0 Probleme Clasa a Via

7/25/2019 0 Probleme Clasa a Via

http://slidepdf.com/reader/full/0-probleme-clasa-a-via 1/33

PROBLEMELE MELE ÎN CONCURSURILA CLASA A-VI-A

Prof. Valer Pop coala Gimnazial anȘ Ș ț

Bi!"ri a-N!#$ț

Cla!a a VI-a

VI.%. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia: y x •z-1983=1.

(Olimp. jud., Bistriţa-N, 15.III.1986)

VI.&. Să se arate că dacă x,,z∈ ¢ !i "x-3-1#=# atunci$ %

&

y x z +∈ ¢

(Olimp. loal!, 1996, "ar#$ita, 1999)

1



VI. '. Să se determine numerele reale a,',c !i d dacă suma lor este 3",iar1(a=&'=(c=1#d

( Olimp. loal!, 1996, Bistriţa-N)

VI.(. Să se e)ectueze: "•8#"-1#9*"#+(1#:1#"*1#*18#:3"+# .

(Olimp. loal!, Bistriţa-N., 1995)

VI.). Să se determine mulţimea: =/ 0 + 2

a% %aa% =

(Olimp. loal!, 1995, Bistriţa-N, &ra'a-**6, +a%!ra i'trjud., li.Io' ua, &atra

or'i, **5, "u'doara, **, "ar#$ita, **1)

VI. *. Să se determine numerele a% !tiind că a*','*c,c*a sunt direct

roorţionale cu 3, +, ( !i media aritmetică a ci)relor este un număr rim. (Olimp. loal!, Bistriţa-N, 1995)

"



VI.+. 4entru a se o'ţine din 5r6u )ăină,se ierde "#7 din cantitatea de 5r6u. in

c6t 5r6u utem o'ţine "## 5 de )ăină

(Olimp. loal!, Bistriţa-N, 1995)

VI.,. ;n5<iurile /OBR !i BO0 R sunt adiacente sulementare, iar $> , ?@ ,$A sunt resectiv 'isectoarele un5<iurilor , , . BO0 BO /OBR R R Btiind că

$ %$ %&

m 2O0 m /O3 = RR , să se calculeze măsurile un5<iurilor /OBR !i BO0 R .

(Olimp .loal!, Bistriţa-N, 1995)

VI.. eterminaţi ci)rele a,',c,x, !tiind că sunt îndelinite simultan condiţiile:

1% Ca% xy= !i "% a*'*c=x*.

(Olimp. loal!, 1995,0!l!ra4i)

3



VI.%. Să se simli)ice )racţia:

2#21#1

2"11#3 C

(Olimp. jud., Bistriţa-N, 1995)

VI.%%. Aie x∈ ¢ D. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: x, x, x !i ExC


VI.%&. Să se determine mulţimea valorilor exresiei: >=1 " 3"$ 1% 3$ 1% +$ 1% ($ 1% p 5 p p 5 5+ + +

− + − + − + − , unde ,F∈ ¥ .


VI.%'. Să se determine ci)rele x !i ast)el înc6t #, $ % x

x y

y

= .


+



VI.%(. Să se determine erimetrul triun5<iului care are măsurile laturilor a,',c !isunt îndelinite simultan condiţiile: a% a !i ' sunt direct roorţionale cu ( !i 1"C '%13'=1"cC c% i)erenţa dintre latura cea mare !i cea mică este 1& cm.


VI.%). eterminaţi măsura un5<iului )ormat de acele unui ceas care indică ora 1")ără un s)ert.


VI.%*. ouă un5<iuri adiacente au 'isectoarele erendiculare. Să se a)le măsurileun5<iurilor !tiind că raortul măsurilor este (G31.

(Olimp .loal!, Bistriţa-N, 1996)

(



VI.%+. Humerele de )orma a% entru care a*'=c*1 sunt scrise e 'ileţeleidentice !i introduse într-o urnă. Iare este ro'a'ilitatea ca extră56nd un 'ileţel, acesta săconţină un număr:

a% divizi'il cu &C '% cu rorietatea a*'*cJa'c


VI.%,. ;n muncitor este enalizat cu 3(7 din salariu !i rime!te ast)el doar 39####

de lei. Iu c6t la sută tre'uia recomensat entru ca să rimească du'lu )aţă de condiţia de enalizat


VI.%. a% ;n5<iul K are măsura de 3#L. Se construiesc I ⊥ !i ⊥ K.

