1 CONCEPTE DE BAZĂ - universitatea-cantemir.ro 6 - INDICI...Analiza principalelor categorii de...

1

FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV

CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A

PROCESELOR ECONOMICE

TEMA 6

INDICI STATISTICI

Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU

Facultatea de Finanţe, Bănci şi Contabilitate Braşov

Universitatea Creştină “Dimitrie Cantemir”

Obiective

Cunoaşterea conceptelor referitoare la indicii statistici

Analiza principalelor categorii de indici statistici

Cuprins

6.1 Concepte referitoare la indicii statistici 2

6.2 Indici statistici simpli 3

6.3 Indici statistici compuşi 5

6.4 Indici statistici oficiali 10

6.5 Alţi indici statistici 12

6.5.1 Indicele de concentrare 12

6.5.2 Indicii de capabilitate 16

6.6 Bibliografie selectivă 21

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

2 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR

ECONOMICE

6.1 Concepte referitoare la indicii statistici

Indicii şi indicatorii statistici reprezintă o modalitate sistematică de

comparare în timp a evoluţiei sau dinamicii variabilelor economice.

Printre variabilele economice care sunt analizate cel mai des cu ajutorul

indicilor şi indicatorilor statistici se pot enumera: preţurile şi cantităţile de

produse, productivitatea muncii, rata inflaţiei ş.a. Prin metoda indicilor şi

indicatorilor statistici se pot sintetiza informaţiile referitoare la seriile de timp

pentru variabilele statistice economice.

Indicii şi indicatorii statistici sunt utilizaţi de organizaţiile economice

publice sau private pentru deciziile de analiză şi prognoză economică.

Indicii şi indicatorii statistici sunt definiţi de Anuarul Statistic al

României1 după cum urmează:

„Indicele statistic este un raport între valori ale aceleiaşi variabile

înregistrate în unităţi de timp sau teritoriale diferite”.

„Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene,

procese, activităţi sau categorii economice sau sociale, manifestate în

timp, spaţiu şi structuri”.

Vom analiza în această temă numai indicii statistici.

Principalele categorii de indici statistici pe care îi vom analiza sunt:

Indicii statistici simpli;

Indicii statistici compuşi;

Indicii statistici oficiali;

Alţi indici statistici.

Indicii statistici simpli reprezintă cea mai simplă formă de reprezentare

a indicilor statistici. Din această categorie vom analiza indicii procentuali

relativi.

Indicii statistici compuşi sau compoziţi rezultă din compunerea sau

combinarea informaţiilor referitoare la mai multe variabile economice de acelaşi

tip, denumite componente, şi măsoară variaţia relativă medie a fenomenului

economic analizat pe baza elementelor componente.

Indicii şi indicatorii statistici oficiali sunt definiţi de organizaţiile

internaţionale ca Banca Mondială, Fondul Monetar Internaţional, Eurostat, sau

de organizaţiile naţionale ca Insitutul Naţional de Statistică, Banca Naţională,

ministere, agenţii naţionale, bănci, burse, societăţi financiare etc.

În alte categorii de indici statistici vom include o serie de indici

statistici utilizaţi în analiza fenomenelor economice, dintre care vom analiza:

Indici statistici ai concentrării, care concentarea unor caracteristici

al evariabilelor economice;

Indici statistici ai capabilităţii proceselor de fabricaţie, utilizaţi

în tehnicile de managementul calităţii.

Ne vom limita în cadrul acestei teme numai la indicii statistici menţionaţi,

dar problematica indicilor şi indicatorilor statistici este deosebit de amplă.

1 Anuarul Statistic al României 2012, Institutul Naţional de Statistică, 2013

TEMA 14: INDICI STATISTICI 3

6.2 Indici statistici simpli

O definiţie generală a unui indice statistic, respectiv indice numeric (în

engleză index number) este aceea că indicele este un număr ce exprimă

schimbarea relativă referitoare la preţ, cantitate sau altă valoare a unei variabile

economice, faţă de o perioadă de bază. Indicele nu are unitate de măsură.

Indicele procentual relativ este un indice statistic simplu care măsoară

variaţia procentuală a unei variabile economice, exprimată prin valorile unei

serii de timp, începând de la o anumită perioadă de referinţă sau de bază t0,

şi până la o anumită perioadă de analiză sau actuală tn.

Să considerăm seriile de timp care descriu preţurile şi cantităţile pentru un

anumit produs în perioadele t0, şi tn, pentru care avem notaţiile:

p0 = preţul în perioada t0 sau 0;

pn = preţul în perioada tn sau n;

q0 = cantitatea în perioada t0 sau 0;

qn = cantitatea în perioada tn sau n.

Atunci indicele de preţ relativ la perioada n (actuală) faţă de perioada 0

(de bază) este:

(%)1000

0/ p

pI np

n ,

iar indicele cantitativ relativ la perioada n (actuală) faţă de perioada 0 (de

bază) este:

(%)1000

0/ q

qI nq

n .

Exemplul 6.1: Preţurile şi cantităţile pentru două produse P1 şi P2

înregistrate în anii 2012 şi 2013 au fost:

Anul 2012 2013

Produsul Preţ (p0) Cantitate (q0) Preţ (pn) Cantitate (qn)

P1 120 1500 125 2000

P2 300 3000 250 3500

Să se determine indicii procentuali relativi de preţ şi cantitativ în anul 2013

faţă de anul 2012, considerat perioada de bază (100%) pentru cele două produse.

Rezolvare: Pentru produsul P1 avem 12020120 pp , 1252013 ppn şi

12020120 qq , 1252013 qqn . Atunci indicii procentuali relativi pentru P1 sunt:

104,17%(%)100120

125(%)100

0

0/ p

pI np

n ,

133,33%(%)1001500

2000(%)100

0

0/ q

qI nq

n .

