1/13

Obiectul de studiu al domeniului

Identificrii Sistemelor (IS)ObiectulObiectul de de studiustudiu al al domeniuluidomeniului

IdentificriiIdentificrii SistemelorSistemelor ((ISIS))

nn IntroducereIntroducereModelarea proceselor/sistemelor dinamice folosind date experimentale achiziionate n cursul exploatrii acestora.

MModelareaodelarea proceselor/sistemelor dinamice proceselor/sistemelor dinamice folosind folosind date experimentaledate experimentale achiziachiziionate ionate n n cursul exploatrii acestoracursul exploatrii acestora..

ModelareModelare??

Termen care se refer la construcia i determinarea unui model matematicasociat unei entiti evolutive/dinamice cu structur necunoscut.TermenTermen care se care se referrefer la la construciaconstrucia ii determinareadeterminarea unuiunui model model matematicmatematicasociatasociat uneiunei entitentitii evolutive/dinamiceevolutive/dinamice cu cu structurstructur necunoscutnecunoscut..

PracticPractic, , entitateaentitatea esteeste vzutvzut ca o ca o cutie cutie neagrneagr capabilcapabil ss ofereofere informaiiinformaii despredespremecanismelemecanismele care care determindetermin evoluia/dinamicaevoluia/dinamica acesteiaacesteia, , dacdac esteeste stimulatstimulat corespunztorcorespunztor..

IeIeireire((reacreacieie))

IntrareIntrare((stimulstimul))

CutieneagrCutieCutieneagrneagr

Model matematicModel matematicModel matematic

Date

Date de de

intrareintrare

Date

Date de de

ieie ireire

Model?Model?

Relaie matematic abstract care descrie cu o anumit acuratee caracteristicile i/sau dinamica/funcionarea unei entiti (cutii negre).

RRelaelaie matematic abstractie matematic abstract care descrie cu o care descrie cu o anumit acurateanumit acuratee caracteristicile e caracteristicile i/sau i/sau dinamica/funcdinamica/funcionareaionarea unei entit unei entitii ((cutiicutii negrenegre).).

Model de identificareModel de Model de identificareidentificare

ModelulModelul de de identificareidentificare constituieconstituie un un felfel de de carte de carte de identitateidentitate a a entitentitiiii studiatestudiate. .

AcestaAcesta reflect reflect relarelaiaia dintre dintre intrareaintrarea care stimuleaz entitate care stimuleaz entitate ((de de regulregul unun procesproces sausau unun sistemsistem) ) i i ieieirea irea care codific reaccare codific reacia corespunztoare a acelei entitia corespunztoare a acelei entitii. .

ConstrucConstruciaia modelelor de identificare se bazeaz pe modelelor de identificare se bazeaz pe datele experimentaledatele experimentale furnizate de ctre cutia neagrfurnizate de ctre cutia neagr. . 44

2/13

IdentificareIdentificare analiticanalitic IdentificareIdentificare experimentalexperimental

nn IntroducereIntroducere

IS este un domeniu cu deschidere ctre abordri interdisciplinareIS IS esteeste un un domeniudomeniu cu cu deschideredeschidere ctrectre abordriabordri interdisciplinareinterdisciplinare

Se uSe utiliztilizeazeaz llegile fizicoegile fizico--chimicechimice de la de la baza baza dinamiciidinamicii proceselorproceselor (ecua(ecuaii de ii de bilanbilan de mas de mas/energie, ecua/energie, ecuaii ii de de echilibruechilibru static static i/saui/sau dinamic, etc.)dinamic, etc.) . .

Aplicaii uzuale de identificareAplicaAplicaiiii uzualeuzuale de de identificareidentificare recunoatererecunoatere de de formeforme

simularesimulare, , n vederea evidenn vederea evidenierii caracteristicilor ierii caracteristicilor principale principale i/sau a comportamentului i/sau a comportamentului n diverse situan diverse situaiiii

prelucrriprelucrri de de semnalesemnale predicie/prognozpredicie/prognoz diagnozdiagnoz de de defectedefecte proiectareproiectare de de sistemesisteme automate de automate de conducereconducere sausau reglarereglare

Tipuri de identificareTipuriTipuri de de identificareidentificare

ObiectivObiectiv ObiectivObiectiv

Determinarea parametrilor fizici ai proceselor.DDeterminarea eterminarea parametrilor fizici parametrilor fizici ai procesai proceselorelor..