)laţi măsura un5<iului I C '% Ie valoare de adevăr are rooziţia :Mexistă un un5<i con5ruent cu

sulementul comlementului săuM. Nusti)icaţiO(Olimp. loal!, Bistriţa-N, 1998)

&



VI.&. Să se determine x din roorţia:

+ 9

+

x x

x= .

(Olimp. loal!, Bistriţa-N,1998)

VI.&%. eterminaţi numerele x, , z, !tiind că , ," 3 (

x y z sunt direct roorţionale

cu ", 3 !i ( iar "x*3*(z=3"#.I6ţi divizori rorii are suma s=x**z

(Olimp. loal!, Bistriţa-N,1998)

VI.&&. 4e laturile un5<iului x se iau unctele ,K∈$x !i I,∈ $ ast)elînc6t =I !i K=. Să se demonstreze că:

a% Priun5<iurile Q !i QKI au erimetre e5aleC

'% $ % $ %m /B m 0B=R R

.


2



VI.&'. Iomară numerele: = $ 1%'

'

− !i K= " $ 1%

1

'

'

× −

+

entru n∈ HD.

(0o'ursul r. 7aul +a'o, diţia a I&-a, airu,1999)

VI.&(. eterminaţi 'azele de numeraţie x !i !tiind că are loc e5alitatea:

1"1 13 1( x y= = .

(Olimp. jud., Bistriţa-N, ***)

8



VI.&). acă numărul % rerezintă +7 din numărul a% , să se calculeze a*'*c.

(Olimp .jud., **1, Bistriţa-N. aramur4 **,

&aslui, **, Olt, **1, olj, **1)

VI.&*. eterminaţi a% dacă",+

a %

= .

(Olimp. loal!,Bistriţa-N, **)

VI.&+. rătaţi că c.m.m.d.c. al numerelor 191 !i a% este 1 dacă a*'*c∉

/11,13,1(,12,19.

(Olimp .jud., Bistriţa-N, **)

9



VI.&,. eterminaţi a% dacă"a

% a= .

(Olimp. jud., Bistriţa-N, **:)

VI.&. ;n5<iul K are măsura nL, $nRHD%.cesta este îmărţit de semidretele?I !i ? în trei un5<iuri cu măsurile aL' ,'Lc !i cLa.Ie măsură are un5<iul K

(Olimp. jud., Bistriţa-N!s!ud, **:,

;atu ar-**:, Ol. p 4oala, j, **8)

VI.'. a cărţi !i ' stilouri costă îmreună a% dolari. a% I6te cărţi !i c6te stilouri

s-au cumărat dacă a•'• a% =&+8 '% I6t costă un stilou dacă o carte costă + dolari

( 0o' .i'trdisipli'ar r. 7aul +a'o,

d. a I<-a,B-ţa,**=)

1#



VI.'%. Iiocănitoarea Tood a adunat într-o scor'ură 8## de castane !i de nuci.Iastanele rerezintă "#7 din numărul total.

a% I6te castane !i c6te nuci a adunat Tood '% acă Tood consumă numai nuci, c6te tre'uie să consume entru ca nucile sărerezinte "#7 din numărul nucilor !i castanelor rămase

(0o' .i'trdisipli'ar r. 7aul +a'o,

d. a I<-a,B-ţa, **=)

VI.'&. a% c.m.m.m.c.al numerelor "+ !i 3& este.............. '% c.m.m.d.c. al numerelor x= " 3a %

× !i =12( este ................

(Olimp. lo., Bistriţa-N, **1)

VI.''. a% acă 1 2& " & x

+ = , atunci x=...........

11



'% acă3 1

1" ( "

y× = , atunci =...........


VI.'(. a% Uaortul numerelor 1" !i + este cu valoarea ............. '% l doilea termen al unui raort cu valoarea ( este &. 4rimul termen al

raortului este ............$Olimp. lo., Bistriţa-N, **1)

VI.'). a% acă 1 x y se divide cu +, atunci aarţine mulţimii .............

'% acă+

x !i

3

y au aceea!i valoare,atunci x= ......................


VI.'*. 4e dreata d se iau unctele , K !i I în această ordine ast)el înc6t K=&cm !iKI=+# mm. a% m?$I%V=......

1"



'% distanţa dintre miWloacele se5mentelor ?KV !i ?KIV este de ............mm.

