Post on 21-Aug-2015
Mecanica cuantica: o răsturnare a imaginii
realițătii
Lecția 2
Planul pentru lecție
• Criza fizicii clasice și soluția neașteptată
• Conceptele mechanicii quantice și diferențele majore de descripția clasica
• Observațiile in mechanica cuantică
• Paradoxurile cuantice
Criza fizicii classice• După lucrarea lui Newton au urmat lucrarile lui
Hamilton, Lagrange și Liouville
• Spre sfarsitul secolului XIX nu mai existau probleme teoretice conceptuale
• Existau cateva “mici” probleme, fenomene, care se așteptau explicate: radiația termală, efectul fotoelectric, etc.
Soluția neașteptată…
• Radiația corpului negru (Black body radiation) și efectul fotoelectric a putut fi explicată de, respectiv, M. Planck și A. Einstein asumănd cuantizarea energiei atomilor
• Nivele energetice al atomului de Hidrogen au putut fi explicate reieșind din asumarea naturei ondulatorie a electronului
Mecanică ondulatorie sau matriceală?
Dezvoltarea conceptelor atomice au culminat cu două teorii:
• Mecanica ondulatorie a lui Schrödinger
• Mecanica matriceală a lui Heisenberg
Echivalența acestor două abordări a fost demonstrată de P. Dirac, deși până in ziua de azi persistă divizarea teoreticenilor in “algebraiști” și analiști
Mecanica ondulatorie• Sistemul fizic este descris de funcția de undă
• care este soluția equației Schrödinger
• Operatorul Hamiltonianei:
Mecanica matriceală• Coordonatele si impulsurile sistemului nu mai sunt
cantități numerice ci sunt date de obiecte necomutative (matrice), și
• astfel că comutatorul, adică, rezultatul comutării al impulsului cu coordonata respectivă este
• Toate celelate observabile sunt funcții matriceale a și
Unificarea abordărilor• Operatorii și generează algebra Heisenberg
• Representarea algebrei:
• impreună cu interpretarea Hamiltonianei ca operatorul deplasărilor in timp, ne duce la equația Schrödinger…
Conceptele mecanicii cuantice
• Ambele abordări pot fi obținute ca reprezentari a unei descrieri universale caracterizată de…
Starea cuantica• Conepția de stare cuantică…
• Sistemul se află intr-o stare , element a spațiului linear care include toate stările posibile
• Numai direcția vectorului are relevanță nu și magnitudinea
Convenția Dirac…• Starea este denotată printr-un “ket”: , in
interiourul cărui stau “etichetele” care ne permit identificarea unice a stării
• “ket” este partea finală a cuvântului bracket: “bra-c-ket”; nu este ceva întreg, desinestătător
• …la fel ca și “bra” , care e prima jumatate
Produs Hermitean• Numai “bra” și “ket” impreuna, , “bracket”
fac un întreg, adică pot avea o valoare numerică
• Este un produs Hermitean intre doua stări
Spațiu linear
• Daca sistemul poate fi găsit în starea sau în starea atunci în mod necesar orice stare care este o combinație lineară
• este posibilă la fel
ProbabilitatePrincipiul suprapunerii stărilor:
• Date fiind două stări și al aceluiași sistem, probabilitatea să găsim sistemul în starea atunci când el este în starea este dat de
• Pe când se numește amplitudine
Echivalența• Deci stările cuantice sunt descrise de vectori in spații
lineare Hermitiene, de obicei infinit-dimensionale
• Doar nu toți vectorii diferiți corespund starilor diferite: doi vecori colineari descriu aceiași stare
• Chiar dacă cerem vectorii sa fie normalizați
• mai exista arbitraritatea de fază:
Observabilele cuantice• Datorită proprietățlor sale funcția de undă nu
poate fi observabilă
• Observabilele sunt operatori lineari
• Operatorii formează algebra operatorilor
• Pentru un sistem mecanic algebra este generată de operatorii de bază
Algebra Heisenberg• Operatorii de bază sunt operatorul impulsului și coordonatei
• Spre deosebire de versiunile clasice operatorii impulsului și coordonatei sunt necomutativi
Valorile observabilelor• O observabilă are o valoare bine definită în stări
care sunt stări proprii
• Pentru o stare normalizată
• probabilitatea s-o găsim în e …
Valorile medii• Când sistemul se află în starea valoarea
medie observabilei (oarecare) este dată de
• Temă: demonstrați formula!
Observarea și colapsul funcției de undă
• Conform interpretării tradiționale, în momentul observării starea sistemului va fi proiectat în una din stările proprii a observabilei măsurate
• Aceasta se va întâmpla cu probabilitatea dată mai sus
• Acest fenomen se numește colapsul funcției de undă și se întâmplă instantaneu…
Evoluția cuantică• Stările cuantice evoluează în timp așa cum e
dictat de operatorul Hamiltonianei cuantice
Paradoxuri cuantice
De o astfel de interpretare a observării sunt legate două paradoxuri cunoscute
• EPR (Einstein-Podolski-Rosen) paradox
• Paradoxul cuantic lui Zenon (Quantum Zeno paradox)
EPR paradox• Imaginați-vă un proces în care se produce o
pereche de particele, e.g. un electron și un positron în așa fel că spinul electronului e opus celui positronului
e p sau e p
EPR paradox• Electronul pleacă intr-o parte, iar positronul in alta
• Fără a face observații nu știm dacă electrunul sau positronul au spinul în sus… poate fi oricum cu probabilitatea 1/2
• În schimb, după ce s-a facut o singură măsurare, să zicem a spinului electronului, spinul positronului va fi determinat
• Chiar dacă la momentul acela positronul va fi deja în alta galaxie…
EPR• Aparent concluzia intră în contradicție cu
cauzalitatea: semnalul nu poate travesa cu viteza ce depașăște viteza luminii (vezi următoarele lecții)
• EPR au propus că există variabile ascunse care conțin informații despre rezultatul posibil a măsurătoarii…
Teorema lui Bell
• Bell a generalizat argumentul EPR și a dedus o relație de inegalitate (Bell inequality), care demonstreaza că variabilele ascunse nu pot fi introduse fără să intram în contradicție cu predicțiile mecancii cuantice (confirmate de experiment)
• Asta a fost inceputul teoriei informatiei…
Paradoxul Zenon cuanticFilosoful grec Zenon a propus un paradox (aporiu) din care “reiese” imposibilitatea mișcării
• Înainte oricărei mișcări trebuie sa faci primul pas…
• Înainte, să faci prima jumătate…
• Înainte, primul sfert…
• etc,
Șirul n-are sfârșit, adică n-ai șansa să incepi prima mișcare
Zenon cuantic• Colapsul funcției de undă oferă prilejul unui
paradox similar
• Considerați un sistem care trece dintr-o stare instabilă în altă stare
• La momentul t probabilitatea sa găsim sistemul in starea 1 e P(t) și in starea 2 e 1-P(t)
Zenon cuantic• La scurt timp după începerea procesului se
produce o observație
• Cu probabilitatea P(t) regăsim starea 1
• Funcția de undă colapsează la și procesul reîncepe de la capăt…
• Dacă P(t) e funcție liniară probabilitatea transferului 1→2 nu se schimbă
Zenon cuantic• Dacă P(t) crește mai rapid decât liniar…
• în cazul mesuraătorilor în succesiune rapidă probabilitatea transferului se reduce la zero
• Ideea e că măsuratorile ar trebui să se întâmple cu adevarat foarte rapid (în timpuri cuantice)
• Deși s-au încercat numeroase experimente, deocamdată nu există probe concludente…