Rezultă deci o creştere relativă de 104,14% 100% = 4,17% a preţului şi de

133,33% 100% = 33,33% a cantităţii produsului P1 în anul 2013 faţă de 2012.


ECONOMICE

Indicii procentuali relativi pentru P2 sunt:

83,33%(%)100300

250(%)100

0

0/ p

pI np

n ,

133,33%(%)1003000

3500(%)100

0

0/ q

qI nq

n .

Rezultă deci o scădere relativă de 100% 83,33 = 16,17% a preţului şi o

creştere relativă de 116,17% 100% = 16,17% a cantităţii produsului P2 în anul

2013 faţă de 2012.

Vom discuta în continuare seriile de timp de indici relativi, care

urmăresc modificarea în timp a unui indice relativ, calculat din seria de timp a

variabilei economice analizate. Seriile de timp de indici relativi pot fi calculate în

două modalităţi:

(a) Indici relativi cu bază fixă: fiecare indice se calculează folosind ca bază

aceeaşi perioadă de timp (referinţă fixă);

(b) Indici relativi cu bază înlănţuită (mobilă): fiecare indice se calculează

în raport cu perioadă de timp anterioară imediată (referinţă mobilă).

Exemplul 6.2: Producţia (în bucăţi) în primul semestru al unui an este

înregistrată în tabelul următor:

Luna Ian Feb Mar Apr Mai Iun

Producţia 2570 2480 2630 2950 3120 3250

Să se determine indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi cu bază mobilă

faţă de producţia lunii ianuarie.

Rezolvare: Vom nota perioadele celor şase luni după cum urmează:

0 = Ian, 1 = Feb, 2 = Mar; 3 = Apr, 4 = Mai, 5 = Iun.

Pentru indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi baza luna ianuarie (luna 0)

avem pentru lunile 1, 2, 3, 4 şi 5:

%00,001(%)1002570

2570(%)100

0

00/0

q

qI q ;

%50,96(%)1002570

2480(%)100

0

10/1

q

qI q ;

%33,102(%)1002570

2630(%)100

0

20/2

q

qI q ;

%79,114(%)1002570

2950(%)100

0

30/3

q

qI q ;

%40,121(%)1002570

3120(%)100

0

40/4

q

qI q ;

%46,126(%)1002570

3250(%)100

0

50/5

q

qI q .

Pentru indicii relativi cantitativi cu bază mobilă şi baza luna ianuarie (luna

0) avem:


%50,96(%)1002570

2480(%)100

0

10/1

q

qI q ;

%05,106(%)1002480

2630(%)100

0

20/2

q

qI q ;

%17,112(%)1002630

2950(%)100

0

30/3

q

qI q ;

105,76%(%)1002950

3120(%)100

0

40/4

q

qI q ;

104,17%(%)1003120

3250(%)100

0

50/5

q

qI q .

Rezultatele sunt sintetizate în tabelul de mai jos şi în Figura 6.1. Se poate

observa dinamica crescătoare faţă de luna ianuarie a indicilor cantitativi cu bază

fixă (începând cu luna martie) şi apoi creşterea procentuală de la lună la lună.

Tip indice Ian Feb Mar Apr Mai Iun

Bază fixă 100,00 96,50 102,33 114,79 121,40 126,46

Bază mobilă 96,50 106,05 112,17 105,76 104,17

100,0096,50

102,33

114,79

121,40

126,46

96,50

106,05

112,17

105,76104,17

80

90

100

110

120

130

140

IAN FEB MAR APR MAI IUN

Bază fixă

Bază mobilă

Figura 6.1: Indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi bază mobilă (Exemplul 6.1)

6.3 Indici statistici compuşi

Indicii statistici compuşi reprezintă variaţia relativă medie a

fenomenului analizat şi se obţin prin combinarea informaţiilor referitoare la

variabilele economice de acelaşi tip, numite componente. Un indice statistic

compus se poate calcula numai dacă fiecărei componente i se atribuie un factor de

ponderare, care arată importanţa componentei respective.

În practică se utilizează două metode pentru determinarea indicilor

statistici compuşi:

Metoda indicelui medie ponderată;

Metoda indicelui agregat.


ECONOMICE

Considerăm un produs cu k componente jC , kj 1 , cu ponderile fiecărei

componente jw . Pentru perioada i, ni 0 , se cunosc pentru fiecare componentă

jC preţul ijp şi cantitatea ijq .

Indicele medie ponderată este dat de relaţia:

(%)100

1

1

k

j

j

k

j

jj

MP

w

Iw

I ,

unde jI este indicele relativ al componentei jC , iar jw sunt ponderile.

Exemplul 6.3: Se consideră un produs cu 4k componente pentru care sunt

cunoscute, în două momente sau perioade, cantităţile realizate precum şi

ponderile componentelor, reprezentate de consumurile specifice. Datele pentru

anii 2012 şi 2013 sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Componente Ponderi Producţie

jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900

2C 15 240 280

3C 30 1100 1200

4C 10 800 850

Să se determine indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei

indicelui medie ponderată.

Rezolvare: Calculăm mai întâi indicii relativi jI pentru fiecare

componentă jC , 41 j , respectiv jjj qqI 01 , şi apoi produsele jjIw . Valorile

sunt calculate în tabelul de mai jos, în care am introdus încă două coloane pentru

calculele necesare şi o linie pentru totalurile necesare:

Componente Ponderi Producţie jI jjIw

jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900 1,286 57,857

2C 15 240 280 1,167 17,500

3C 30 1100 1200 1,091 32,727

4C 20 800 850 1,063 21,250

Total 110 129,334

Atunci indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei indicelui

medie ponderată va fi:

117,6%(%)100110

129,3344

1

4

1

j

j

j

jj

q

w

Iw

IMP

.