(Olimp .lo., Bistriţa-N, **1

VI.'+. a% ;n5<iul cu măsura de 3"L are comlementul cu măsura de ...........L '% ouă un5<iuri adiacente au măsurile de 2"L3# !i resectiv 1#2L3#. Xaturile necomunesunt................


VI.',. eterminaţi numărul a% dacă ( "a% a%= .


VI.'. Se dă triun5<iul isoscel QKI $K=I%, Y∈ ?IV !i H∈ ?KV ast)elînc6t Y=K-HK. emonstraţi că : $ % $ %m /B m BN0 + =S S 18#L.


13



VI.(. Aie a,'∈ $#,Z%, ast)el înc6t a'=1. emonstraţi că +a*'[+.

(morialul >t?a' @rţu, &atra or'i, d. a &I-a, 1*-1 d.**=)

VI.(%. eterminaţi numărul natural a% !tiind că:" 3 (

a % % a+ + += = .

(Ol. lo., 1999, &aslui )

VI.(&. Să se determine numerele naturale x !i care îndelinesc simultan

condiţiile: a% x\C '%3

(

x y

x y

+=

−C c% x*=("#.

(Ol. jud., 1999, "ar#$ita)

VI.('. Să se determine numerele a% !tiind că a*', '*c, c*a sunt direct

roorţionale cu numerele ", 3 !i (. (*l.lo., ***, "u'doara)

1+



VI.((. Ialculaţi a-"' dacă numerele a !i ' sunt naturale !i1

12

\9

a\

(

&\

3

%\

"11

"a %+.

(Ol. jud., ***, &aslui)

VI.(). rătaţi că atru numere naturale consecutive nu ot )i termenii unei roorţii. I6t ar tre'ui adunat $sau scăzut% la al atrulea termen din !irul anterior entru a

se o'ţine o roorţie cu termeni naturali (Ol. lo.,Bistriţa-N, **6)

VI.(*. 4atru cole5i au rezolvat următoarea temă de casă: ]4e laturile QKIisoscel cu 'aza $ KI% se iau unctele Y∈$I% !i H∈ $K% ast)el înc6t Y=K-HK.Ie se oate sune desre un5<iurile YK !i KHI ]

^onel: sunt con5ruenteC ănuţ: am'ele sunt o'tuzeC di: sunt sulementareC Yarian: unul este dret !i unul este ascuţit.

1(



Iare are dretate !i de ce (0o'.7aul +a'o, d. a &III-a, tapa. zo'al!, **:)

VI.(+. 4rin curăţirea de coaWă carto)ii ierd 331

37 din masă. Ie cantitate de

carto)i tre'uie să cumere o 5osodină care re5ăte!te masa entru 8 ersoane,dacă)iecare ersoană consumă "(# 5 de carto)i curăţaţi

(0o'.7aul +a'o, d. a &III-a, t. zo'al!, **:)

VI.(,. Patăl $ro)esor de matematică% îl întrea'ă e )iul său ce cadou ar re)era demaWorat: A: - ;n autoturism.

P:- 4ot să-ţi dau at6tea milioane de lei c6t este rodusul,resectiv sumanumerelor:x="•$-1% 1 " 13 $ 1% $ (% $ 1%A ' A '+ + +

− × − + − × − , n, ∈ ¥ D. A:- le5 rodusul numerelor Oa% 4oate cumăra )iul un autoturism în acest )el

'% ar dacă ar )i ales suma numerelor

1&



(0o'.7aul +a'o,,d. a &III-a,t. zo'al! ,**:)

VI.(. ^ntr-o )amilie de + ersoane suma v6rstelor lor este de 1#1 ani. Kăiatul s-anăscut c6nd tatăl avea "+ de ani iar )etiţa s-a născut c6nd mama avea "( de !i )ratele ei +ani. Ie v6rstă are )iecare

(0o'.7aul +a'o, d. a <I-a, $i'ţa, **6 )

VI.). Setilă a 'ăut la o etrecere a !atea arte din sticlele de suc, iar ceilalţiinvitaţi au 'ăut restul de sticle exrimat rin numărul a% cu rorietatea că "a=3'. I6testicle a 'ăut Setilă

(0o'.7aul +a'o, d. a <I-a, $i'ţa, **6)

VI.)%. Aie numerele a,',c,d direct roorţionale cu numerele ", (, + !i 3. Să sea)le numărul n=a*'*c*d + *83 !tiind că a*"'*3c*+d=2".