Determinarea unor parametri fr semnificaii fizice, care descriucomportamentul procesului n jurul unui anumit punct de funcionare.

DDeterminarea eterminarea unor unor parametri fr parametri fr semnificasemnificaii fiziceii fizice, , carecare descridescriuucomportamentul procesului comportamentul procesului n jurul n jurul unui anumit punct de funcunui anumit punct de funcionareionare..

Model analiticModel Model analiticanalitic

Model experimental

Model Model experimentalexperimental

Obiectivul cursuluiObiectivulObiectivul cursuluicursuluiO referireO O referirereferire

55

3/13

coalacoalaromneascromneasc

CongreseleCongresele IFACIFAC

coalacoalaasiaticasiatic

nn IntroducereIntroduceregeneralitate generalitate i validitate limitat la anumite clase de procesei validitate limitat la anumite clase de procese, semnale de stimul , semnale de stimul sausau la anumite puncte de funcla anumite puncte de funcionare ale aceluiaionare ale aceluiai procei proces;s;

Caracteristici ale modelelor de identificare experimentalCaracteristiciCaracteristici ale ale modelelormodelelor de de identificareidentificare experimentalexperimental

interpretare fizic dificilinterpretare fizic dificil;;

//

//n majoritatea cazurilor, parametrii nu au semnifican majoritatea cazurilor, parametrii nu au semnificaii fizice clare; ii fizice clare; parametrii sunt utilizaparametrii sunt utilizai ca instrumente menite s ui ca instrumente menite s uureze descrierea funcureze descrierea funcionrii pocesuluiionrii pocesului;;

determinarea lor este adesea realizabil prin determinarea lor este adesea realizabil prin metode algoritmicemetode algoritmice, , ceea ce le confer ceea ce le confer eficieneficien i i simplitatesimplitate. .

Scurt istoric al dezvoltrii domeniului ISScurtScurt istoricistoric al al dezvoltriidezvoltrii domeniuluidomeniului ISIS

ISIS a a aprutaprut ii ss--a a dezvoltatdezvoltat aproximativaproximativ odatodat cu cu AutomaticaAutomatica, , pepe fondulfondul aplicaaplicaiiloriilor de control automatde control automat. . PerioadaPerioada ceacea maimai prolificprolific: : aniianii 7070--8080..

coalacoalasuedezsuedez

ISIS

) K.J. strm)) K.J. K.J. strstrmm) P. Eykhoff)) P. EykhoffP. Eykhoff) T. Sderstrm)) T. ST. Sderstrderstrmm) L. Ljung)) LL. . LjungLjung

) A.R. Rao)) A.R. RaoA.R. Rao) R.L. Kashyap)) R.L. KashyapR.L. Kashyap) H. Akaike)) HH. . AkaikeAkaike

) Praga (1967, 1970))) Praga Praga (1967, 1970)(1967, 1970)) Haga (1973))) HagaHaga (197(19733))) Tbilisi (1976))) TbilisiTbilisi (197(19766))) Darmstadt (1979))) DarmstadtDarmstadt (197(19799)))Washington DC (1982))) Washington DCWashington DC (19(198282))

) C. Penescu)) CC. . PenescuPenescu) M. Tertico)) MM. . TertiTerticoco) P. Stoica)) PP. S. Stoicatoica

Unul dintre fondatorii Facultii de Automatic i Calculatoare din Bucureti (1967)UnulUnul dintredintre fondatoriifondatorii FacultFacultiiii de de AutomaticAutomatic ii CalculatoareCalculatoare din din BucureBucuretiti (1967)(1967) 66

4/13

ParametriceParametriceNeparametriceNeparametriceModele (matematice) de identificareModeleModele ((matematicematematice) de ) de identificareidentificare

nn IntroducereIntroducereCoordonatele domeniului ISCoordonateleCoordonatele domeniuluidomeniului ISIS

DescrieriDescrieri calitativecalitative ((analizeanalize) ) preliminarepreliminare ale ale proceselorproceselor..

