = 0 b) (m 1)x2 2(m 1)x + m = 0 c) (m+1)( + 1)x2 + (2m 1)x + m = 0.

28) Dac 1 i 2 sunt soluiile ecuaiei 2 + 2 + 2 = 0 s se calculeze:

a) 12 + 2

2; b) 13 + 2

3; c) 1

1+

1

2; d)

1

12 +

1

22.

6.Funcii

1) Stabilii dac n urmtoarele enunuri f: A B este o funcie:

a) f: RR, f(x) = 1x

x;

b) Gf = {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)}, A = B = {1,2,3,4};

c) Gf = {(2,1),(3,4), (1,4),(4,4)}, A = B = {1,2,3,4};

2) Determinai mulimea de valori pentru fiecare din funciile :

a) b)

4

9

25

64

Funcia :

f(x)=

x

? -3

2

0

-2

Funcia:

f(x)=x2

?

3) Scriei numrul de funcii definite pe mulimea A cba ,, i cu valori n mulimea B ba, 4) Se consider funciile f,g,h:R .33,22,1, xxhxxgxxfR S se determine a real astfel nct Rxxgxhxfa , . 5) Determinai a,b reali, astfel nct funciile f,g: ,2352, bxxgsixaxfRR s

fie egale.

6) Determinai punctele de intersecie ale graficului funciei: f : R R , f(x) = x(x+3)(x-2) cu

axele de coordonate.

7) S se determine imaginile urmtoarelor funcii, definite prin :

a) f: [ -2,3] R, f(x) = 2x b) f:[-2,3] R, f(x) =

]3,1(,13

]1,2[,2

xx

xx

c) f: RR, f(x) =

1,13

1,1

xx

xx d) f: {-3,-2,0,1,4} R, f(x) = -3x+1.

e) f: 2,1.0.1 xxfR . f) f: 23,2, xxfR .

8) Reprezentai grafic funcia : , ( ) 3 1xf R R f x .Determinai :

a) Im f ; b) monotonia; c) convexitatea(concavitatea); d) intersecia cu axele; e) mrginirea .

9) Folosind graficul funciei : (0, ), ( ) 2xf R f x , trasai graficul funciei

: (0, ), ( ) 2x

f R f x .

10) S se traseze graficul funciei6, 0

: , ( )2 5, 0x

x xf R R f x

x

.

10

11) Determinai domeniul maxim D de definiie al funciei f : D ,R n cazurile:

a) 4

22

x

xxf , b) f(x) =

3x

x, c) f(x) =

4

12 x

, d) f(x) = 2x , e) f(x) = 3

1

x.

12) S se studieze paritatea funciei:

a) xxxf sin3 b) xxxf cos3 c) xxxf cos2 d) xxxf sin4 . 13) Studiai care dintre urmtoarele funcii sunt pare, care sunt impare i care sunt fr paritate:

a) 1

53,:

2

26

x

xxxfRRf , b)

1

13,:

2

x

xxfRRf

c) 42

,:26

3

xx

xxxfRRf

14) Fie funcia :f N N , f n restul mpririi lui n la 7. Determinai imaginea funciei i artai c este periodic.

15) Fie funcia :f N Z , f n 1n

. Determinai imaginea funciei i artai c este periodic.

16) S se determine m real astfel nct funcia f:R 33, xmxfR , s fie strict cresctoare pe R.

17) Se consider funcia 9)2()(,: xmxfRRf S se determine valorile lui Rm astfel

nct funcia f s fie strict descresctoare pe R

18) Se consider funcia liniar :f RR definit prin mxmxf 25 , unde m R. a) S se determine parametrul m R., astfel nct funcia s fie cresctoare;

b) S se determine valorile lui m R., petru care funcia este descresctoare;

c) S se reprezinte grafic aceast funcie n fiecare din cazurile de mai jos: 1) m=5 2) m=2 3) m=1

19) Se consider funcia f: ,0 22, mxxfR . S se determine m real astfel nct graficul funciei f s nu intersecteze axa Ox.

