Grile

1) Folosind modelul combinărilor se generează numerele naturale cu câte trei cifre distincte din mulţimea {1,2,3,7}, numere cu cifrele în ordine strict crescătoare, obţinându-se, în ordine: 123, 127, 137, 237. Dacă se utilizează exact aceeaşi metodă pentru a genera numerele naturale cu patru cifre distincte din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7,8}, câte dintre numerele generate au prima cifră 2 şi ultima cifră 7?

a. 8 b. 3 c. 4 d. 6 Rezolvare: 2347, 2357, 2367, 2457, 2467, 2567

=> d.6

2) Un algoritm de tip backtracking generează, în ordine lexicografică, toate şirurile de 5 cifre 0 şi 1 cu proprietatea că nu există mai mult de două cifre 0 pe poziţii consecutive. Primele 7 soluţii generate sunt: 00100, 00101, 00110, 00111, 01001, 01010, 01011. Care este a 8-a soluţie generată de acest algoritm?

a. 01110 b. 01100 c. 01011 d. 01101

Rezolvare: 00100, 00101, 00110, 00111, 01001, 01010, 01011 => b. 01100

3) Utilizând metoda backtracking sunt generate în ordine crescătoare toate numerele de 3 cifre, astfel încât cifrele sunt în ordine crescătoare, iar cifrele aflate pe poziţii consecutive sunt de paritate diferită. Ştiind că primele trei soluţii generate sunt, în această ordine, 123, 125, 127, scrieţi toate numerele generate care au suma cifrelor egală cu 12.

Rezolvare: 129, 147, 345

4)Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică cuvintele de câte patru litere

din mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţin două vocale alăturate. Primele opt cuvinte

generate sunt, în ordine: abab, abac, abad, abba, abbb, abbc, abbd, abbe.

Câte dintre cuvintele generate încep cu litera b şi se termină cu litera e?

a. 9 b. 15 c. 12 d. 20

Rezolvare: babe, bace, bade, bbce, bbde, bbbe, bcce, bcbe, bcde, bdbe, bdce, bdde, bebe,

bece, bede

5) Utilizând metoda backtracking se generează permutările cuvântului info. Dacă primele trei soluţii generate sunt: fino, fion, fnio care este cea de-a cincea soluţie?

a. foin b. fnoi c. foni d. ifon

Rezolvare: info-1234, fino-3124, fion-3142, fnio-3214, fnoi-3241

6) Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică cuvintele de câte patru litere din mulţimea A={a,b,c,d,e}, cuvinte care nu conţin două vocale alăturate. Primele opt cuvinte generate sunt, în ordine: abab, abac, abad, abba, abbb, abbc, abbd, abbe.

Care este ultimul cuvânt generat?

a. edcb b. eeee c. edde d. eded

Rezolvare: c) eded

7) Un algoritm generează în ordine crescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifre distincte, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 10325, 10327, 10329, 10345, 10347, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.

Rezolvare: 10349, 10365, 10367, 10369

8) Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre ele având cifrele în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5 soluţii generate sunt 56789,46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării.

Rezolvare: 56789, 46789, 45789, 45689, 45679, …, 12347, 12346, 12345

9) Un algoritm generează în ordine crescătoare toate numerele de n cifre, folosind doar cifrele 3, 5 şi 7. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 33333, 33335, 33337, 33353, 33355, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării.

Rezolvare: 77773, 77775, 77777

10) Utilizând metoda backtracking sunt generate numerele de 3 cifre care au cifrele în ordine crescătoare, iar cifrele aflate pe poziţii consecutive sunt de paritate diferită. Ştiind că primele cinci soluţii generate sunt, în această ordine: 123, 125, 127, 129, 145, care este cel de al 8-lea număr generat? a. 169 b. 149 c. 167 d. 147

Rezolvare: 123, 125, 127, 129, 145, 147, 149 => c. 167

11) Pentru a scrie valoarea 10 ca sumă de numere prime se foloseşte metoda backtracking şi se generează, în această ordine, sumele distincte: 2+2+2+2+2, 2+2+3+3, 2+3+5, 3+7, 5+5. Folosind exact aceeaşi metodă, se scrie valoarea 9 ca sumă de numere prime. Care sunt primele trei soluţii, în ordinea generării lor?

