0 clasa a_xiia (1)

29

Transcript of 0 clasa a_xiia (1)

Page 1: 0 clasa a_xiia (1)
Page 2: 0 clasa a_xiia (1)

1.1. f f ’ ’ (x);(x);

2.2. ;;

3.3. ecuaecuaţia tangenteiţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul la graficul funcţiei f în punctul A(2,4);A(2,4);

4.4. asimptotele funcţiei f;asimptotele funcţiei f;

5.5. monotoniamonotonia funcţiei f, funcţiei f, punctele de extrempunctele de extrem ale ale funcţiei f; demonstraţia funcţiei f; demonstraţia inegalităţii f(x)inegalităţii f(x)44, pentru , pentru orice x>1, etc.; orice x>1, etc.;

6.6. f f convexăconvexă pe intervalul (1, pe intervalul (1,););

7.7. g este g este continuăcontinuă în punctul x în punctul x00=0=0

x 2

f x f 2lim

x 2

Page 3: 0 clasa a_xiia (1)
Page 4: 0 clasa a_xiia (1)
Page 5: 0 clasa a_xiia (1)
Page 6: 0 clasa a_xiia (1)
Page 7: 0 clasa a_xiia (1)
Page 8: 0 clasa a_xiia (1)
Page 9: 0 clasa a_xiia (1)

REGULI DE DERIVAREREGULI DE DERIVARE

''' gfgf '' fcfc

2

'''

g

gfgfgf

2

''

g

gg1

'gfgfgf '' '

n'

2'

1'

n21 f...fff...ff

Page 10: 0 clasa a_xiia (1)
Page 11: 0 clasa a_xiia (1)
Page 12: 0 clasa a_xiia (1)

x 1

x 1

x 1

1

x 1

f x

12 - 1

1

xx -

2x 1 1x 1 x 1

1x 1

x 1

'

' 1x 1

xx

1f

'

2

11

x 1

Aducând la acelaşi numitor obţinem:

2

2

x 2xf x

x 1'

Page 13: 0 clasa a_xiia (1)
Page 14: 0 clasa a_xiia (1)
Page 15: 0 clasa a_xiia (1)
Page 16: 0 clasa a_xiia (1)
Page 17: 0 clasa a_xiia (1)

'

0 0 0y f x f x x x

y ff 2 x2 2 '

22

f 2 42 1

2

2

2 2 2f 2 0

2 1

'

y 4

Page 18: 0 clasa a_xiia (1)
Page 19: 0 clasa a_xiia (1)
Page 20: 0 clasa a_xiia (1)
Page 21: 0 clasa a_xiia (1)
Page 22: 0 clasa a_xiia (1)
Page 23: 0 clasa a_xiia (1)
Page 24: 0 clasa a_xiia (1)
Page 25: 0 clasa a_xiia (1)

x

f '(x)

f (x)

+10 2

0 0+ + + + + + + + + + + + +

0 4+

+ (M) (m)

Funcţia f nu are asimptote orizontale spre caut asimptotele oblice

Dreapta de ecuaţie x=1 este asimptotă verticală pentru funcţia f

punctele critice: punctele critice: solusoluţiile ecuaţiei fţiile ecuaţiei f’’(x)=0(x)=0

4 este valoarea minim4 este valoarea minimă funcţiei f ă funcţiei f f(x)f(x)4, (4, () x>1) x>1 3 3: f

e2 f 3

d s

1 2

1 2

x < x pe If x f x

f crescatoare pe I

3 32 3

3

3

f 2

f 3

punctele de extrem ale funcţiei f

Valorile extreme ale funcţiei fIm f =(-Im f =(-,0],0][4,[4,))

0 este valoarea maximă a funcţiei f f(x)0, () x<1

2009 < 2010

f(2010)f(2009)

3 2

3 2

2 2

ln2009 ln2008 2010

20

3 ln2

09 2008 2010

2009 2010200

009 ln2008 2 ln2010

f 2009 f 20 08 2009

1

Page 26: 0 clasa a_xiia (1)

x

f '(x)

f (x)

+10 2

0 0+ + + + + + + + + + + +

0

4

+

+ (M)

(m)

< xx 32

92

23 <<

f(x)f(x)

< 1x <

43

1

fx

3

Fie 1 x2

3 1 2

Dar din 1 x prin trecere la inverse 1 0.2 x 3

'Cum functia f este descrescatoare pe

3 9int ervalul 1,2 f x ff x

2 2*

'Cum functia f este descrescatoare pe int ervalul o,1

1 2 1 4 1 4ff f 1 f

x 3 x 3 x 3* *

'Din si prin adunare

membru cu mem

* * *9 1 4

f x f2 x 3

1 9 4f x f

x 2b u

3r

1 35 3f x f , 1 xx 6 2

Page 27: 0 clasa a_xiia (1)

f x 4 , pentru orice x>1

2x

4, x 1x 1

2 x 1x4 0, x 1

x 1

2x 4x 4

0, x 1x 1

2

x 20, x 1

x 1

adevărat.

Page 28: 0 clasa a_xiia (1)

2

2

22

11

x 1

x 1 2 x 1

f

0

x

x 1

f x

'' ' '

'

'

4

x 1

x 1

'

3 f x 0, x 1

2

x 1

' '

funcfuncţia f este convexă pe intervalul (1, ţia f este convexă pe intervalul (1, ))

2

1 gg g

' '

Page 29: 0 clasa a_xiia (1)

2 2

x 0 x 0x 0 x

x0

0x 0

x 0lim f x lim 0

x 1 0limg x

1

2 2

2

x 0 x 0x 0 x 0

x 0 x 0 x 0

x 0x

x 0 x 0 x 0

0

0

'lH

limh x limx lnx

1lnxlnx xlim lim lim

1 1 2 x

limg x

x x

'

'

4x

x 0x 0

1lim

x

3x

2

x 0x 0

xlim 0

2 2

g 0 f 0 0

funcfuncţia g este ţia g este continuăcontinuă în punctul x în punctul x00=0=0