Semnale de stimulSemnaleSemnale de de stimulstimul

Date Date statisticestatistice referitoarereferitoare la la evoluevoluia/dinamicaia/dinamica proceselorproceselor ..

ConceptulConceptul central: central: parametrulparametrul..

4 4 tipuritipuri de de analizeanalize ((nn timptimp ii nn frecvenfrecven).).

OrganizateOrganizate nn claseclase ((ARMAXARMAX, , RSISORSISO, , cu cu reprezentarereprezentare pepe starestare, etc.)., etc.).

ConceptulConceptul central: central: persistenpersistenaa..

SemnalulSemnalul ideal: ideal: zgomotulzgomotul albalb..

SemnalulSemnalul practicpractic: : pseudopseudo--aleatoraleator((binarbinar))..

BazateBazate pepe TeoriaTeoria EstimaEstimaieiiei ((TETE))BazateBazate pepe TeoriaTeoria OptimizrilorOptimizrilor ((TOTO))

C

o

o

r

d

o

n

a

t

a

C

o

o

r

d

o

n

a

t

a

f

u

n

d

a

m

e

n

t

a

l

f

u

n

d

a

m

e

n

t

a

l

NuNu permit permit analizaanaliza consistenconsisteneiei((convergenconvergeneiei statisticestatistice).).

//

Se pot Se pot finalizafinaliza prinprin algoritmialgoritmi implementabiliimplementabilipepe un un mijlocmijloc automat de automat de calculcalcul..

Permit Permit analizaanaliza convergenconvergeneiei. .

Au Au caractercaracter maimai multmult teoreticteoretic, , fiindfiindrareorirareori implementabileimplementabile pepe un un mijlocmijlocautomat de automat de calculcalcul..

//

NuNu permit permit analizaanaliza convergenconvergeneiei..// Permit Permit analizaanaliza consistenconsisteneiei

((convergenconvergeneiei statisticestatistice). ). ISIS

Metode de identificareMetodeMetode de de identificareidentificare

MetodaMetoda principalprincipal: : MetodaMetoda CelorCelor Mai Mai MiciMici PtratePtrate((MCMMPMCMMP))..

Metode de identificareMetodeMetode de de identificareidentificare* La intersecie.** La La intersecieintersecie..

77

5/13

* Datele msurate sunt afectate de zgomote de msuri interferene.

** DateleDatele msuratemsurate suntsunt afectateafectate de de zgomotezgomote de de msurmsurii interfereneinterferene..

nn IntroducereIntroducereProbleme practice de identificare [z{{]ProblemeProbleme practice de practice de identificareidentificare [[z{{z{{]]

* Selectarea mrimilor care trebuie i pot fi msurate.** SelectareaSelectarea mrimilormrimilor care care trebuietrebuie ii pot pot fifi msuratemsurate.. PrincipalulPrincipalul inconvenient: inconvenient: mrimilemrimile care care

trebuietrebuie msuratemsurate nunu suntsunt direct direct accesibileaccesibilepentrupentru amplasareaamplasarea senzorilorsenzorilor corespunztoricorespunztori..

Msurtorile trebuie efectuate indirect, prinamplasarea senzorilor n locul accesibil celmai apropiat de zona ce trebuie identificat.

MsurtorileMsurtorile trebuietrebuie efectuateefectuate indirectindirect, , prinprinamplasareaamplasarea senzorilorsenzorilor nn locullocul accesibilaccesibil celcelmaimai apropiatapropiat de de zonazona cece trebuietrebuie identificatidentificat..

yyVibraVibraieie msuratmsurat

tt00

VibraVibraieie idealideal

RulmentRulmentinaccesibilinaccesibil

S

e

n

z

o

r

S

e

n

z

o

r

n absena unor tehnici de deparazitare a datelor (atenuare a zgomotelor i interferenelor), modelul de identificare rezultat este adesea inadecvat.nn absenaabsena unorunor tehnicitehnici de de deparazitaredeparazitare a a datelordatelor ((atenuareatenuare a a zgomotelorzgomotelor ii interferenelorinterferenelor), ), modelulmodelul de de identificareidentificare rezultatrezultat esteeste adeseaadesea inadecvatinadecvat..