Indicele agregat al preţurilor este dat de relaţia:

(%)100

1

0

1

k

j

jj

k

j

njj

p

pw

pw

IAG

,

unde njp este preţul componentei jC la momentul n, jp0 este preţul componentei

jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.

Indicele agregat al cantităţilor este dat de relaţia:

(%)100

1

0

1

k

j

jj

k

j

njj

q

qw

qw

IAG

,

unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, jq0 este cantitatea

din componenta jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.

Exemplul 6.4: Se consideră problema şi datele din Exemplul 6.3.

(a) Să se determine indicele agregat al cantităţilor;

(b) Să se compare rezultatul obţinut cu indicele medie ponderată obţinut în

exemplul anterior.

Rezolvare: (a) Valorile sunt calculate în tabelul de mai jos, în care am

introdus încă două coloane pentru calculele necesare în relaţia de mai sus şi o

linie pentru totalurile necesare:

Componente Ponderi Producţie

jjqw 0 jjqw 1 jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )

1C 45 700 900 31500 40500

2C 15 240 280 3600 4200

3C 30 1100 1200 33000 36000

4C 20 800 850 16000 17000

Total 84100 97700

Atunci indicele agregat al cantităţilor va fi:

116,2%(%)10084100

97700(%)100

4

1

0

4

1

1

j

jj

j

jj

q

qw

qw

IAG

.

(b) Am obţinut în Exemplul 6.3 indicele medie ponderată 117,6%q

MPI , în timp ce

indicele agregat al cantităţilor în Exemplul 6.4 este 116,2%q

AGI . Cele două

valori, calculate cu metode diferite, sunt suficient de apropiate, fapt generat de

corespondenţa dintre creşterile valorilor cantitative în anul 2013 pe componente.

Dacă diferenţele cantitative ar fi fost semnificative, atunci diferenţa dintre cei doi

indici compuşi ar fi fost mai mare.


ECONOMICE

Indicele Laspeyres reprezintă un caz particular al indicilor agregat, care

utilizează ponderile din momentul de bază pentru preţuri, respectiv cantităţi.

Indicele Laspeyres al preţurilor este dat de relaţia:

(%)100

1

00

1

0

k

j

jj

k

j

njj

p

pq

pq

IL

,

unde jq0 este cantitatea din componenta jC la momentul 0, njp este preţul la

momentul n, iar jp0 este preţul la momentul 0 al componentei jC .

Indicele Laspeyres al cantităţilor este dat de relaţia:

(%)100

1

00

1

0

k

j

jj

k

j

njj

q

qp

qp

IL

,

unde jp0 este preţul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la

momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .

Exemplul 6.5: Se consideră un produs cu 4k componente pentru care sunt

cunoscute, cantităţile realizate precum şi preţurile componentelor. Datele pentru

anii 2012 şi 2013 sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013

jC Preţ ( 0p ) Cantitate ( 0q ) Preţ ( 1p ) Cantitate ( 1q )

1C 40 700 60 900

2C 15 240 25 280

3C 50 1100 55 1200

4C 30 800 35 850

Să se determine indicele Laspeyres al cantităţilor;

Rezolvare: Valorile necesare sunt calculate în tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013 jjqp 00 jjqp 10

jC 0p 0q

1p 1q

1C 40 700 60 900 28000 36000

2C 15 240 25 280 3600 4200

3C 50 1100 55 1200 55000 60000

4C 30 800 35 850 24000 25500

Total 110600 125700

Atunci indicele Laspeyres al cantităţilor va fi:

113,7%(%)100110600

125700(%)100

4

1

00

4

1

10

j

jj

j

jj

q

qp

qp

IL

.


Indicele Paasche reprezintă un caz particular al indicilor agregat, care

utilizează ponderile din momentul actual pentru preţuri, respectiv cantităţi.

Indicele Paasche al preţurilor este dat de relaţia:

(%)100

1

0

1

k

j

jnj

k

j

njnj

p

pq

pq

IP

,

unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, njp este preţul la

momentul n, iar jp0 este preţul la momentul 0 al componentei jC .

Indicele Paasche al cantităţilor este dat de relaţia:

(%)100

1

0

1

k

j

jnj

k

j

njnj

q

qp

qp

IP

,

unde jp0 este preţul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la

momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .

Exemplul 6.6: Se consideră problema şi datele din Exemplul 6.5.

(a) Să se determine indicele Paasche al cantităţilor;

(b) Să se compare rezultatul obţinut cu indicele Laspeyres obţinut în

exemplul anterior.

Rezolvare: (a) Valorile necesare sunt calculate în tabelul de mai jos.

Componente 2012 2013 jjqp 01 jjqp 11

jC 0p 0q

1p 1q

1C 40 700 60 900 42000 54000

2C 15 240 25 280 6000 7000

3C 50 1100 55 1200 60500 66000

4C 30 800 35 850 28000 29750

Total 136500 156750

Atunci indicele Paasche al cantităţilor va fi:

114,8%(%)100136500

156750(%)100

4

1

01

4

1

11

j

jj

j

jj

q

qp

qp

IL

.

(b) Am obţinut în indicele Laspeyres al cantităţilor 113,7%q

LI , în timp ce

indicele Paasche al cantităţilor este 114,8%q

LI . Cele două valori, calculate cu

metode diferite, sunt suficient de apropiate. Observăm că în anul 2013 cantităţile

au crescut faţă de 2012, iar în acest caz indicele Laspeyres tinde să

supraevalueze creşterea cantităţilor, în timp ce indicele Paasche tinde să

subevalueze creşterea cantităţilor.