20) Se consider funciile f,g: RR, f(x) = x2 - 9, g(x) = - x2 + 9. Trasai graficele acestor funcii n

acelai reper cartezian i rezolvai grafic inecuaiile: a) f(x) > g(x); b) f(x) < g(x).

21) S se determine punctele de extrem i extremele funciei :f RR, 132 2 xxxf .

22) Studiai mrginirea funciei :f R R , 4

4 1

xf x

x

.

23) Studiai mrginirea funciei :f R R , 2

2 4

xf x

x

.

24) Fie 2: , ( ) 2f R R f x x .Demonstrai c funcia este convex studiind graficul funciei.

25) Artai c graficul funciei: f:R R , f(x)= 2x are ca ax de simetrie dreapta x = 2.

26) S se determine funcia f:R R tiind c graficul ei i graficul funciei

g:R 33, xxgR sunt simetrice fa de dreapta x=1. 27) Determinai intervalele de monotonie ale funciei :f R R , 2 4f x x .

28) Determinai intervalele de monotonie ale funciei :f R R , 2 6f x x x .

29) Se consider funcia 16)(,: `2 xxxfRRf . Stabilii intervalele de monotonie ale

funciei.

11

30) Folosind monotonia funciei exponeniale rezolvati inecuatiile : 2 45 1x i

1 1

2 16

x

31) Demonstrai c funcia f este monoton : xxxfRf 2`2 log)(,,0: .

32) Demonstrai c funcia g este monoton: xxxgRg 2log4)(,,0: .

33) S se determine se inversa funciei f n cazul diagramei: x -10 -3 1 15 20

f(x) 6 0 -4 8 5

34) S se arate c :f R R , f(x) = x 7 este bijectiv i s se determine inversa sa f -1.

Determinai starea de monotonie.

35) Fie funcia :f R 3\ R 3

2,1\

x

xxf , s se arate c este inversabil i s se afle inversa

ei.

36) Se consider funcia 1

64)(},4{\}1{\:

x

xxff RR .S se demonstreze c funcia f este

inversabil i s se calculeze 1(2) (2)f f .

37) Fie f: R R,

2 4 ,2( )

2,

x x xf x

x m x

. Determinai m R astfel nct funcia s fie

surjectiv.

38) Fie functia 1)(,: 2 xxxfRRf . Calculati )3)(( ff .

39) Se dau funciile RRgf :, , 63 xxf , 84 xxg S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3xfg .

40) Se dau funciile RRgf :, , 63 xxf , 84 xxg . S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2xfg .

41) Se dau funciile RRgf :, , 63 xxf , 84 xxg . S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 6xgf .

42) Se dau funciile RRgf :, , 63 xxf , 84 xxg . S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 6xgf .

43) Se dau funciile f,g:RR, f(x)=3x+5, g(x)=-x+4. S se determine funciile .,,, ggfffggf

44) Fie RRgf :, , 32 xxf i 23 xxg . S se determine funciile .,,, ggfffggf

45) Se consider funcia f:R .2, xxfR S se rezolve ecuaia f xfxf 2

46) Considerm funciile .1,4

4,:,

2

xxg

x

xxfRRgf

Determinai funciile: a) gf , b) fg .

47) Fie funcia 2:[0, ) [0, ), ( )f f x x i funcia :[0, ) [0, ), ( )g g x x Artai c cele

dou funcii sunt inverse una alteia .

48) Fie funcia f: .,2,2 xxfR

a) calculai f(-1), f(0),

2

3f

b) determinai imaginea funciei f. c) determinai interseciile graficului funciei f cu axele de coordonate;

12

d) rezolvai ecuaia f(x) = 1, i inecuaia f(x) .1

49) Se consider funcia :f R R , 2 6f x x .

a) Aflai m pentru care punctul A , 9m m se afl pe graficul funciei f ; b) Determinai interseciile graficului funciei f cu axele;

c) Aflai 1 58f , 5,0f , 1 2, 4f ; d) Studiai monotonia funciei f ; e) Studiai paritatea funciei f ;

f) Calculai f f x i 3f f f .

