Post on 16-Jul-2015
Partea IV. Cmp magnetic staionar
157
4.2. Formule Biot-Savart-Laplacei) Cazul R3 Revenim la ecuaiile cmpului magnetic n regimul staionar (Cap.1): (4.14) rotH = J divB = 0 (4.15) B = H (4.16) Din relaia (4.15), rezult c putem scrie (v. i Partea I, Cap.2):
B = rotA
(4.17)
unde A este potenialul magnetic vector. nlocuind (4.17) n (4.16) i apoi n (4.14), rezult ecuaia diferenial cu derivate pariale a potenialului vector A, care inlocuiete sistemul (4.14), (4.15), (4.16): 1 rot rotA = J (4.18)
n cazul mediului omogen (=ct), relaia (4.18) devine: rot 1 1 1 1 rotA = rot rotA = ( A) = (( A) ( ) A ) = J
Impunem acum potenialului vector condiia de etalonare: divA = A = 0 i, notnd = (Laplacian), rezult ecuaia: A = J (4.20) (4.19)
care, scris pe componente, ntr-un sistem de coordonate carteziene, conduce la ecuaiile:
Partea IV. Cmp magnetic staionar
158
Ax = J x , Ay = J y , Az = J z
(4.21)
D M D r J P B A
Fig.4.12. C@mpul magnetic creat de o distribu\ie volumic` de densitate de curent.
La Partea a II-a, Cap.4, par.4.1, Formule coulombiene, a fost fcut observaia c ecuaia:
V = vare soluia dat de relaia coulombian:
V=
1 v r dv 4 D
n cazul unui mediu omogen i nemrginit. La fel, ecuaiile (4.21) vor avea soluiile:
Jx Ax = dv , 4 D r
Jy Ay = dv , 4 D r
Az =
Jz dv (4.22) 4 D r
pentru mediile omogene i nemrginite. nmulind cele trei relaii cu versorii constani i, j, k ai axelor de coordonate, pe care putem s-i introducem sub semnul de integrare, rezult prin nsumare (Fig.4.12):
Partea IV. Cmp magnetic staionar
159
A( P) =
J(M ) r ( P, M ) dvM 4 D
(4.23)
Potenialul vector dat de relaia (4.23) este soluie a ecuaiei difereniale (4.20). Pentru a fi soluie a ecuaiei (4.18), trebuie s dovedim c expresia (4.23) verific condiia de etalonare (4.19). Deoarece derivatele n relaia (4.19) se fac n raport cu coordonatele punctului P, operatorul poate intra sub semnul de integrare, integrarea fcndu-se n raport cu coordonatele punctului M. Rezult: J(M ) P A( P) = P dv M (4.24) 4 D r ( P, M ) Avem: P Mai avem:
r J(M ) 1 =J P = J r ( P, M ) r ( P, M ) r3
(4.25)
M
J(M ) 1 1 = M J(M ) + J M r ( P , M ) r ( P, M ) r ( P, M )
(4.26)
iar din relaia (4.14) rezult c divJ = divrotH = 0 i atunci relaia (4.26) devine:
M
r' r J(M ) = J =J r ( P, M ) r3 r3
(4.27)
unde r ' = r . Rezult c relaia (4.24) se mai scrie: P A( P ) =
J(M ) J M dv M = n dS 4 D r ( P, M ) 4 D r
Dar componenta normal a densitii de curent este nul pe frontiera D a domeniului D (v. Partea I, Cap.4, par.4.3) i, ca urmare, condiia de etalonare (4.19) este ndeplinit. Inducia magnetic rezult din relaia (4.17):
Partea IV. Cmp magnetic staionar
160
B = P A( P ) = Avem: P i (4.28) devine: B=
J(M ) P r ( P, M ) dv M 4 D
(4.28)
r J(M ) 1 = J P =J r ( P, M ) r ( P, M ) r3
J r 3 dv 4 D r
(4.29)
Relaiile (4.23) i (4.29) sunt formulele Biot-Savart-Laplace.
P J r dl n detaliu i S
i
dl
Fig.4.13. Conductor filiform.