Rezolvare: 2+2+2+3, 2+2+5, 2+7, 3+3+3

12) Un algoritm generează, în ordine lexicografică, toate şirurile alcătuite din câte n cifre binare (0 şi 1). Ştiind că pentru n=5, primele 4 soluţii generate sunt 00000, 00001, 00010, 00011, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.

Rezolvare: 11101, 11110, 11111

13) Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,9} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele

• 20,22,29,90,92,99.• Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care

este numărul generat imediat după numărul 2009?

• a. 2002 b. 2020 c. 2090 d. 2010• Rezolvare: 2000-2002-2009-2020

14) Pentru generarea în ordine crescătoare a numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,28,80,82,88.

• Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, precizaţi câte numere generate sunt divizibile cu 100?

• 8 b. 90 c. 6 d. 10• Rezolvare: 2000-2200-2800-8000-8200-8800

15) Generând şirurile de maximum 3 caractere distincte din mulţimea {A,B,C,D,E}, ordonatelexicografic, obţinem succesiv: A, AB, ABC, ABD,…. Ce şir va fi generat imediat după BAE?

a. BCA b. CAB c. BC d. BEA• Rezolvare: A B C D E • 1 2 3 4 5 • 1 • 12 • 123• 124 • 214• 23=> BC

16) Un algoritm generează în ordine descrescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict crescătoare, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 56789, 45789, 45679, 45678, 36789, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate, în ordinea obţinerii lor.

Rezolvare: 35679, 34678, 34789

17) Un program citeşte o valoare naturală nenulă impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n cifre care îndeplinesc următoarele proprietăţi:

• - încep şi se termină cu 0;• - modulul diferenţei între oricare două cifre alăturate

dintr-o combinaţie este 1.• Astfel, pentru n=5, combinaţiile afişate sunt, în ordine,

următoarele: 01010, 01210. Dacă se rulează acest program şi se citeşte pentru n valoarea 7, imediat după combinaţia 0101210 va fi afişată combinaţia:

• 0121210 b. 0123210 c. 0111210 d. 0121010• Rezolvare: 0101210 => d

18) Generarea tuturor cuvintelor de trei litere mici, nu neapărat distincte, ale alfabetului englez, se poate realiza cu ajutorul unui algoritm echivalent cu cel de generare a: (4p.)

• a. produsului cartezian b. combinărilor• c. aranjamentelor d. permutărilor• Rezolvare: a.produs cartezian

19) În câte dintre permutările elementelor mulţimii {‘I’,’N’,’F’,’O’} vocalele apar pepoziţii consecutive?

• a. 24 b. 6 c. 12 d. 4• Rezolvare: IONF-IOFN-NIOF-NOIF-OINF-OIFN-

FION-FOIN-NFIO-FNIO-NFOI-FNOI

20) Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,4,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele

• 40,44,48,80,84,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 4008 ?

• a. 4040 b. 4004 c. 4080 d. 8004• Rezolvare: a) 4040

Probleme

• Problema reginelor• Type vector= array[1..30] of integer;• Var x:vector;• n:integer;• Procedure solutie;• Var I,j : integer;• Begin writeln;• for i:= 1 to n do• Begin• for j:= 1 to n do• if x[i]= j then write (‘*’)• else write (‘_’);• writeln• End;• Function continuare ( k:integer) : boolean• Var i: integer; ok: boolean;• Begin ok:=true;• for i:= 1 to k-1 do• if (x[k]-x[i]=(k-i))• then ok:=false;• Continuare:= ok;• End.