50) Se consider funcia :f R R , 2 4f x x .

a) Aflai m pentru care punctul A 1,m m se afl pe graficul funciei f ; b) Determinai interseciile graficului funciei f cu axele;

c) Aflai 1 22f , 2,3f , 1 4,3f ; d) Studiai monotonia funciei f ; e) Studiai paritatea funciei f ;

f) Calculai f f x i 1f f f .

7. Metode de numrare.

1) S se calculeze

a)

2

3 3C P b)

4 4

5 5C A c)

2 2

5 4 6C A d)

2

5 3A P e)

5 5 4

7 6 6C C C f) 0! 1! 2! 3!

g)

2 4

6 6C C h)

5 3

8 8C C i)

1 2

3 32C A j)

2 2006

2008 2008C C k)

2 998

1000 1000C C l)

2 2 1

2008 2007 2007C C C

m) 4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 CCCCC n)

1

2 4

1

3

P C

A

o)

1

8

2! 3!

C

.

2) S se arate c !.3115 C

3) S se verifice c 455

3

5

1

5 2 CCC .

4) S se determine numrul tuturor submulimilor de 2 elemente ce se pot forma cu elemente din

mulimea }.5,4,3,2,1{

5) Se consider 10 puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin cel puin 2 puncte din cele 10?

6) S se calculeze numrul submulimilor mulimii }.4,3,2,1{ care au un numr par nenul de

elemente.

7) S se calculeze numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi cu 6 elemente.

8) Se consider mulimea }.5,4,3,2,1{A S se determine cte numere formate din 3 cifre distincte

se pot forma cu elemente ale mulimii A. 9) S se determine cte numere de cte trei cifre distincte se pot forma cu elemntele mulimii

}.4,3,2,1{

10) S se determine cte numere de dou cifre se pot forma cu elemntele mulimii }.4,3,2,1{

11) n cte moduri se pot forma echipe din cte 4 elevi i un profesor, dac sunt 20 elevi i 3 profesori ?

12) La un turneu de sah au participat 11 ahiti i fiecare 2 s-au ntalnit o dat.Cte partide s-au jucat n turneu?

13) Fiind date 9 puncte , oricare trei necoliniare, s se determine numrul dreptelor obtinute unind punctele date. Cte triunghiuri determin cele 9 puncte ?

14) Cte numere de 5 cifre distincte se pot forma folosindu-se numai cifrele 0, 1, 2, 3, 4?

13

15) S se determine numrul natural nenul n astfel nct numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi cu n elemente s fie egal cu 6.

16) Se consider mulimea }.4,3,2,1{A S se determine cte numere formate din 4 cifre distincte se

pot forma cu elemente ale mulimii A.

17) Aflati Nn pentru care 256...210 nnnnn CCCC .

18) S se rezolve ecuaia 212 xC , .Nx

19) S se determine numrul natural n tiind c 6)!5(

)!3(

n

n.

20) S se determine numrul natural n tiind c 1011 nn CA .

21) S se rezolve ecuaia 122 nA , .Nn

22) S se rezolve ecuaia 282 nC , .Nn

23) S se determine valorile naturale ale numrului n astfel nct 810 nn CC .

24) S se rezolve ecuaia 212

n

nC , .Nn


1

56n

n

P

P

, n N .

26) S se rezolve ecuaia

2 3 !20

2 1 !

n

n

, n N .

27) S se rezolve ecuaia

1 ! 30 1 !

3 ! 1 !

n n

n n

. n N .

28) S se rezolve ecuaia 3 14 220n nA A , n N

.


1

3 1

6n

n n nC

, n N .