88

6/13nn IntroducereIntroducereProbleme practice de identificare [zz{]ProblemeProbleme practice de practice de identificareidentificare [[zz{zz{]]

* Achiziia i prelucrarea primar a datelor.** AchiziiaAchiziia ii prelucrareaprelucrarea primarprimar a a datelordatelor.. Procesele identificabileProcesele identificabile se caracterizeaz prin seturi de date achizi se caracterizeaz prin seturi de date achiziionate pentru care ionate pentru care

raportul semnalraportul semnal--zgomotzgomot ((SNRSNR SignalSignal--toto--Noise RatioNoise Ratio) ) are valori rezonabil de mariare valori rezonabil de mari..

* Zgomotele de msur nu trebuie s domine datele utile.** ZgomoteleZgomotele de de msurmsur nunu trebuietrebuie ss dominedomine dateledatele utile.utile. Cu Cu cctt zgomotelezgomotele suntsunt maimai importanteimportante, cu , cu atattt procesulprocesul esteeste maimai pupuinin identificabilidentificabil. .

Proces pentru care este posibil construcia ideterminarea unui model matematic adecvat/validfolosind tehnici de (modelare i) identificare.

ProcesProces pentrupentru care care esteeste posibilposibil construciaconstrucia iideterminareadeterminarea unuiunui model model matematicmatematic adecvatadecvat/valid/validfolosindfolosind tehnicitehnici de (de (modelaremodelare ii) ) identificareidentificare..

ProcesProces identificabilidentificabil??

nn sensulsensul unorunor criteriicriterii de de adecvanadecvan/validitate/validitate prestabiliteprestabilite MrireaMrirea SNRSNR se se poatepoate realizarealiza prinprin prelucrriprelucrri primareprimare ale ale datelordatelor

((efectuateefectuate nainteanaintea introduceriiintroducerii lorlor ntrntr--oo procedurprocedur de de identificareidentificare). ).

OperaOperaiaia fundamentalfundamental: : filtrareafiltrarea. Se . Se efectueazefectueaz cu cu ajutorulajutorul filtrelorfiltrelor. .

Sistem dinamic avnd proprietateade a modifica semnalul de intrare/stimul n ceea ce privetecaracteristicile sale n frecven.

SistemSistem dinamicdinamic avndavnd proprietateaproprietateade a de a modificamodifica semnalulsemnalul de de intrare/stimulintrare/stimul nn ceeaceea cece priveteprivetecaracteristicilecaracteristicile sale sale nn frecvenfrecven..

CeCe esteeste un un filtrufiltru??

FiltruFiltru ((trecetrece--josjos))

Huu yyDate Date

brutebruteDate Date

filtratefiltrate

* Zgomotele de frecvennalt sunt atenuate.

** ZgomoteleZgomotele de de frecvenfrecvennaltnalt suntsunt atenuateatenuate. .

* Filtrul nu trebuie s introduc altedistorsiuni importante n date.

** FiltrulFiltrul nunu trebuietrebuie ss introducintroduc altealtedistorsiunidistorsiuni importanteimportante nn date. date. 99

7/13nn IntroducereIntroducereProbleme practice de identificare [zzz]ProblemeProbleme practice de practice de identificareidentificare [[zzzzzz]]

* Selectarea unui model de proces adecvat.** SelectareaSelectarea unuiunui model de model de procesproces adecvatadecvat.. ModeleleModelele de de identificareidentificare uzualeuzuale suntsunt liniareliniare. . ProceseleProcesele uzualeuzuale suntsunt neliniareneliniare. .

Identificarea proceselor cu un pronunat caracter neliniar folosind modele liniareeste inadecvat.IdentificareaIdentificarea proceselorproceselor cu un cu un pronunatpronunat caractercaracter neliniarneliniar folosindfolosind modelemodele liniareliniareesteeste inadecvatinadecvat..

CeCe esteeste se se poatepoate face?face? DacDac neliniaritneliniaritileile pot pot fifi caracterizatecaracterizate printrprintr--un formalism un formalism matematicmatematic, se , se alegealege un un model de model de identificareidentificare neliniarneliniar. .