(0o'.7aul +a'o,diţia I, N!s!ud,1995)

12



VI.)&. Suma măsurilor comlementelor a 1( un5<iuri exrimate în 5rade !inumere naturale este 1"3+L . rătaţi că cel uţin două un5<iuri sunt con5ruente.

(Olimp. lo., **6, $di'ţi)

VI.)'. Să se determine numărul a% !tiind că3 "

.(

% a %

a % a

+ += =

+

(&alr 7op 4i i$ai N$ita,>a'ţ,Bistriţa-N,

Ol. jud., :.*:.**, Bistriţa)

VI.)(. %/ acă & xM iar 1 x '= atunci n ia exact " valori care se cer.

&% Xocalitatea Banţ a )ost declarată comună în anul 1223 iar Bcoala @enerală ]>nea

@rainiM Banţ a )ost în)iinţată în anul a%d .

a% eterminaţi acest an dacă , .& 9

a% d A A = = ∈ ¥

18



'% 4este c6ţi ani va aniversa această !coală 'icentenarul

(7ro?. &alr 7op 4i 2$or#$ 7l4 0o'urs r. 7aul +a'o, >a'ţ,15.*5.*1*)

VI.)). a% eterminaţi ci)rele a !i % ast)el înc6t )racţiaa% %

%a a

+

− este ec<iunitarăC

'% eterminaţi )racţiile de )orma1

2

p

p

−

+, unde p este număr rim iar

" +

3 2 (

p

p< <

+.

(Olimpiada loala, Bistriţa-N, 1.*.*1*)

VI.)*. eterminaţi numerele de + ci)re care admit descomunerea în )actori rimi

de )orma y x x y xy× × .

( Olimpiada loal!, 1.*.*1*)

VI.)+. Uezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia: x"-3x=+*1((2. (0o'urs i'trjudţa' 2aCril +ulai, N!s!ud, :*.&.**9)

19



VI.),. ;nui elev care rezolvă ro'leme i se cere să 5ăsească toate numerele de

)orma " 3a % divizi'ile cu &. Iare este cea mai mare sumă e care o oate c6!ti5a dacă

entru un număr în care a %≠ rime!te 3# de 'ani iar entru un număr în care

a %= rime!te +# de 'ani

$Olimpiada satlor %istri ',1*.*:.*1, diţia I)ț

VI.). ;n )ermier cultivă ro!ii e un teren cu sura)aţa de "+ de ari, de e care

o'ţine o roducţie de 3( de tone la <ectar. "#"1

din cantitatea de ro!ii o valori)ică rin

v6nzare e iaţa li'eră, cu reţul mediu de 3,"# lei ilo5ramul iar restul ore!te entruconsumul )amiliei.in valori)icarea ro!iilor e iaţă lăte!te 3(7 din sumă entru c<eltuielile de roducţie

!i(

"& din rest entru c<eltuieli de transort !i iaţă.

a) Ie cantitate de ro!ii a o'ţinut )ermierul de e terenul cultivat%) Ie cantitate de ro!ii a orit entru consumul )amiliei

"#



) Ie sumă a încasat )ermierul din v6nzarea ro!iilord) Iare a )ost suma entru lata c<eltuielilor de roducţie

) Iare este suma c<eltuită entru transort !i iaţă ?) I6t este c6!ti5ul net al )ermierului $Olimpiada satlor %istri ', 1*.*:.*1, diţia I)ț

VI.*. _n Wurul unctului de o arte a unei drete sunt construite un5<iurile, , /OB BO0 0O.S S S , adiacente două c6te două. Se !tie că

$ % #, $3% $ %m /OB m BO0 = ×S S !i raortul măsurilor un5<iurilor 0O.S !i BO0 S arevaloarea 1,1$&%.

a% Ialculaţi măsurile celor trei un5<iuri. '% Ialculaţi $ %m 8ON S , unde $Y este erendiculară e 'isectoarea un5<iului

/OBS iar $H este 'isectoarea un5<iului 0O.S . $Olimpiada satlor %istri ',1*.*:.*1, diţia I)ț

"1



SOLU II0 IN1ICA II0 R2SPUNSURIȚ Ț

VI.%. >cuaţia se mai scrie x

`z=199+. escomun6nd e 198+ în )actori rimi vom5ăsi 198+="&`31 de unde avem mai multe soluţii de )orma $x,,z%. >le sunt: $x,,z%∈

/$,#,198+%C$1,,198+%C$",1,99"%C$",",+9&%C $",3,"+8%C$",+,1"+%C$",(,&"%C$",&,31%C$+,1,+9&%C$+,",1"+%C $+,3,31%C$8,1,"+8%C$8,",31%C$1&,1,1"+%C$3",1,&"%C$31,1,31%.