Partitiile unui numar natural

• Type vector= array [1..20] of integer;• Var x:vector• n,s:integer;• Procedure solutie (k:integer);• var i:integer;• Begin• for i:= 1 to k do• write (x[i], ‘ ‘);• writeln;• end;• Function contiunare (k:integer) boolean;• Begin• Continuare:= (x[k]+ s)<n;• End;• Procedure back (k:integer);• Begin• If (s=n) then• solutie (k-1)• else• Begin• X[k]:=s;• While continuare (k) do• Begin• X[k]=x[k]+1• S:=s+ x[k];• Back (k+1);• S:=s-x[k];

• End;

• End;

• End;

• Begin

• write (‘n=‘); readln(n);

• back(1);

• Readln ;

• End.

• Saritura calului

• Type vector=array[1..400] of integer;

• matrice=array[1..20, 1..20] of integer;

• Const dx:array [1..8] of integer;

• dy:array[1..8] of integer;

• A: matrice {tabla de sah}

• x,y: vector;

• n:integer;

• Procedure solutie;

• Var I,j:integer;

• Begin writeln;

• for i:=1 to n do

• Begin

• for j:=1 to n do

• Write (A[I,j] , ‘ ‘);

• Writeln;

• End;

• End;

• Function continuare (k:integer):boolean;

• Begin

• If( x[k]<1) or (x[k]>n)

• Or (y[k]<1) or (y[k]>n)

• Or ( A[x[k], y[k]]>0)

• Then ok:= false;

• Continuare:=ok;

• End;

Procedure back (k:integer);

Var i:integer;

Begin

If ( k=n*n+1) then solutie

Else

Begin

Fot i:=1 to 8 do

Begin

X[k]=x[k-1]+ dx[i];

Y[k]=y[k-1]+ dy[i];

If continuare (k) then

back (k+1);

End;

End;

End;

Begin

Write (‘n=‘); readln (n)’

X[1]:=1; y[1]:=1; A[1,1]:=1;

Back(2);

Readln;

End.

• Generarea combinarilor• Fiind date doua numere naturale n si k , sa se genereze

toate combinarile de n elemente luate cate k.• program RIV_6; {combinari de n cate k

ne-recursiv}• type vector=array [1..25] of integer;• var st:vector; n,k:integer; {st=vectorul stiva}• procedure initializari ; {initializeaza stiva si

citeste n si k }• var i:integer;• begin• repeat• write('n='); readln (n);• write('k='); readln (k);• until n>=k;• for i:=1 to 25 do st[i]:=0;• end;

Generarea aranjamentelor• Se citesc n si p. Sa se genereze toate

aranjamentele de n luate cate p.• program aranjamente;• type stiva-array [1..100] of integer;• var st:stiva ;• n,k,p:integer;• as,ev:boolean;• procedure init(k:integer; var st:stiva);• begin• st[k]:=0;• end;• procedure succesor(var as:boolean; var

st:stiva; k:integer);• begin• if st[k]<n• then begin• st[k]:=st[k]+1; as:=true• end• else as:=false• end;• procedure valid (var ev:boolean; st:stiva;

k:integer);• var i:integer;• begin• ev:=true;• for i:=1 to k-1 do if st[k]=st[i] then ev:false• end;• function solutie(k:integer):boolean;• begin• solutie:=(k=p)• end;

• procedure tipar;• var i:integer;• begin• for i:=1 to p do write (st[i]);• writeln• end;• begin• write('N='); readln(n);• write ('P='); readln(p);• k:=1; init (k,st);• while (k>0) do• begin• repeat • succesor(as,st,k);• if as then valid(ev,st,k);• until (not as) or (as and ev);• if as then• if solutie(k)• then tipar• else begin• k:=k+1;• init(k,st)• end• else k:=k-1• end• end.•

• Plata unei sume cu bacnote de valori de date.

• Se dau suma s si n tipuri de monede avand valori de a1,a2, ... , an lei. Se cer toate modalitatile de plata a sumei s utilizand aceste monede.