Se Se poatepoate utlizautliza un un aproximantaproximant cvasicvasi--universal: universal: rereeauaeaua neuronalneuronal(care are la (care are la bazbaz MCMMPMCMMP, , nn fazafaza de de instruireinstruire). ). Se Se stabilestabiletete un un punctpunct de de funcfuncionareionare nominalnominal, , nn juruljurul cruiacruiase se determindetermin o o coleccolecieie de de modelemodele de de identificareidentificare adaptiveadaptive((cu cu parametriparametri variabilivariabili nn timptimp). ).

Identificare multi-model.IdentificareIdentificare multimulti--model.model.

Complicat, mai precisComplicatComplicat, , maimai precisprecis

Mai simplu, mai imprecisMai Mai simplusimplu, , maimai imprecisimprecis

* Variabilitatea n timp a proceselor.** VariabilitateaVariabilitatea nn timptimp a a proceselorproceselor.. DacDac proceseleprocesele pot pot fifi descrisedescrise printrprintr--un set de un set de parametriparametri adevraadevraii ((dardar necunoscunecunoscuii), ),

aceacetiatia variazvariaz nn timptimp. .

Modelele de identificare trebuie s posede dou proprieti opuse: s fie adaptive i consistente (convergete statistic, adic precise).ModeleleModelele de de identificareidentificare trebuietrebuie ss posedeposede doudou proprietproprietii opuseopuse: : ss fie adaptivefie adaptive ii consistenteconsistente ((convergeteconvergete statistic, statistic, adicadic precise).precise).

Metodele de identificare trebuie s asigure un bun compromis ntreadaptabilitate i precizie (sau robustee). MetodeleMetodele de de identificareidentificare trebuietrebuie ss asigureasigure un bun un bun compromiscompromis ntrentreadaptabilitateadaptabilitate ii precizieprecizie ((sausau robusteerobustee). ). 1010

8/13

yy

nn IntroducereIntroducereSistem i proces (determinism i nedeterminism) [z{{{{{]SistemSistem ii procesproces (determinism (determinism ii nedeterminismnedeterminism) [) [z{{{{{z{{{{{]] PentruPentru a a puteaputea fifi identificatidentificat, c, cutia neagr trebuie s aib capacitatea de a furniza dateutia neagr trebuie s aib capacitatea de a furniza date, ,

putputnd fi eventual stimulat pentru aceastand fi eventual stimulat pentru aceasta. .

Entitate care opereaz cu semnale la intrare i furnizeaz semnale la ieire conform unui set de ecuaii difereniale (n timp continuu) sau cu diferene (n timp discret).EEntitntitate ate care opereaz cu care opereaz cu semnale la intraresemnale la intrare i furnizeaz i furnizeaz semnale la iesemnale la ieireire conform conform ununuiui set de set de ecuaecuaii diferenii diferenialeiale ((n n timp continuutimp continuu) sau ) sau cu diferencu diferenee ((n n timp discrettimp discret))..

Sistem dinamicSistemSistem dinamicdinamic

uuxx

zzvv

ww

x' f(x,u, w)z g(x,u)y h(x,u, v)

((semnalsemnal de) de) intrareintrare ((semnalsemnal de) de) ieieireire((mrimemrime de) de) starestare

((mrimemrime de) de) calitatecalitate

perturbaperturbaieie de de procesproces((internintern, , intrinsecintrinsec))

perturbaperturbaieie de de mediumediu((externextern, , exogenexogen))

{ }( ), [ 1]t n +x' x xtimptimp

continuucontinuutimptimp

discretdiscret

funcfunciiii de de sistemsistem specificespecifice((liniareliniare sausau neliniareneliniare))

m nu =u R R q nz =z R Rn nx =x R Rp ny =y R R

l nw =w R Rr nv =v R R

PrimelePrimele notanotaiiii ale ale dimensiunilordimensiunilor suntsunt specificespecifice TeorieiTeoriei SistemelorSistemelor ((TSTS)). . nn ISIS, se , se utilizeazutilizeaz notanotaiileiile din din termenultermenul dreptdrept al al fiecreifiecrei egalitegalitii..