ECONOMICE

6.4 Indici statistici oficiali

Din categoria indicilor statistici oficiali vom discuta aici indicii cu cea mai

mare răspândire şi aplicabilitate la nivel naţional şi internaţional, dintre care

menţionăm2:

Indicele preţurilor de consum;

Indicele preţurilor producţiei industriale.

Indicele preţurilor de consum (IPC) măsoarã evoluţia de ansamblu a

preţurilor mărfurilor cumpărate şi a tarifelor serviciilor utilizate de către

populaţie într-o anumită perioadă (denumită perioadă curentă), faţă de o

perioadă anterioară (denumită perioadă de bază sau de referinţă). Indicele

preţurilor de consum se calculează numai pentru elementele care intră în

consumul direct al populaţiei, fiind excluse: consumul din resurse proprii,

cheltuielile cu caracter de investiţii şi acumulare, dobânzile plătite la credite,

ratele de asigurare, amenzile, impozitele etc., precum şi cheltuielile aferente

plăţii muncii pentru producţia agricolă a gospodăriilor individuale. Preţurile sunt

colectate din circa 7100 de unităţi aflate în 68 de centre de colectare selectate din

42 localităţi urbane, în funcţie de volumul vânzărilor şi de numărul populaţiei.

Pentru cele aproximativ 1700 de sortimente selectate în eşantionul de bunuri şi

servicii se înregistreazã periodic circa 94000 de preţuri. Indicele se calculeazã

prin agregarea indicilor individuali la nivel de post de cheltuieli, grupă

(alimentară, nealimentară şi servicii) şi total. Ponderile utilizate pentru

agregarea indicilor de preţ de consum sunt obþinute din cercetarea statistică a

bugetelor de familie şi rezultă din structura cheltuielilor medii lunare efectuate

de o gospodărie pentru cumpărarea bunurilor şi plata serviciilor necesare

satisfacerii nevoilor de trai. Ponderile se actualizează anual, luându-se în

considerare cea mai recentă estimare a cheltuielilor populaţiei.

109,0

106,6

104,8

107,9

105,6106,1106,1

103,8 103,9

109,2

103,3

102,3

111,3

108,5

105,0

106,4 106,2

109,8

110,5

108,2

106,6

108,6109,0

104,8

100

102

104

106

108

110

112

2005 2006 2007 2008 2009 2010

An

ul

pre

ce

de

nt

= 1

00

Indicii preţurilor de consum2005-2010

Total

Mărfuri

alimentareMărfuri

nealimentareServicii

Figura 6.2: Indicii preţurilor de consum în perioada 2005-2010

(Sursa: Anuarul Statistic al României 2012)

2 Anuarul Statistic al României 2012, Institutul Naţional de Statistică, 2013


Indicele preţurilor producţiei industriale (IPPI) măsoară evoluţia în

timp a preţurilor produselor industriale fabricate de producători interni, livrate

atât pe piaţa internă cât şi pe piaţa externă. Indicele preţurilor producţiei

industriale este calculat conform cerinţelor şi standardelor internaţionale cu

privire la statisticile pe termen scurt şi acoperă aproape în totalitate sectoarele

industriilor extractivă şi prelucrătoare, precum şi sectorul energetic. Preţurile

colectate sunt preţuri de producător, adică includ accizele şi alte impozite pe

produs, dar nu includ TVA. Preţurile sunt colectate de la aproximativ 2000 de

operatori economici, selectaţi în funcţie de cifra de afaceri raportată. Colectarea

se realizeazã o dată pe lună şi constă în înregistrarea preţurilor la nivel de

sortiment, considerat reprezentativ de către fiecare operator economic inclus în

eşantion. Indicele se calculează prin agregarea indicilor individuali la nivel de

produs/operator economic/clasă/diviziune şi total industrie. Ponderile utilizate

pentru calcul sunt stabilite separat pe destinaţii (piaţa internă sau piaţa

externă). Valorile de ponderare pentru toate nivelurile de agregare se determină

din Ancheta Statistică Anuală (structurală) în întreprinderi (ASA) realizată în

perioada aferentă anului de bază (2005).

În Figura 6.3 este prezentată dinamica evoluţiei preţurilor producţiei

industriale în perioada 2005-2010 (anul 2005=100), pentru indicele total, precum

şi pentru defalcarea acestuia pe două componente, respectiv piaţa internă şi

piaţa externă. Se observă o creştere mai accentuală a valorilor acestor trei indici

de apropape 40% începând cu anul 2008, anul în care a apărut actuala criză

economică. În anul 2010 se poate observa o creştere de peste 50% a indicelui

preţurilor producţiei industriale pentru piaţa externă.

100

109,7

118,0

136,0138,6

147,3

100

110,3

119,6

134,9137,8

145,8

100,0

108,0

113,7

139,1140,7

151,6

90

100

110

120

130

140

150

160

2005 2006 2007 2008 2009 2010

An

ul

20

05

= 1

00

Indicii preţurilor producţiei industriale 2005-2010

Total

Piaţa

internă

Piaţa

externă

Figura 6.3: Indicii preţurilor producţiei industriale în perioada 2005-2010

(Sursa: Anuarul Statistic al României 2012)

Principalele baze de date statistice elaborate de Institutul Naţional de

Statistică se referă la indicatori economici de dezvoltare durabilă în profit

naţional şi teritorial, indici de preţuri, precum şi o serie de 22 de indicatori

economici şi sociali, actualizaţi anual prin Anuarul Statistic al României, cât

şi periodic prin buletine statistice pe domenii de specialitate, cât şi alte publicaţii.