Cazul conductoarelor filiforme n cazul conductoarelor filiforme, domeniul D are forma special din Fig. 4.13, n care dimensiunile seciunii transversale sunt mult mai mici dect a treia dimensiune, care descrie curba nchis . n plus, densitatea de volum a curentului este orientat dea lungul curbei . Privind o poriune mult mrit din conductor (Fig.4.13), apreciem c, local, vectorii n, J i dl au aceeai orientare. Atunci, putem scrie:
Partea IV. Cmp magnetic staionar
161
dv = Sdl i i relaiile (4.23) i (4.29) devin:A= B=
Jdv = JSdl = idl
i dl r 4 r 3
i dl 4 r
(4.30) (4.31)
Aplicaie: Formula lui Neumann pentru calculul inductivitii de cuplaj ntre dou spire filiforme ce descriu curbele 1, 2 i sunt situate ntr-un mediu omogen i nemrginit. Inductivitatea de cuplaj este (Cap.2): (4.32) L21 = 2 i1 i = 02
1 dl1dS
n
S 2r
2
dl 2
Fig. 4.14. Dou` spire filiforme, cuplate magnetic.
unde 2 este fluxul magnetic al unei suprafee S 2 de bordur 2 (Fig.4.14). innd cont de relaia (4.17) i utiliznd formula lui Stokes, avem:
2 = B ndS = rotA ndS = A dl 2S 2 S 22
(4.33)
Partea IV. Cmp magnetic staionar
162
Potenialul vector A este produs de curentul i1 care parcurge prima spir (4.30): i dl (4.34) A= 1 1 4 r1
nlocuind (4.34) n (4.33) i apoi n (4.32), rezult:L21 = dl 2 dl1 r 4 2 1
(4.35)
Relaia (4.35) este formula lui Neumann.ii) Cazul R2 Fie un fir rectiliniu infinit de lung, parcurs de curentul electric i i aflat ntr-un mediu omogen i mrginit. Problema are simetrie cilindric i, datorit faptului c firul este infinit de lung, mrimile nu depind de coordonatele z i . Aplicm teorema lui Ampre (1.1) pe curba 1 de form circular cu centrul pe fir, de raz R i de lungime l1 :
1
Hdl = H dl = H dl = H l1 = H 2R = i1 1
de unde rezult:H = i 2R (4.36)
Aplicm teorema lui Ampre pe curba 2 = ABCDA de form dreptunghiular, cu laturile BC i DA paralele cu firul i inem cont de faptul c H nu depinde de coordonatele z i :2
H dl = H R dl + H z ( B)dl H R dl H z ( D)dl =AB BC CD DA
= H z ( B ) dl H z ( D) dl = H z ( B) BC H z ( D) DA = 0BC DA
Partea IV. Cmp magnetic staionar
163
de unde rezult H z ( B ) = H z ( D) . Deci, componenta lui H pe direcia z este constant. Impunnd H0 pentru R0, rezult c H z = 0 . Aplicm legea fluxului magnetic pe suprafaa nchis de form cilindric, cu axa pe fir, de nlime h, cu bazele S1 , S 2 i suprafaa lateral Sl : B n dS = 0
deci:
S1
Bz dS Bz dS + BR dS = BR 2Rh = 0S2 S1
de unde: BR = 0k
1dl
H 2D C
n1 S1 SlR A
EzB
nR
BR
S2 n2
Fig.4.15. C@mpul magnetic produs de un fir rectiliniu parcurs de curentul electric i.
De aici rezult: B = H = i:
i 2R
(4.37)
Partea IV. Cmp magnetic staionar
164
B=
i k R2R2
(4.38)
Admitem c potenialul vector A depinde doar de coordonata R i este orientat pe direcia axei oz: A=kA(x,y). Atunci, avem:B = A = k A = k A' R R
Comparnd cu relaia (4.38), rezult:A' =
i 2R
i, admind c la R0 avem A=0, rezult: A= Dac R0 =1m, avem: A=
i R0 ln 2 R i 1 ln 2 R(4.39)
Remarcm c structura analizat mai sus are configuraie planparalel (v. Partea a II-a, Cap.4, par.4.1). Dac curentul electric este distribuit ntr-un domeniu D R, cu densitatea de volum a curentului electric orientat pe direcia axei oz, atunci, folosind rezultatele (4.38) i (4.39), obinem:B =k
i: A=
R J 2 dS 2 D R
(4.40)
1 Jln dS R 2 D
(4.41)
Partea IV. Cmp magnetic staionar
165
Relaiile (4.40) i (4.41) sunt formulele formulele Biot-SavartLaplace pentru structuri plan-paralele.