" Convenie: paranteze rotunde pentru argumentulde timp continuu i paranteze dreptepentru argumentul de timp discret.

"" ConvenieConvenie:: parantezeparanteze rotunderotunde pentrupentru argumentulargumentulde de timptimp continuucontinuu ii parantezeparanteze dreptedreptepentrupentru argumentulargumentul de de timptimp discretdiscret. .

* Semnalul de ieire este egal cu mrimea de calitate perturbat.

** SemnalulSemnalul de de ieireieire esteeste egalegal cu cu mrimeamrimea de de calitatecalitate perturbatperturbat.. 1111

9/13nn IntroducereIntroducereSistem i proces [zz{{{{]SistemSistem ii procesproces [[zz{{{{zz{{{{]]

Sistem dinamic liniarSistemSistem dinamicdinamic liniarliniar

n n nx nx =A R Rq n nz nx =D R Rn m nx nu =B R Rp n ny nx =C R R n l nx nw =E R R

p r ny nv =F R R

' + + + + +

x Ax Bu Ewz Dx Guy Cx Hu Fv

ExempluExempluExemplu

q m nz nu =G R Rp m ny nu =H R R

) n TS)) nn TSTS perturbaperturbaiile joac un rol secundariile joac un rol secundar, fiind utilizate , fiind utilizate n special n special n studiul capacitn studiul capacitii ii unui sistem de a le rejecta/compensa sau de aunui sistem de a le rejecta/compensa sau de a--i pstra stabilitatea intrinseci pstra stabilitatea intrinsec, , indiferent de natura lorindiferent de natura lor..

proprietproprietile de ile de stabilitatestabilitate, , observabilitateobservabilitate, , controlabilitatecontrolabilitate i i robusterobusteeesunt intens analizatesunt intens analizate;;

Modelele matematice din TS au un caracter determinist.ModeleleModelele matematicematematice din din TSTS au un au un caractercaracter deterministdeterminist..

La orice moment de timp, mrimile ce descriu modelul matematic au valori unic determinate de acel moment de timp, fie c sunt cunoscute sau nu. LLa orice moment de timp,a orice moment de timp, mrimile ce descriu modelul matematic au mrimile ce descriu modelul matematic au valori unic valori unic determinate de acel moment de timpdeterminate de acel moment de timp, f, fie c sunt cunoscute sau nuie c sunt cunoscute sau nu. .

* n realitate, perturbaiile au un caracter nedeterminist i ar trebui considerate ca variabile aleatoare(stocastice) fiind caracterizate de anumite distribuii de probabilitate.

** nn realitaterealitate, p, perturbaerturbaiile au un caracteriile au un caracter nedeterminist nedeterminist i ar trebui consideratei ar trebui considerate caca variabile aleatoarevariabile aleatoare((stocasticestocastice) ) fiindfiind caracterizatecaracterizate dede anumitanumitee distribudistribuiiii de probabilitatede probabilitate..

La un anumit moment de timp, valorile perturbaiilor nu sunt unic determinate, ci variaz ntr-o anumit gam (interval), fiecare dintre ele avnd o anumit probabilitate de apariie. LLa un anumit moment de timp, a un anumit moment de timp, valorile perturbavalorile perturbaiilor nu sunt unic determinateiilor nu sunt unic determinate, c, ci variaz i variaz ntrntr--o anumit gam o anumit gam (interval), (interval), fiecare dintre ele avfiecare dintre ele avnd o anumit probabilitate de aparind o anumit probabilitate de apariieie. .

ParametriimodeluluiParametriiParametriimodeluluimodelului

1212

10/13

CazulCazul rrspunsuluispunsului deterministdeterminist CazulCazul rrspunsuluispunsului nedeterministnedeterminist

nn IntroducereIntroducere

( )1KH sT s

= +ExempluExempluExemplu

Rspunsul indicial al unui sistem liniar de ordin IRspunsulRspunsul indicial al indicial al unuiunui sistemsistem liniarliniar de de ordinordin II

funcfunciaia de transferde transfer

amplificareaamplificarea

constantaconstanta de de timptimp

Parametrii modeluluiParametriiParametrii modeluluimodeluluiCum Cum ss--arar puteaputea determinadetermina parametriiparametriimodeluluimodelului folosindfolosind rspunsulrspunsul indicial?indicial?