ECONOMICE

6.5 Alţi indici statistici

6.5.1 Indicele de concentrare

Problema măsurării fenomenului de concentrare a fost formulată de

statisticianul Corrado Gini, în 1912, în legătură cu analiza distribuţiei

veniturilor unei populaţii. Măsurarea concentrării este aplicată pentru:

analiza concentrării întreprinderilor în scopul stabilirii dimensiunilor

acestora, în raport cu cifra de afaceri, valoarea producţiei şi numărul

angajaţilor;

evidenţierea inegalităţilor dintre repartiţiile de structură, după o variabilă

dată, a indivizilor şi veniturilor unei societăţi;

caracterizarea structurii pieţelor, prin măsurarea diversificării.

Prin concentrare se exprimă aglomerarea unităţilor unei populaţii sau a

valorilor globale ale unei distribuţii in jurul unei valori, (de exemplu, a valorii

centrale) a caracteristicii de grupare. Aprecierea concentrării implică studierea

comparată a structurii efectivului unei populaţii şi a structuri valorice globale pe

aceleaşi variante de variaţie ale caracteristici de grupare. Concentrarea este

aplicată oricărui fenomen care posedă caracteristici susceptibile însumării.

Caracterizarea statistică a concentrării se poate realiza prin două categorii

de procedee:

procedee numerice (prin calcul);

procedee grafice.

Măsurarea gradului de concentrare prin procedee numerice constă în

calculul unor indicatori ai concentrării, cum ar fi abaterea medială-mediană sau

coeficienţi ai gradului de concentrare. Măsurarea concentrării pe cale grafică

constă în construirea curbei de concentrare – curba Lorenz – şi pe baza ei, aflarea

gradului de concentrare, prin determinarea unui coeficient – denumit indicele

Gini.

Procedeul grafic de caracterizare a concentrării a fost elaborat de italianul

Corrado Gini şi americanul Lorenz cu ocazia studierii disparităţii veniturilor.

Determinarea grafică a concentrării presupune construirea curbei de

concentrare (curba Lorenz-Gini), iar în legătură cu aceasta curbă se calculează

indicele de concentrare (indicele Gini).

Ca mijloc de apreciere a gradului de concentrare, curba Gini se bazează pe

faptul că prin reprezentarea grafică a concordanţei ponderilor cumulate ale

efectivelor unei colectivităţi cu ponderile cumulate ale valorilor globale ale unei

caracteristici de distribuţie se arată cât din valoarea globală a caracteristicii se

concentrează în primele două grupe, în primele trei grupe ş.a.m.d.

Curba de concentrare are numeroase aplicaţii în domeniul economic-social,

şi anume:

mijloc de apreciere a gradului de concentrare a unei distribuţii;

metoda de aproximare a valorilor centrale ale unei distribuţii şi a indicelui

de concentrare Gini;

metoda de depistare a tipurilor calitative dintr-o distribuţie;

mijloc de comparare calitativă a gradului de concentrare etc.


Curba de concentrare Lorenz se construieşte într-un pătrat cu latura 1

sau 100% (cunoscut sub numele de pătratul lui Gini), în care se reprezintă

coordonatele valorilor analizate (Figura 6.2). Suprafaţa definită de curba de

concentrare şi curba obţinută prin unirea punctelor reprezentate (curba lui

Lorenz) se numeşte suprafaţă de concentrare. Diagonala pătratului este de

fapt dreapta de repartiţie egală (echirepartiţie). Dacă curba se apropie de

diagonală atunci concentrarea variabilei este slabă (Figura 6.2a), iar dacă

curba se apropie de colţul pătratului, concentrarea este puternică (Figura

6.2b).

Figura 6.2: Pătratul lui Gini şi curba Lorenz

Indicele Gini sau coeficientul abaterii Gini (G) se calculează ca raport

între suprafaţa de concentrare, notată cu A în şi aria de sub curba Lorenz, notată

cu B în Figura 1:

BA

AG

.

Ţinând cont că avem aria triunghiului de concentrare este 2

1

2

11

S

avem:

BGBGAGA

GBA 212

122

212

1

.

Vom determina curba de concentrare şi indicele Gini pentru date grupate cu

ajutorul histogramei frecvenţei relative, aplicând următorul algoritm:

[P1] Determinăm intervalele de clasă jlc , j=1, 2,..., nc şi lungimea intervalului

de clasă lc:

lc = lcj+1 – lcj.

[P2] Determinăm mijloacele intervalelor de clasă jm ,

2

1

jj

j

lclcm .

[P3] Determinăm frecvenţa absolută jfa , frecvenţa relativă jfr şi apoi:

Frecvenţa absolută cumulată jfac , j= 1,....,nc

jjj fafacfac 1

Frecvenţa relativă cumulată jfrc ,

jjj frfrcjfrc 1

a. concentrare slabă b. concentrare puternică

A A

B B


ECONOMICE

[P4] Determinăm ponderile jp ,

jjj famp

Ponderile cumulate jpc ,

jjj pcpcpc 1

Ponderile cumulate relative jpcr ,

nc

j

jjj pc/pcpcr1

[P5] În pătratul Gini cu latura 1, reprezentăm prima bisectoare şi apoi punctele

de coordonate:

O( 0, 0)

P1 11 frc;pcr

P2 22 frc;pcr

........................

Pj jj frc;pcr

.......................

Pnc ncnc frc;pcr

P (1, 1)

Unim punctele cu o linie continuă şi obţinem curba concentrării (Lorenz).

[P6] Calculăm suma ariilor trapezelor de sub curba de concentrare cu relaţia:

21

1

/]fr)prcpcr[(B jjj

nc

j

[P7] Calculăm indicele concentrării (Gini) G cu relaţia:

BG 21 .

Pentru aplicarea algoritmului în programele de calcul tabelar, propunem

următoarea organizare a datelor:

1. În Tabelul 6.1 sunt determinate valorile pentru paşii [P1] – [P4];

2. În Tabelul 6.2 sunt determinate valorile pentru paşii [P4] – [P7] ai

algoritmului.