2

2 1

5

3

n

n

n

n

C

C

, n N .

31) S se rezolve ecuaia 3 13 30n

n

n

PA

P

, n N

.

32) S se rezolve ecuaia 10 8

8131n n

n

A A

A

, n N .

33) S se rezolve ecuaia 3 31 1 56n nA C n , n N

.

34) S se determine numrul natural n astfel ca urmtorii termeni s fie n progresie aritmetic :

2 31 4 5, ,

x x

x xC A C

.

8.Probabiliti.

ntr-un cmp de evenimente egal probabile probabilitatea realizrii unui eveniment A este:

( )numarul cazurilor favorabile evenimentului

p Anumarul total de cazuri

.

Aplicaii:

14

1) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {1,2,3,4,5}A acesta s

verifice inegalitatea 2 2nn .

2) S se calculeze probabilitatea ca alegnd unul dintre numerele 2 2 24 5 6, ,C C C acesta s fie divizibil

cu 3.

3) S se calculeze probabilitatea ca alegnd unul dintre numerele 2 5 7log 2,log 25,log 1 acesta s

fie supraunitar.

4) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element x al mulimii 2 8 7 0A x x x N acesta s fie numr prim.

5) S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 2, 3, 4,..., 10 , acesta s fie

numr raional.

6) S calculeze probabilitatea ca un element al mulimii }5;4;3;2;1;0{ acesta s verifice inegalitatea

50!n .

7) S calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii }6;5;4;3{ acesta s verifice

inegalitatea .20)1( nn

8) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr natural de dou cifre acesta s fie cub perfect.

9) S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 11,...,4,3,2 , acesta s fie numr iraional.

10) S se calculeze probabilitatea ca alegnd la ntmplare o submulime mulimii {1,2,3,4,5}A

acesta s aib trei elemente.

11) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {2,3,4,5}A acesta s

verifice inegalitatea 2 !n n n .

12) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element al mulimii sin 30 ,sin 45 ,sin 60A acesta s fie raional.

13) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor de dou cifre acesta s fie ptrat perfect.

14) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element din mulimea {7,10,13,16,...,28}A acesta

s fie divizibil cu 5. 15) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element din mulimea {11,12,13,...,20}A acesta

s fie numr prim.

16) Se consider toate numerele naturale de cte trei cifre scrise cu elemente din mulimea 2;1 . S calculeze probabilitatea ca, alegnd un astfel de numr, acesta s fie divizibil cu 3.

17) S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 3333 30,...,3,2,1 , acesta s fie numr raional.

18) Considerm experiena aruncrii a dou zaruri. S se calculeze probabilitatea realizrii urmtoarelor evenimente:

A: S apar combinaia 6-6. B: S apar suma punctelor egal cu 11. C: S apar suma punctelor cel mult 4. D: S apar suma punctelor mai mare dect 4. E: S apar produsul punctelor egal cu 12. F: S apar produsul punctelor diferit de 12.

15

9. Aplicaii ale matematicii n economie

1) S se determine 25% din 96 000 lei . 2) 4% din capitalul unei firme, adic 21 000 lei sunt folosii pentru transport. Ce capital are firma? 3) Un calculator cost 2500lei. Ct va plati cumparatorul, dac se adaug 19% TVA? 4) Se consider seria statistic reprezentnd un eantion de 20 de elevi n funcie de crile citite:

Cri 0 1 2 3

elevi 2 8 4 6

Ct la sut reprezint elevii care citesc 2 cari? 5) S se determine ce sum va primi un depuntor pentru 6 000 lei depui cu 5% pe un an. 6) 10% din capitalul unei firme, adic 7 000 lei sunt folosii pentru transport. Ce capital are firma? 7) Un palton cost 250lei. Ct va plti cumprtorul, dac se adaug 24% TVA? 8) Se consider seria statistic reprezentnd un eantion de 10 de elevi n funcie de fructele

Fructe mere pere kiwi gutui

Elevi 2 1 5 2

Ct la sut reprezint elevii care prefer kiwi? 9) S se determine suma depus la banc pe un an dac dobnda de 2% pentru ea reprezint 4000

lei.