Pe cale grafic. PePe calecale graficgrafic. .

yyuu

xx

zz

vv

ww

yy

tt00

KK

TT

yy

tt00

K K ??

T T ??

1122

33

Rspunsuri diferite pentruexperimente econometrice diferite.RspunsuriRspunsuri diferitediferite pentrupentruexperimenteexperimente econometriceeconometrice diferitediferite..

Realizri ale procesului

RealizriRealizri ale ale procesuluiprocesului

Colecia tuturorrealizrilor.

ColecColeciaia tuturortuturorrealizrilorrealizrilor..

ProcesProcesProcesAcelai rspuns indiferent de indiceleexperimentului econometric.AcelaiAcelai rspunsrspuns indiferentindiferent de de indiceleindiceleexperimentuluiexperimentului econometriceconometric..

Experiment econometricExperiment econometricExperiment econometric Experiment de msurare i achiziie de date.Experiment de Experiment de msuraremsurare ii achiziieachiziie de date.de date.

Parametrii se pot determina imediat.ParametriiParametrii se pot se pot

determinadetermina imediatimediat..

1313

Sistem i proces [zzz{{{]SistemSistem ii procesproces [[zzz{{{zzz{{{]]

11/13nn IntroducereIntroducere

AadarAadarAadar ProcesProcesProcesSistem dinamic afectat de perturbaii

nedeterministe (stocastice) SistemSistem dinamicdinamic afectatafectat de de perturbaiiperturbaii

nedeterministenedeterministe ((stocasticestocastice) )

CaracterizareaCaracterizarea completcomplet a a perturbaperturbaiiloriilor stocasticestocastice include o include o descrieredescriere a a densitdensitilorilor de de probabilitateprobabilitateasociateasociate. .

nn majoritateamajoritatea aplicaaplicaiiloriilor de de identificareidentificare, , esteeste dificildificil ((dacdac nunu imposibilimposibil) de ) de precizatprecizat densitateadensitatea de de probabilitateprobabilitate a a perturbaperturbaiiloriilor. .

//

CeCe esteeste se se poatepoate face?face?

Un rezultat remarcabil din Matematicpoate debloca situaia.Un Un rezultatrezultat remarcabilremarcabil din din MatematicMatematicpoatepoate deblocadebloca situaiasituaia.. Teorema Limit Central (TLC)TeoremaTeorema LimitLimit CentralCentral ((TLCTLC))

UUn ansamblu cel pun ansamblu cel puin numrabil de procese in numrabil de procese stocastice cu densitstocastice cu densiti de probabilitate i de probabilitate arbitrare constituie un proces stocastic arbitrare constituie un proces stocastic normal distribuitnormal distribuit. .

Normal Normal distribuitdistribuit??

( ) 221 ( ( ) )( ) exp 22def y t yy t

= p

t R

pp

yy ((tt))00 yy +3+3yy--33yy

Clopotul lui GaussClopotulClopotul luilui GaussGauss

Cu densitate de probabilitateGaussian.Cu Cu densitatedensitate de de probabilitateprobabilitateGaussianGaussian..

((nn timptimp continuucontinuu))

mediemedie

deviadeviaieie standardstandard

Carl Gauss Carl Gauss (1777(1777--1855)1855)

1414

Sistem i proces [zzzz{{]SistemSistem ii procesproces [[zzzz{{zzzz{{]]

12/13nn IntroducereIntroducere

( ) 221 ( ( ) )( ) exp 22def y t yy t

= p

t Rpp

yy ((tt))00 yy +3+3yy--33yy

Clopotul lui GaussClopotulClopotul luilui GaussGauss

interval 3interval 3

* Argumentul densitii de probabilitate nu este timpul,

ci valorile variabilei aleatoare y(t).** ArgumentulArgumentul densitdensitiiii de de probabilitateprobabilitate nunu esteeste timpultimpul, ,

cici valorilevalorile variabileivariabilei aleatoarealeatoare yy((tt))..