Tabelul 6.1: Paşii [P1] – [P4] ai algoritmului

Clase Intervale de

clasă

Mijloacele

intervalelor

de clasă

Frecvenţa

absolută

Frecvenţa

absolută

cumulată

Frecvenţa

relativă

Frecvenţa

relativă

cumulată

j jlc -

1jlc jm jfa

jfac jfr

jfrc

1 21 lcxlc i

2

211

lclcm

1fa

11 fafac

n

fafr 1

1 11 frfrc

2 32 lcxlc i

2

322

lclcm

2fa

212 fafacfac

n

fafr 2

2 212 frfrcfrc

... ... ... ... ... ... ...

k 1 kik lcxlc

2

1 kk

j

lclcm kfa

kkk fafacfac 1

n

fafr k

k kkk frfrcfrc

... ... ... ... ... ... ...

nc 1 ncinc lcxlc

2

1 ncnc

nc

lclcm ncfa

ncncnc fafacfac 1

n

fafr nc

nc 1 ncncnc frfrcfrc


Tabelul 6.2: Paşii [P4] – [P7] ai algoritmului

Clase Ponderi Ponderi

cumulate

Ponderi

cumulate

relative

Aria

j jjj famp jpc

jpcr 21 /]fr)pcrpcr[(B jjjj

1 111 famp 11 ppc

jpc

pcpcr 1

1

2111 /]fr)pcr[(B

2 222 famp 212 ppcpc

jpc

pcpcr 2

2

22122 /]fr)pcrpcr[(B

... ... ... ... ...

k kkk fampc kkk ppcpc 1

jpc

pcpcr 3

3

21 /]fr)pcrpcr[(B kkkk

... ... ... ... ...

nc ncncnc fampc 11 ncncnc ppcpc

j

ncnc

pc

pcpcr

211 /]fr)pcrpcr[(B ncncnc

Exemplul 6.7: Se consideră datele grupate din tabelul de mai jos.

Clase Intervale de clasă Frecvenţa

absolută

j jlc 1jlc

jfa

1 100 300 50

2 300 500 25

3 500 700 75

4 700 900 25

(a) Să se aplice algoritmul descris anterior pentru determinarea curbei

Lorenz şi a indicelui Gini;

(b) Să se reprezinte grafic curba Lorenz.

Rezolvare: (a) Pentru aplicarea algoritmului, calulăm mijloacele intervalelor de

clasă şi frecvenţele cumulate corespunzătoare. Rezultatele sunt redate din

tabelul de mai jos:

Clase Intervale

de clasă

Mijloacele

intervalelor

de clasă

Frecvenţa

absolută

Frecvenţa

absolută

cumulată

Frecvenţa

relativă

Frecvenţa

relativă

cumulată

j jlc 1jlc

jm jfa

jfac jfr

jfrc

1 100 300 200 50 50 0,2857 0,2857

2 300 500 400 25 75 0,1429 0,4286

3 500 700 600 75 150 0,4286 0,8571

4 700 900 800 25 175 0,1429 1,0000

2000 175 - 1,0000 -

În continuare determinăm ponderile şi ariile, rezultatele fiind calculate în

tabelul următor:

Ponderi Ponderi

cumulate

Ponderi cumulate

relative

Aria

trapezului

jp jpc

jpcr jB

10000 10000 0,1176 0,0168

10000 20000 0,2353 0,0252

45000 65000 0,7647 0,2143

20000 85000 1,0000 0,1261

85000 - - 0,3824


ECONOMICE

Indicele Gini rezultat este de:

G =1 – 2 ∙ 0,3824 = 0,2353,

deci o concentrare relativ redusă pentru datele analizate.

(b) Curba Lorenz este reprezentată în Figura 6.3.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

pcr

j

frcj

Figura 6.3: Curba Lorenz (Exemplul 6.6)

6.5.2 Indicii de capabilitate

Indicii de capabilitate se numără printre metodele statistice de

monitorizare a calităţii proceselor de fabricaţie. Obiectivul principal al acestor

metode îl constituie cuantificarea variabilităţii procesului, prin analiza şi

monitorizarea dinamicii acestuia în legătură cu cerinţele de performanţă

specificate pentru procesul respectiv, în scopul eliminării sau reducerii

variabilităţii.

Monitorizarea performanţei unui proces de fabricaţie se realizează cu

ajutorul unor metrici de performanţă, metrici ce cuantifică capabilitatea

procesului, respectiv măsura în care acesta îşi atinge performanţele specificate

în ceea ce priveşte, pe de o parte, nivelul de variaţie, iar pe de altă parte,

tendinţa sa centrală.

Monitorizarea performanţelor proceselor de fabricaţie se referă în principal

la uniformitatea acestora. În mod evident, variabilitatea unui proces este o

măsură a uniformităţii sau ieşirilor din proces, reprezentate de caracteristicile de

calitate corespunzătoare proceselor monitorizate.

Realizând analiza procesului, în conexiune cu evoluţia şi stabilitatea sa

statistică, determinată cu metoda fişelor de control, va trebui să evaluăm în

performanţa procesului care este în control şi să o comparăm cu un anumit nivel

specificat de performanţă. În acest scop vom defini principalele metrici de

performanţă a unui proces de fabricaţie modelat de distribuţia normală.

Să considerăm acum intervalul de toleranţă specificat, notat ITS,

respectiv intervalul de toleranţă în care trebuie să se încadreze valorile N , ixi

ale variabilei aleatoare X, generată de proces.


INT

ITSLSSLSI

LNI LNS

ITS va fi determinat de intervalul închis LSS,LSI , unde LSI este limita

specificată inferioară şi LSS limita specificată superioară. Este evident că

ITS se poate calcula numai atunci când toleranţa specificată este bilaterală.