10) 5 % din capitalul unei firme, adic 2300 lei sunt folosii pentru plata combustibililui. Ce capital are firma?

11) Un TV cost 2500lei. Ct va plti cumprtorul, dac se adaug 23% TVA? 12) Se consider seria statistic reprezentnd un eantion de 40 de oameni n funcie de buturile

preferate :

buturi bere vin suc ap

oameni 20 10 15 5

Ct la sut reprezint cei care prefer vinul? 13) S se determine ct la % din depunerea de 20000 lei pe un an reprezint dobnda de 4000 lei . 14) S se calculeze TVAul pentru un produs tiind c preul de vnzare al produsului este de 2480

lei (procentul TVA este de 24 %).

15) Un dormitor cost 6200lei cu 24% TVA inclus. Ct e preul fr TVA ? 16) Se depune o sum la banc cu dobnda de 6% i se ncaseaz dup un an dobnda de 720 lei .

Ce suma s-a depus ?

17) Firma 1F are un capital iniial de 10 000 lei i n anul 2008 a realizat un profit de 5000 lei.

Exprimai n raport cu capitalul iniial procentul pe care-l reprezint profitul firmei. 18) S se calculeze TVA-ul pentru un produs, tiind c preul de vnzare al produsului este de 238

lei (procentul TVA-ul este de 19%).

19) Dup o reducere cu 10% un produs cost 99 lei. S se determine preul produsului nainte de reducere.

20) Dup dou scumpiri succesive cu 10%, respectiv 20% preul unui produs este de 660 lei. S se determine preul iniial al produsului.

21) Dup dou ieftiniri succesive cu %10 , respectiv %25 , preul unui produs este 540 lei. S se determine preul produsului nainte de cele dou ieftiniri.

22) Dup a o reducere cu %20 preul unui produs este 320 lei S se determine preul produsului nainte de reducere.

23) Preul unui televizor s-a mrit cu %10 . El cost acum 561 lei. Care a fost preul iniial?

24) Preul unui produs este 5400 lei Cu ce procent trebuie ieftinit preul produsului ca acesta s

coste 4860 lei ?

16

25) Dup o reducere de 10% un produs cost 198 lei. S se determine preul produsului nainte de reducere.

26) Dup dou scumpiri succesive cu 10% , respectiv 20% , preul unui produs este de 1320 lei. S se determine preul iniial al produsului.

27) S se calculeze TVAul pentru un produs tiind c preul de vnzare al produsului este de 372 lei (procentul TVA este de 24 %).

28) Firma F2 are un capital iniial de 20.000 lei i n anul 2011 a realizat un profit de 6.000 lei . Exprimai n raport cu capitalul iniial procentul pe care-l reprezint profitul firmei.

29) Dup o reducere de 10% un produs cost 297 lei. S se determine preul produsului nainte de reducere.

30) Dup dou scumpiri succesive cu 10% , respectiv 20% , preul unui produs este de 1980 lei. S se determine preul iniial al produsului.

10. Geometrie analitic

1) Fie punctele A(3, 4), B(6, 5). a) S se reprezinte punctele A i B i vectorii lor de poziie.

b) S se calculeze coordonatele vectorului AB 2) Fie (O, , )un reper cartezian n plan.Figurai punctele A,B,C,D astfel nct

= 2 + 3 , = 2 3 , = 2 3 , = 2 + 3 , 3) Se d vectorul = 2 ,Determinai coordonatele punctului B, dac A are coordonatele A(1,3).