Proprieti ale densitii de probabilitate GaussieneProprietProprietii ale ale densitdensitiiii de de probabilitateprobabilitate GaussieneGaussiene

( )2,y N Clasa proceselornormal distribuiteClasaClasa proceselorproceselornormal normal distribuitedistribuite

(de (de mediemedie ii varianvarian ))y 2 MediaMedia relevrelev amplasareaamplasarea clopotuluiclopotului nn raportraport cu cu gamagama de de variavariaieie a a variabileivariabilei aleatoarealeatoare. . VarianVarianaa relevrelev deschidereadeschiderea clopotuluiclopotului nn juruljurul medieimediei. .

( )( ) ( ) 1y t dy t+

= pt R

EvenimentulEvenimentul sigursigur: : variabilavariabila aleatoarealeatoare iaia nnmod mod sigursigur o o valoarevaloare nn intervalulintervalul ((,+,+). ).

IntervalulIntervalul 33 include include maimai multmult de 95%de 95% din din valorilevalorile probabileprobabile ale ale variabileivariabilei aleatoarealeatoare. .

(aria de sub (aria de sub clopotulclopotul luiluiGauss Gauss esteeste unitarunitar))

( )33

( ) ( ) 0.95y

y

y t dy t+

p

t R

ExerciiiExerciiiExerciii

n practic deschiderea clopotului lui Gausseste msurat de intervalul 3. nn practicpractic deschidereadeschiderea clopotuluiclopotului luilui GaussGaussesteeste msuratmsurat de de intervalulintervalul 33. . se se numenumetete deviadeviaieie standardstandard.. 1515

Sistem i proces [zzzzz{]SistemSistem ii procesproces [[zzzzz{zzzzz{]]

13/13

ntr-o secven finit de experimente econometrice ale unei variabile aleatoare cu distribuie Gaussian, media (statistic a) acesteia la un anumit moment de timp are frecvena cea mai mare de apariie.

ntrntr--o secveno secven finit de experimente finit de experimente econometriceeconometrice ale ale uneiunei variabilevariabile aleatoarealeatoare cu cu distribudistribuieie GaussianGaussian, , mediamedia ((statisticstatistic a) a) acesteiaacesteia la un anumit moment de timp are la un anumit moment de timp are frecvenfrecvena cea mai mare de aparia cea mai mare de apariieie. .

nn IntroducereIntroducere

Proprieti ale densitii de probabilitate Gaussiene (final)ProprietProprietii ale ale densitdensitiiii de de probabilitateprobabilitate GaussieneGaussiene (final)(final)

( )( ) ( ) ( )y t y t dy t y+

= pt R

Media Media statisticstatistic a a variabileivariabilei aleatoarealeatoare esteestechiarchiar media media densitdensitiiii de de probabilitateprobabilitate. .

ExerciiiExerciiiExerciii

valoareavaloarea ceacea maimai aateptatteptata a variabileivariabilei aleatoarealeatoare

PentruPentru proceseleprocesele nn timptimp discretdiscret, , singurasingura diferendiferen constconst nn nlocuireanlocuireaargumentuluiargumentului de de timptimp continuucontinuu ((tt)) cu cu celcel de de timptimp discretdiscret [[nn]]. .

ExempluExempluExemplu Un proces Gaussian frecvent ntlnit: evoluia mediilorunui grup de studeni la o anumit disciplin

Un Un procesproces Gaussian Gaussian frecventfrecvent ntlnitntlnit: : evoluiaevoluia mediilormediilorunuiunui grupgrup de de studenistudeni la o la o anumitanumit disciplindisciplin

ExamenExamen IS IS FebruarieFebruarie 20052005

ExamenExamen IS IS SeptembrieSeptembrie 20052005

media media serieiserieiAA+ABAA+ABHistogrameHistogrameHistograme

OdatOdat cu cu scdereascdereanumruluinumrului de de absenabsenii, , deschidereadeschiderea clopotuluiclopotuluise reduce (se reduce (dispersiadispersia nnjuruljurul medieimediei esteeste maimaimicmic)). .

* Precizia mediei crete.** PreciziaPrecizia medieimediei crecretete..

1616

Sistem i proces [zzzzzz]SistemSistem ii procesproces [[zzzzzzzzzzzz]]

Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere Introducere