Rezultă:

LSILSSITS .

Performanţa statistică a procesului este dată de variabilitatea sa inerentă

atunci când procesul este în stare de stabilitate statistică. Atunci intervalul

natural de toleranţă, notat INT, va fi o măsură pentru împrăştierea

procesului.

În scopul evaluării INT, fie şi estimaţiile pentru media şi, respectiv,

pentru abaterea standard ale procesului modelat de distribuţia )( ,xFX .

Intervalul natural de toleranţă va fi determinat de intervalul închis LNS,LNI ,

unde:

ˆˆLNI 3 ,

este limita naturală inferioară şi:

ˆˆLNS 3 ,

este limita naturală superioară a împrăştierii procesului.

Putem acum obţine imediat intervalul natural de toleranţă:

LNILNSINT 6 .

Intervalul natural de toleranţă este o primă metrică a nivelului de

performanţă procesului. Acesta cuprinde cea mai mare parte a populaţiei

statistice reprezentate de procesul analizat şi monitorizat (99,73% în cazul

distribuţiei normale, de exemplu), cuantificând variabilitatea inerentă a acestuia.

În Figura 6.4 sunt reprezentate intervalul de toleranţă specificat ITS şi

intervalul natural de toleranţă INT, care sunt utilizate pentru monitorizarea

performanţelor unui proces.

Figura 6.4: Intervalele ITS şi INT

Metricele cu ajutorul cărora se estimează şi se monitorizează performanţele

unui proces sunt reprezentate de indicii de capabilitate.


ECONOMICE

Fie X variabila aleatoare pentru un proces tehnologic ce generează o

caracteristică de calitate cu limitele de toleranţă specificate LSI şi LSS şi fie şi

valorile estimate pentru media şi abaterea standard ale procesului respectiv.

Utilizând notaţiile de mai sus definim indicele de potenţial al

procesului (Cp) ca fiind:

ˆ

d

ˆ

LSILSS

INT

ITSCp

36

,

unde distanţa d este jumătate din intervalul de toleranţă specificat, adică:

22

LSILSSITSd

.

Din relaţiile de mai sus rezultă că indicele de potenţial pC este o metrică ce

cuantifică variaţia procesului, fiind deci o măsură a variabilităţii sau împrăştierii

sale raportată la toleranţa specificată, aşa cum se observă şi din Figura 6.4.

Indicele de potenţial pC este până la urmă o măsură a capacităţii procesului de a

genera unităţi de produs care să se încadreze într-o zonă cât mai mică a

intervalului de toleranţă specificat.

Dar indicele de potenţial pC nu ia în considerare localizarea mediei

procesului faţă de limitele de toleranţă specificate, fiind o măsură numai a

variaţiei, deci a împrăştierii procesului, respectiv o variabilă dependentă numai

de abaterea standard a procesului. Pentru a evalua tendinţa centrală a

procesului, respectiv localizarea mediei acestuia faţă de limitele de toleranţă

specificate, vom utiliza indicele de capabilitate.

Indicele de capabilitate a procesului, pkC , cuantifică tendinţa centrală

a procesului, şi poate fi calculat astfel:

}, {suppkinfpkpk C,CminC

unde:

ˆ

d

ˆ

ˆLSIC

infpk33

1

,

ˆ

d

ˆ

ˆLSSC

suppk33

2

,

În relaţiile de mai sus, LSId 1 şi LSSd 2 reprezintă distanţele de

la media procesului la limitele de toleranţă specificate. Avem )( ˆ,ˆCC pkpk

deoarece indicele de capabilitate pkC depinde atât de media procesului cât şi de

abaterea standard. Relaţia dintre cei doi indici de performanţă este:

ppk CkC 1 ,

unde, considerând m ca fiind mijlocul intervalului de toleranţă specificat avem:

2

LSSLSIm

,

iar valoarea lui k rezultă din:

LSILSS

mk

2.


De asemenea, indicele de capabilitate pkC poate fi scris sub forma:

ˆ

ˆmd

ˆ

d,dminCpk

33

21 .

Din relaţia de mai sus, rezultă de asemenea că ppk CC . Într-adevăr, dacă

m , atunci avem 1k şi ppk CC , iar dacă m , atunci avem 1k şi

ppk CC . Aceasta înseamnă, de fapt, că pentru un proces perfect centrat, cu

media procesului egală cu mijlocul ITS, indicele de potenţial şi indicele

de capabilitate sunt egali.

Dacă specificarea toleranţei este bilaterală, atunci pentru o specificare cu

limită inferioară LSI avem:

ˆ

d

ˆ

ˆLSICC

infpkp33

1

,

iar pentru o specificare cu limită superioară LSS avem:

ˆ

d

ˆ

ˆLSSCC

suppkp33

2

.

Tot în legătură cu performanţele calitative ale unui proces de fabricaţie,

definim fracţiunea defectivă, ca fiind estimarea, cu ajutorul distribuţiei

normale, a proporţiei de produse defective, respectiv a produselor cu

caracteristici de calitate situate în afara limitelor de toleranţă specificate.

Fracţiunea defectivă inferioară, notată infp , este proporţia de unităţi de

produs mai mici decât limita de toleranţă specificată inferioară, LSI, respectiv:

dxˆ,ˆ,xNLSIxpLSI

iinf Prob .

Fracţiunea defectivă superioară, notată supp , este proporţia de unităţi

de produs mai mari decât limita de toleranţă specificată superioară, LSS,

respectiv:

dxˆ,ˆ,xNLSSxLSSxpLSS

iisup 1Prob1Prob .

Fracţiunea defectivă totală este este proporţia de unităţi de produs mai

mici decât limita de toleranţă specificată inferioară, LSI, plus proporţia de

unităţi de produs mai mari decât limita de toleranţă specificată superioară, LSS,

respectiv:

totp = infp + supp .