VI.&. in relaţia "x-3-1#z=# rezultă că "x-1#z=3 sau "$x-(z%=3. in ultimarelaţie se deduce u!or că se divide cu " iar x-(z se divide cu 3. acă x-(z se divide cu 3atunci !i x-(z*&z=x*z se divide cu3. in cele de mai sus rezultă că $x*z% se va divide cu

& !i atunci

$ %

&

y x z +

∈ ¢ .VI.'. a=+, '=1#, c=1", d=&.VI.(. +(1#

VI.). Aolosind scrierea zecimală roorţia devine:1# 1#

.+ 2

a % % a+ += Ion)orm

unei rorietăţi a roorţiilor rezultă:1# 1# 11$ %

.+ 2 11

a % % a a %a %

+ + += = = + de unde:

1#a*'=+a*+' sau &a=3' sau "a='. in ultima )ormă a scrierii se deduce u!or că ' tre'uiesă )ie ci)ră ară. eci '∈/",+,&,8. Soluţiile ro'lemei sunt: =/1","+,3&,+8.

""



VI.*. Ion)orm datelor ro'lemei se oate scrie:"$ %

3 + ( 1" &

a % % a a % a % + + + + + + += = = = , dar /".3.(.2

3

a % + +∈ de unde rezultă

$a*'*c%∈/&,9,1(,"1. acă a*'*c=& rezultă a% ="13. acă media aritmetică se accetăcă este 3, ( sau 2 nu se o'ţin valori naturale entru a,', c !i deci nu avem soluţii.4ro'lema are soluţia unică a% ="13.

VI.+. "(# 5VI.,. # #$ % 1#8 C $ % 2"m /OB m BO0 = =R R

VI.. in condiţia a% se deduce că a% este ătrat er)ect iar 1# xy 31.beri)ic6nd ătratele er)ecte ale numerelor curinse între 1# !i 31 se 5ăsesc doar treisituaţii convena'ile ro'lemei !i anume: 1##, 3"8, 3&1.

VI.%. se simli)ică cu 2##1 $vezi al5oritmul lui >uclid%.VI.%%. Se analizează cazurile: xJ-1C x=-1Cx=1C x\1.VI.%&. Se tratează + cazuri în )uncţie de arităţile lui !i F. Uezultă

/ 1+, +,8,1# ∈ − − .

VI.%'. x=1, =&.VI.%(. &#

"3



VI.%). 8"#3#VI.%*. "(# !i 1((#.

VI.%+. a% #C '% 29

VI.%,. 3#7VI.%. ^ndicaţie: a% Se analizează mai multe cazuri în )uncţie de cum se duc

erendicularele. '% Aals

VI.&. 4roorţia se mai oate scrie:1# + 9#

+

x x

x

+ += de unde )olosind roorţii

derivate se oate scrie:1# + + 9#

+

x x x

x

+ − + −= de unde

1# 9#

+

x

x= aoi

9

+

x

x= !i x"=3&

de unde x=&.VI.&%. x=8, z=18, z=(# . + divizori rorii.VI.&&. a% se demonstrează că KI

'% arătaţi că sunt di)erenţe de erec<i de un5<iuri con5ruente.VI.&'. ^ndicaţie: analizează în )uncţie de aritatea lui n.

"+



VI.&(. x !i )iind 'aze de numeraţie se oate une condiţia: x[3 !i [+.. >cuaţia

se mai oate scrie: " " 1 x x+ + **3=1( sau x*1**3=1( de unde x*=11. balorile lui x

!i sunt date în ta'elul:

x 3 + ( & 2 8 2 & ( +

VI.&). Se oate scrie: +7a% %× = de unde "(a% %= rezultă1##a*1#'*c="(#'*"(c sau 1##a="+#'*"+c sau "(a=&$1#'*c%. eoarece "( !i & sunt

rime între ele rezultă a=&, duă care din "(=1#'*c rezultă '=" !i c=(. vem

a*'*c=&*"*(=13.VI.&*. ^ndicaţie: ",+' tre'uie să )ie număr natural.VI.&+. 191 este număr rim. a% tre'uie să )ie relative rim cu 191. Se calculează

suma ci)relor multimlilor lui 191 de )orma a% .