• program bacnote;• uses crt;• type vector=array[1..9] of integer;• var sol,a,b:vector;• n,i,s:integer;• procedure tipar(k:integer);• begin• writeln('Solutie');• for i:=1 to k do• if sol[i]<>0 then writeln(sol[i],' becnote

de ',a[i]);• readln;• end;• procedure plata (k,s0:integer);• begin• while (sol[k]<b[k]) and (s0+a[k] <=s) do• begin• sol[k]:=sol[k]+1;• if sol[k]>0 then s0:=s0 + a[k];• if s0=s then tipar(k)• else• if k<n then plata(k+1,s0)• end;• sol[k]:=-1;• end;

• begin• clrscr;• write('cate tipuri de bacnote avem? ');

readln(n);• write('suma='); readln(s);• for i:=1 to n do• begin• write('valoarea monedei de tipul', i,' ');• readln (a[i]);• b[i]:=s div a[i];• sol[i]:=-1;• end;• plata(1,0);• end.

• procedure tipar (p:integer); {tipareste o solutie memorata in vectorul st}

• var i:integer;• begin• for i:=1 to p do• write(st[i]:4,' ');• writeln;• end;• function valid (p:integer): boolean ;• {testeaza daca valoarea st[p] a generat o

solutie valida, returnand true sau false}• var i:integer; ok:boolean;• begin• {valoarea de pe nivelul p nu trebuie sa se

mai gaseasca pe niciunul dintre nivelele anterioare 1,2,...,p-1}

• ok:=true;• for i:=1 to p-1 do• if st[p]<=st[i] then• ok:=false;• valid:=ok;• end;

• procedure back; {implementeaza algoritmul ne-recursiv de backtracking}

• var p:integer; {varful stivei}• begin• p:=1; st[p]:=0; {initializam primul nivel}• while p>0 do {cat timp stiva nu devine din

nou vida}• begin• if st[p]<n then {daca mai exista vreo

valoare neicercata oe nivelul p}• begin• {punem pe nivelul p urmatoarea valoare din

multimea solutiilor posibile}• st[p]:=st[p]+1;• if valid(p) then {daca solutia (st[1],

st[2],...,st[p]) este valida}• if p=k then {daca solutia esti si

finala}• tipar(p) {tiparim solutia}• else • begin• p:=p+1; st[p]:=0; {trecem la

nivelul urmator, pe care il re-initializam}• end;• end• else {adica pe nivelul p nu se

mai poate incerca nici o valoare}• p:=p-1; {pasul inapoi la nivelul

anterior}• end;• end;• begin• initializari;• back;• end.

• Programul principal :program backtracking;

• type vector=array[1..25] of integer;• var st:vector; n:integer; {sv=vectorul

stiva}• procedure initializari; {initializeaza stiva si

citeste n}• var i:integer;• begin• write ('n='); readln (n);• for i:=1 to 25 do st[i]:=0;• end;• procedure tipar (p:integer); {tipareste o

solutie memorata in vectorul st}• var j:integer;• begin• for j:=1 to p do write (st[j]:4,' ');• writeln;• end;• function valid (p:integer): boolean;• {testeaza daca valoarea st[p] a generat o

solutie valida , returnand true sau false}• var i:integer; ok:boolean;• begin• {valoarea st[p], de pe nivelul p, nu trebuie

sa se mai gaseasca pe nici unul din nivelele anterioare 1,2,...,p-1}

• ok:=true;• for :=1 to p-1 do• if st[p]=st[i] then ok:=false;• valid:=ok;• end;

• procedure bktr (p:integer); {implementeaza algoritmul de backtracking}

• var pval:integer;• begin• {in variabila pval trec pe rand toate valorile

care pot fi incercate pe nivelul p al stivei}• for pval:=1 to n do• begin• st[p]:= pval; {pune o noua valoare

pe nivelul p}• if valid(p) then {daca solutia

obtinuta e valida}• if p=n then {daca este si finala}• tipar (p) {tipareste solutia}• else• bktr (p+1) ; {trece la nivelul urmator in

stiva, pentru a completa solutia}• end;• end;• begin• initializari;• bktr (1); {plecam de la nivelul 1 pe stiva}• end.