Pentru determinarea fracţiunii defective vom utiliza funcţia statistică din

Excel NORMDIST().

Exemplul 6.8: Se consideră caracteristica de calitate „Diametru exterior” cu

limitele de toleranţă specificate 20 0,025 mm, pentru care a fost măsurat un

eşantion de 25 de valori, datele fiind înregistrate în aplicaţia 2.5. În Aplicaţia 3.1

a fost calculată media 9968,19x , iar în Aplicaţia 3.2 a fost calculată abaterea

standard 0,0215484s . Să se determine:

(a) Indicii de capabilitate;

(b) Fracţiunea defectivă.


ECONOMICE

Rezolvare: (a) Pentru eşantionul de 25n de valori, avem limitele de toleranţă

specificate 975,19025,020 LSI mm şi 025,20025,020 LSS . Valorile

estimate pentru medie şi abaterea standard sunt 9968,19ˆ x şi respectiv

0,0215484ˆ s .

Atunci pentru intervalul de toleranţă specificat, avem:

.05,0975,19025,20 LSILSSITS

Limitele naturale de toleranţă sunt respectiv:

19,9321550,021548439968,19ˆ3ˆ LNI ,

20,0614450,021548439968,19ˆ3ˆ LNS ,

iar intervalul natural de toleranţă:

0,129290,02154846ˆ6 LNILNSINT .

Atunci indicele de potenţial al procesului (Cp) este:

0,38670,12929

05,0ˆ INT

ITSCp .

Pentru indicele de capabilitate a procesului, pkC , avem mai întâi:

0,33720,02154843

9968,19975,19

ˆ3

ˆˆinf

LSICpk ,

0,43620,02154843

9968,19975,19

ˆ3

ˆˆsup

LSSCpk ,

şi obţinem:

0,33720,4362 0,3372;min}ˆ ,ˆ {minˆsupinf

pkpkpk CCC .

Se obsevă că indicelel de potenţial 0,3867ˆ pC şi indicele de capabilitate

0,3372ˆ pkC înregistrează valori necorespunzătoare.

(b) Pentru fracţiunea defectivă avem:

Fracţiunea defectivă inferioară:

975,19ProbProbˆinf ii xLSIxp

= NORMDIST(19,975; 9968,19 ; 0,0215484; 1) = 0,1558.

Fracţiunea defectivă superioară:

025,20Prob1025,20ProbProbˆsup iii xxLSSxp

= 1 – NORMDIST(20,025; 9968,19 ; 0,0215484; 1) =.

Fracţiunea defectivă totală:

totp = infp + supp = 0,1558 + 0,0953 = 0,2512.

Rezultă deci că circa 25% din unităţile de produs generate de acest proces de

fabricaţie vor fi defective, respectiv se vor situa în afara limitelor de toleranţă

specificate.


6.6 Bibliografie selectivă

1. Anderson, David, Dennis Sweeney, și Thomas Williams. Statistics for Business and

Economics. Mason: South-Western Cengage Learning, 2011.

2. Bârsan-Pipu, Nicolae. Modele pentru controlul şi reglajul statistic al proceselor –

Teză de doctorat. Braşov: Universitatea „Transilvania”, 2000.

3. Berenson, Mark, David Levine, și Timothy Krehbiel. Basic Business Statistics:

Concepts and Applications. Boston: Prentice Hall, 2012.

4. Biji, Mircea, Biji, Elena Maria, Lilea, Eugenia, şi Anghelache, Constantin. Tratat de

statistică. Bucureşti: Editura Economică, 2002.

5. Francis, Andy. Statistică matematică pentru managementul afacerilor. Bucureşti:

Editura Tehnică, 2004.

6. Isaic-Maniu, Alexandru, Mitruţ Constantin, şi Voineagu, Vergil. Statistica pentru

managementul afacerilor. Bucureşti: Editura Economică, 1999.

7. Jaba, Elisabeta. Statistica. Bucureşti: Editura Economică, 2002.

8. Keller, Gerald. Statistics for Management and Economics. Mason: South-Western

Cengage Learning, 2012.

9. Mendenhall, William, şi Sincich, Terry. Statistics for the Engineering and Computer

Sciences. Santa Clara: Dellen Publishing, 1984.

10. Mihoc, Gheorghe, şi Urseanu, V. Matematici aplicate în statistică. Bucureşti: Editura

Academiei, 1962.

11. Moore, David, William Notz, și Michael Fligner. The Basic Practice of Statistics. New

York: W. H. Freeman and Company, 2013.

12. Newbold, Paul, Carlson, William, şi Thorne, Betty. Statistics for Business and

Economics. New Jersey: Pearson Education, 2007.

13. Ott, Lyman, și Michael Longnecker. An introduction to statistical methods and data

analysis. Pacific Grove: Duxbury, 2001.

14. Ross, Sheldon. Introductory Statistics. Burlington: Elsevier, 2010.

15. Turdean, Marinella Sabina. Statistică. Bucureşti: Editura Pro Universitaria, 2009.

16. Vodă, Viorel Gh. Gândirea statistică - un mod de gândire al viitorului. Bucureşti:

Editura Albatros, 1977.

17. Waller, Derek. Statistics for Business. Burlington: Butterworth-Heinemann, 2008.

18. Institutul Naţional de Statistică. Anuarul Statistic al României 2012. Bucureşti:

2013.

1 CONCEPTE DE BAZĂ - universitatea-cantemir.ro 6 - INDICI...Analiza principalelor categorii de...

Documents

Transcript of 1 CONCEPTE DE BAZĂ - universitatea-cantemir.ro 6 - INDICI...Analiza principalelor categorii de...