4) Determinai modulul urmtorului vector: = 2 + . 5) Determinai modulul urmtorului vector: (1,2). 6) Fie figura alturat i reperul (O, , ) :

1. Scriei coordonatele vectorilor din figur;

2. Calculai 1 2v v , 1 22v v , 1 2 33 6v v v ;

3. Determinai punctele A,B i C dac 1 2,OA v OB v i 3OC v ;

4. Calculai AB BC CA ;

5. Determinai numrul real pentru care 3 1 23v v v .

7) Fie A(a, b), B(c, d). S se determine coordonatele punctului M(e, f) mijlocul segmentului AB. Aplicaie: A(2, 5), B(6, 1).

8) Fie punctele A(3, 5), B(4, 6) Fie M astfel nct 2AM MB . Determinai coordonatele punctului M

17

9) Fie A(2, 3), B(4, 0), C(6, 6) i M, N, P mijloacele segmentelor AB, AC, BC. a) Determinai coordonatele punctelor M, N, P.

b) Aflai coordonatele punctului G, centrul de greutate al triunghiului ABC.

c) Aflai coordonatele punctului G, centrul de greutate al triunghiului MNP. 10) Fie punctele A(2, 0), B(5, 4), C(7, 12). Calculai lungimile laturilor triunghiului ABC.

11) Fie punctele )1;2( A i ).3;1(B S se determine numerele reale a i b astfel nct

.AB ai bj

12) n reperul cartezian xOy se consider punctele )8;4( A i ).3;6(B S se determine coordonatele

vectorului .OA OB

13) S ase determine numrul real a tiind c vectorii jaiu

2 i jaiv

)2(3 sunt coliniari.

14) n reperul cartezian ( jiO

,, ) se consider vectorii jiu

23 i .5 jiv

S se determine

coordonatele vectorului .35 vu

15) n reperul cartezian xOy se consider vectorii )3;2( OA i )2,1( OB . S se determine numerele

reale i pentru care vectorul OBOA 53 are coordonatele );( .

16) Dac 02

CBAB i B este interior segmentului AC s se determine valoarea raportului BC

AB.

17) n reperul cartezian xOy se consider vectorii )1;2( OA i )2,1(OB . S se determine

coordonatele vectorului OM , unde M este mijlocul segmentului AB.

18) S se determine numrul real m pentru care vectorii jiv

32 i jmiw

sunt coliniari

19) Se consider triunghiul echilateral ABC de centru O. Dac punctul M este mijlocul segmentului

BC, s se determine numrul real a astfel nct AMaAO .

20) n reperul cartezian , ,O i j se consider punctele 0,3A , 1, 3B , 2,4C . S se determine coordonatele vectorului OA OB OC .

21) S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctele )1;2( A i ).2;1( B

22) S se determine numrul real a tiind c dreptele 032 yx i 052 yax sunt paralele.

23) n sistemul cartezian xOy se consider punctele M(-2,2), N(-3,-1) S se calculeze panta dreptei MN.

24) Se consider punctele )2,3(),1,2(),,1( CBaA i ).2,1( D S se determine numrul real a tiind c

dreptele AB i CD sunt paralele.

25) S se determine ecuaia dreptei care conine punctul )1;1(A i este paralel cu dreapta

.0524 yx

26) S se determine ecuaia dreptei care conine punctul )3;2( A i este perpendiculara cu dreapta

.052 yx

27) S se calculeze aria triunghiului ABC determinat de punctele )5;3(),1;1(),2;1( CBA n reperul

cartezian xOy.

28) S se determine ecuaia dreptei care conine punctele )3;2(A i ).2;3( B

29) S se calculeze aria triunghiului echilateral ABC tiind c )1;1(A i ).2;3( B

30) S se calculeze lungimea segmentului AB, determinat de punctele )3;2(A i )1;5( B , n reperul

cartezian xOy.

31) S se determine coordonatele punctului C tiind c el este simetricul punctului )4;5(A fa de

punctul B( 1;2 ).