VI.&,. a% ∈/111, "18, ""+, "+", "81, 339, 393, +88VI.&. $ %m /OBS =a# '*'#c*c#a= $a#*'#*c#%*$a*'*c% . Se !tie că

#Ja*'*cJ18#. eoarece $ %m /OBS este număr natural rezultă că a*'*c=&# !iatunci $ %m /OBS =&1# sau a*'*c=1"# !i atunci $ %m /OBS =1""#.

"(



VI.'. &+8="3`3+. eoarece &+8 se divide cu a% vom căuta toţi divizorii lui &+8

de )orma a% . vem:

a% ∈ /1",18,"+,"2,3&,(+,2",81.a% acă veri)icăm a)lăm: 3 cărţi !i & stilouri sau 8 cărţi !i un stilou.

'% " dolari sau +9 de dolari.VI.'%. a% 1&# de castane !i &+# de nuci.

'% &## de nuci.VI.'&. a% 2" '% 1VI.''. a% x=+C '% =1#

VI.'(. a% 3 C '% 3#VI.'). a% ∈/"C& C '% x=1"VI.'*. a% 1# cm C '% (# mmVI.'+. a% (8# C '% în relun5ire

VI.',. 4roorţia se mai oate scrie:1#

( "

a % a%+= de unde rezultă "'=(a$'-+%. in

ultima e5alitate deducem că ' divide e ( !i este mai mare dec6t +, deci '=(, aoi 5ăsim

a=". eci a% ="(.VI.'. ^ndicaţie: se arată că un5<iurile KHI !i KYI sunt con5ruente.

"&



VI.(. +a*' ≥ + rezulta +a'*'" ≥ +' de unde +* '" ≥ # aoi $'-"%" ≥ # evident.VI.(%. Ion)orm rorietăţii )undamentale a !irului de raoarte e5ale se oate

scrie: "$ % ." 3 ( 1# (a % % a a % a % A + + + + + + += = = = = vem: a*'=", '*c=3, c*a=(,

a*'*c=(. Ium a,',c sunt ci)re rezultă că valorile lui sunt naturale. Ioresund doarvalorile lui : 1, " !i 3. vem deci a% ∈/"#3,+#&,&#9.

VI.(&. Aolosind cuno!tinţele re)eritoare la roorţii derivate, o'ţinem din

roorţia dată la condiţia '% următoarele roorţii derivate:( 3

3

x y x y

x y

+ + − +=

− sau

" 83

x x y

=−

din care rezultă +3

x x y

=−

de unde avem: + 3+

x x y x

− + −= sau 1

+ y x

= de unde

=+

x din care rin ridicare la cu' o'ţinem

3 3

&+ 1

x y= din care

3 3 3

&+ &+ 1

x x y+=

+ sau

3 ("#8

&+ &(

x= = de unde rezultă x=8. semănător se a)lă =".

VI.('. a% ∈/"#3,+#&,&#9.

"2



VI.((. in8

2 9

a> rezultă 2a\2" de unde a1#. $1%

in (9 &a > rezultă &a\+( de unde a[8 $"%. in $1% !i $"% rezultă 8a1# . in (

& 3%>

rezultă &'J1( de unde '". in '=# rezultă# 11

3 "a> imosi'il. acă '=1 rezultă

1 11

3 " 1a>

+ de unde a\1&, nu coresunde deoarece a1#. acă '=" rezultă

" 11

3 " +a>

+ de

unde +a*8\33, de unde +a\"( !i deci a[2. Ium 8a1# rezultă că /8,9,1#.a ∈

Uăsunsul este a-"' /+,(,&.∈

VI.(). ^ndicaţie: termenii roorţiei sunt x, x*1, x*" !i x*3 unde x este numărnatural. Se veri)ică toate osi'ilităţile în care ace!ti termeni aar în ordine în roorţie.

VI.(*. re dretate di.VI.(+. 3 5VI.(,. a% 4rodusul este #

'%Suma este "#.###.###

VI.(. tatăl 39 de ani, mama 3& de ani, 'ăiatul 1( ani, )etiţa 11 ani.VI.). 1& sticle.

"8



VI.)%. n=199(VI.)&. Suma măsurilor celor 1( un5<iuri îmreună cu comlementele lor este de

1(`9##

=13(##

. Suma măsurilor celor 1( un5<iuri este de 13(##

-1"3+#

=11&#

. 'serv6nd că1*"*3*...*1(=1"#, utem concluziona că dacă 11&J1"#, atunci cel uţin două un5<iuriau măsurile e5ale !i deci sunt con5ruente.

VI.)'. a% = "11VI.)(. 1% " !i 8

"% a% 18"2C '% 12VI.)). a% a=+, '=(

'%se a)lă ∈/12,19,"3.VI.)*. Ium xy este rim rezultă ∈/1,3,2,9. Ium este )actor rim rezultă

1 !i 9. eoarece 22\ a%d rezultă =3. acă =3 rezultă a%d =xx`33` 3 x . Ium 3 x este rim rezultă x∈/1,",+,(,2,8 dar xx )iind rim rezultă x1, x+, x8. acă x=" avema%d =""`33`"3="+8+. acă x=( sau x=2 nu avem soluţii. eci a%d ="+8+.

VI.)+. 'serv6nd că x " 3 x− este număr ar rezultă că + y *1((2 este număr arde unde =#.

Uezultă x"

3 1((8 x− = de unde x$x-3%=1((8=" 19 +1 38 +1× × = × !i decix=+1.

"9



Soluţia este x=+1, =#.VI.),. Iea mai mare sumă se c6!ti5ă entru a)larea tuturor numerelor de )orma

" 3a % divizi'ile cu &.ffffffffffffffffffffffffffffff.%p

" 3a % se divide cu & dacă se divide simultan cu " !i cu 3 ....fffffffff.%p

acă " 3a % se divide cu " rezultă /#,",+,&,8% ∈

acă #% = rezultă /1, +, 2a ∈

acă '=" rezultă /",(,8a ∈

acă '=+ rezultă /#,3,&,9a ∈

acă '=& rezultă /1, +, 2a ∈

acă '=8 rezultă /",(,8a ∈

_n total sunt 1& numere de )orma " 3a % divizi'ile cu & din care 1+ în care

a %≠ !i două în care a %= $""3" !i "838%

Suma cea mai mare e care o oate încasa rezolvitorul este de ( lei

$1+`#,3#*"`#,+#=+,"#*#,8#=(% VI.). Prans)ormările corecte ale unităţilor de măsură

3#



a% Iantitatea de ro!ii o'ţinută este de #,"+`3(=8,+ tone = 8+## 5.

'% 4entru consumul )amiliei a orit1

8+## +##

"1

A# × = de ro!ii

c% in v6nzarea ro!iilor a o'ţinut 8###`3,"#="(&## de leid% I<eltuielile de roducţie au )ost de "(&##`3(7=89&# de lei

e% Suma c<eltuită entru transort !i iaţă a )ost de $"(&##-89&#%` (

"&= 1&.&+#`

(

"&= 3"## de lei

)% I6!ti5ul net al )ermierului a )ost : "(&##-89&#-3"##=13++# de lei

VI.*. Ai5ura corectă

31



a% in $ % #, $3% $ %m /OB m BO0 = ×S S , rezultă că $ % 3 $ %m BO0 m /OB= ×S S $1%

Ion)orm ro'lemei avem$ % 2

1,1$&%$ % &

m 0O.

m BO0 = =

S

S de unde

& $ % 2 $ % "1 $ %m 0O. m BO0 m /OB× = × = ×S S S , de unde $ % 3, ( $ %m 0O. m /OB= ×S S $"

Se !tie că

#

$ % $ % $ % 18#m /OB m BO0 m 0O+ + =S S S

$3%_nlocuind $1% !i $"% în $3% rezultă: #2,( $ % 18#m /OB× =S

3"



oi a)lăm #$ % "+m /OB =S , #$ % 2"m BO0 =S !i #$ % 8+m 0O. =S

'% Aie $4 'isectoarea un5<iului /OBS . in $ $O8 O7 ⊥ deducem că#$ % 1#"m /O =S . e asemenea se !tie că #$ % +"m NO =S# #$ % 18# $ % $ % 3&m ON m /O m NO= − − =S S S

33

0 Probleme Clasa a Via

Documents

Transcript of 0 Probleme Clasa a Via