18

32) S se determine numrul real a, tiind c lungimea segmentului determinat de punctele )2;1(A i

)4;4( aaB este egal cu 5.

33) S se determine distana dintre punctele )1;3( A i )2;1(B .

34) S se determine coordonatele mijlocului segmentului AB, tiind c )4;5( A i )6;3(B .

35) n reperul cartezian xOy se consider punctele )2;1(A , )2;5(B i )1;3( C . S se calculeze

perimetrul triunghiului ABC.

36) n reperul cartezian xOy se consider punctele )1;5( A i )1;3(B . S se determine coordonatele

simetricului A fa de punctul B.

37) S se determine numrul real pozitiv a astfel nct distana dintre punctele )1;2( A i );1( aB s

fie egal cu 5.

38) n reperul cartezian xOy se consider punctele )2;1( A , )2;1(B i )1;2( C . S se calculeze

distana de la punctul C la mijlocul segmentului AB.

39) n reperul cartezian xOy se consider punctul );( 2 mmA i dreapta de ecuaie 0: myxd . S

se determine valorile reale ale lui m pentru care punctul A se afl pe dreapta d.

40) S se determine Rm pentru care punctele A(2;4), B(3;3) i C(m;5) sunt coliniare. 41) Aflai punctul comun dreptelor: 3x 2y 5 = 0, 2x + 3y + 7 = 0 .

42) S se determine Rm pentru care distana dintre punctele ),2( mA i )2,( mB este egal cu

24 . 43) S se determine lungimea nlimii din O n triunghiul MON, unde M(4;0), N(0;3) i O(0;0). 44) S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul A(3;0) i intersecteaz axa Oy n punctul

de ordonat 4. 45) Sa se calculeze distanta de la punctul de intersectie al dreptelor

04:,02: 21 yxdyxd la originea sistemului de coordonate xOy .

46) S se determine valorile reale ale lui m astfel nct punctele A(1;3), B(2;5) i C(3;m) s fie coliniare.

47) S se determine coordonatele punctului B, tiind c punctul C(3;5) este mijlocul segmentului AB i c A(2;4).

48) Se consider n reperul cartezian xOy punctele A(3;2), B(2;3) i M mijlocul segmentului AB. S se determine lungimea segmentului OM.

49) n reperul cartezian xOy , se consider punctele A(3,2) , B(2,3) i M mijlocul segmentului AB . S se determine lungimea segmentului OM .

50) Fie A(-2,2), B(6,4) i C(2,1) vrfurile unui triunghi. S se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.

51) Fie dreptele d: mx+3y+2=0 i g: 2x+ny-8=0. Determinai m i n astfel nct dreptele d i g s fie identice.

52) Se consider dreapta d: 4x-8y+1=0 i punctul A(2.1). Scriei ecuaia dreptei care trece prin punctul A i este paralel cu dreapta d.

53) n sistemul cartezian xOy se consider punctele M(2,4) i N(0,-2). Notm P mijlocul segmentului MN i Q simetricul punctului P fa de originea axelor. Calculai coordonatele punctului Q.

54) Se consider un triunghi cu vrfurile ).6,2(),3,5(),1,1( CBA S se determine ecuaia medianei dus

din punctul .A

55) Se consider punctele )2,6(),5,3(),1.2( CBA .S se scrie ecuaia perpendicularei dus din B pe

AC .

56) Laturile triunghiului ABC sunt date prin ecuaiile (AB): x-y+1=0, (BC): 2x+y-2=0, (CA): y=-2. S se determine coordonatele vrfurilor triunghiului ABC.

1. Puteri i radicaliLogaritmiEcuaii logaritmiceb) S se arate c .a) f: [ -2,3] R, f(x) = 2x b) f:[-2,3] R, f(x) =10. Geometrie analiticA(1,3).

10.10.Exercitii Pregatire Bac Cls a 10-A

Documents

Transcript of 10.10.Exercitii Pregatire Bac Cls a 10-A