1

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI - 2012

TEORIA ELASTICITATII SI CALCULUL PLACILOR:

PLACI PLANE CIRCULARE

IORGULESCU Florin Adrian

PCCIZS, anul I, grupa 1

2

PLACI PLANE CIRCULARE

Generalitati:

Placile sunt elemente de constructie la care una din dimensiuni (grosimea -h) este

mult mai mica in raport cu celelalte doua.

Clasificare:

Membrana – este o placa de grosime foarte mica, care preia numai eforturi de

intindere;

Placa subtire –

- la acest tip de placa efectul de membrana a

disparut, este o placa rigida la care transmiterea incarcarilor catre reazeme se

face prin incovoiere cu forta taietoare;

Placa groasa -

.

Determinarea starii de eforturi si de deformatie in placile plane constituie o problema

de elasticitate tridimensionala – astfel se face calculul pentru placile groase. In cazul placilor

subtiri pentru simplificarea calculelor, este necesara introducerea unor ipoteze

simplificatoare, care permit transformarea problemei tridimensionale intr-o roblema

bidimensionala; ipotezele simplificatoare sunt:

Ipoteza Kirchhoff – Love: O dreapta normala la planul median al placii,

ramane dreapta si normala si dupa deformarea placii – aceasta ipoteza

sintetizeaza faptul ca se neglijeaza efectul fortei taietoare asupra incovoierii;

– deplasarea oricarui punct de pe dreapta normala la planul

median este aceeasi, rezulta ca problema se poate reduce la nivelul planului median;

Ipoteza inextensibilitatii planului median: Punctele situate in planul median

raman la distante invariabile fata de punctele vecine si dupa deformare;

Se neglijeaza eforturile unitare normale, in sensul normalei la planul median (

σz = 0.

3

Placile plane circulare – cazul general:

Pentru placile circulare se prefera a se studia starea de

eforturi si de deformatie intr-un punct de placa, raportandu-ne la

un sistem de coordonate polare – aceasta abordare ne duce la o

reducere semnificativa a volumului de calcul. Drept urmare,

trebuie sa facem transformarea de la sistemul de coordonate

carteziene la sistemul de coordonate polare; relatiile de

transformare sunt urmatoarele:

x = r*cos θ;

y = r*sin θ;

r2 = x2+y2;

tg θ =

θ = arctg

.

=cos ;

=sin ;

;

;

Pentru determinarea operatorului ∇2 se considera o functie f(x,y) = f(r,θ); atunci:

=

-

-->

=

-

;

=

+

-->

=

+

;

∇2 =

+

(

) = (

) (

) =

=

;

(

) = (

) (

) =

=

;

4

Adunand relatiile de mai sus, se obtine expresia pentru Laplacianul in coordonate

polare:

∇2 =

;

Pentru rezolvarea placilor plane circulare se pleaca de la ecuatiile diferentiale de

echilibru static determinate in teoria placilor plane incovoiate, in coordonate carteziene:

Ecuatia fundamentala a placilor in coordonate carteziene:

+ 2

+

∇ ∇

;

Unde: D =

– rigiditatea cilindrica la incovoiere a placii.

Pentru placile plane in coordonate polare, aceasta devine:

(

)(

)

Unde: p = p(r,θ),

w = w(r,θ).

Solutia acestei ecuatii poate fi scrisa sub forma: w = w0 + wp.

w0 - solutia ecuatiei omogene;

wp –o solutie particulara a ecuatiei.

w0 = C1 lnr + C2 r2 lnr +C3 r

2 +C4;

Pentru o placa circulara plina, punand conditii la centrul placii (r=0), dispar termenii

logaritmici care reprezinta o singularitate la centrul placii, astfel,

Pentru r=0 w0 = - si

- apare o incompatibilitate deoarece sageata si

curbura in centrul placii sunt finite in realitate, deci C1 si C2 = 0.

Rezulta ca solutia este: w = wp + C3r2 + C4.

Constantele se pot determina din conditiile de margine.

Pentru determinarea eforturilor in cazul general se pleaca de la problema in

coordonate carteziene.

Expresiile eforturilor sectionale:

Mx= -

(

) = - D ·(

);

5

My= -

(

) = - D ·(

);

Momentul de torsiune are urmatoarea expresie:

Mxy = Myx = -(1-μ)

=

.

Expresiile fortelor taietoare sunt:

Tx= -D(

)

, rezulta

Tx= -D (

)

;

Ty = -D (

)

.

Determin pe Mθ , Mr si Mrθ functie de Mx , My si Mxy :

6

∑ Mr *ds – Mx*(ds cosθ)* cosθ – My (ds sinθ)* sinθ –Mxy ds cosθ *sinθ –

Myx ds sinθ * cosθ / ds

∑ Mθ *ds – My*(ds cosθ)* cosθ – Mx (ds sinθ)* sinθ Mxy ds sinθ *cosθ

+Myx ds cosθ * sinθ / ds

Mrθ *ds +My* ds sinθ * cosθ – Mx * ds cosθ * sinθ – Mxy * ds sinθ *sinθ Mxy

* ds cosθ *cosθ / ds

Din cele trei ecuatii se obtin expresiile pentru Mθ , Mr si Mrθ functie de Mx , My si

Mxy:

{

– – –

Inlocuiesc expresiile Mx , My si Mxy in cele 3 relatii obtinute mai sus, si efectuez

inlocuirile, pentru a obtine expresiile Mθ , Mr si Mrθ :

Se folosesc urmatoarele relatii de legatura:

=

;

=

;

Mr = - D ·(

) - D ·(

)*

;

Mθ = - D ·(

) - D ·(

)*

;

Mrθ =( (

)

( – ));

Dupa efectuarea inlocuirilor se obtin urmatoarele expresii pentru eforturile sectionale:

{

*

(

)+

*

+

(

)

7

Determin pe Tθ si Tr functie de Tx si Ty:

Tr ds = Tx ds cosθ Ty ds sinθ Tr = Tx cosθ Ty sinθ

Tθ ds = - Tx ds sinθ Ty ds cosθ Tθ = - Tx sinθ Ty cosθ

8

Stim ca :

Tx=

;

Ty = -

.

=

-

;

=

+

;

Rezulta:

Pentru Tr:

Tr =

-

cosθ *∇ -

+

sinθ * ∇ ;

Tr =-D*∇ * (

);

Tr = -D*∇ *

(sin

2θ + cos2θ) ;

Tr = -D*

*∇

Pentru Tθ:

Tθ =

+

cosθ *∇ -

+

sinθ * ∇ ;

Tθ = -D*∇ * (

);

Tθ = -D*∇ *

(sin

2θ + cos2θ) ;

Tθ = -D

*

*∇ .

In concluzie, expresiile eforturilor pentru placile circulare in coordonate polare sunt:

Momente incovoietoare:

{

*

(

)+

*

+

(

)

Forte taietoare: {

∇

∇

.

9

Caz particular: Placile plane circulare cu rezemare si incarcare simetrice:

In cazul in care avem o placa circulara si incarcarea aplicata este simetrica fata de axa

perpendiculara pe planul median, ce trece prin centrul placii, atunci deplasarea planului

median al placii va fii simetrica fata de acea axa. In toate punctele egal departate fata de

centrul placii, deplasarea va avea aceeasi valoare, si este suficient sa se considere deplasarile

dintr-o sectiune diametrala prin axa de simetrie.

Pentru determinarea eforturilor se va izola un element infinitezimal din placa:

10

Aspectul static:

Mr = ∫ /

/ ;

Mθ = ∫ /

/ ;

T = ∫ /

/ ;

∑ : Trdθ

(Tr dθ dr – Tr dθ pr dθ dr

= - p

= - p. (1)

∑ :

Mr r dθ

(Mr r d dθ - Mr r dθ – 2Mθ dr sin+

– Tr dθ dr pr dθ dr

/ rdθdr

11

(2)

Aspectul geometric:

Se poate observa:

φ -

u = - z*φ z *

.

S-a demonstrat in cursul de Teoria Elasticitatii ca:

εr =

εθ =

+

unde u u r si v v r deci nu depind de θ rezultand

εr =

=

;

εθ =

=

Aspectul fizic: - se va face legatura intre tensiuni si deformatii:

Se cunoaste din Teoria Elasticitatii, legea lui Hooke generalizata in coordonate polare:

{

{

{

12

∫ ∫

/

/

/

/

(

)

∫ ∫

/

/

/

/

(

)

Pentru determinarea fortei taietoare se pleaca de la ecuatia (2), determinata mai sus:

Se inlocuiesc expresiile obtinute pentru momentele incovoietoare si se integreaza de

doua ori, obtinandu-se ecuatia (A):

[

]

*

(

)+

Tin cont de ecuatia (1):

= - p si obtin ecuatia (B):

{

[

]}

Pentru a obtine expresia rotirii: φ(r) =

, in cazul sistemelor static determinate,

integrez ecuatia (A) si obtin:

∫ ∫

13

Deplasarea se obtine integrand expresia rotirii:

∫

Constantele C1 si C2 rezulta din conditiile de margine exprimate in rotiri φ si Mr; iar

constanta C3se obtine din conditii de margine exprimate in deplasari.

Conditii de margine pentru o placa circulara plina, incarcata cu forta uniform

distrubuita:

Simpla rezemare:

R = r:

w= 0 ; Mr = 0.

R = 0:

φ = 0

Incastrare:

R= r:

φ = 0

w = 0.

R = 0:

φ = 0

14

Cazul unei placi circulare cu incarcare uniform distribuita:

Pentru cazul unei placi circulare de raza a, actionata de o forta uniform distribuita,q,

pe intreaga suprafata a placii, valoarea fortei taietoare la distanta r va fi:

2πrQ πr2q, de unde rezulta Q =

;

Inlocuind in ecuatia (A –pag 11), obtinuta mai sus, obtinem:

*

(

)+

Integrand, obtinem:

(

)

Multiplic in ambele parti cu r:

(

)

Integrand, obtin:

Integrez, si obtin:

15

Determinarea constantelor de integrare in cazul unei placi incastrate pe contur:

In acest caz, derivata de ordinui I a deplasarii trebuie sa fie egala cu zero in centrul

placii si in dreptul incastrarii:

, pentru r=0 si pentru r=a.

(

)

;

(

)

;

Din prima ecuatie rezulta ca C2=0, si inlocuind in a doua ecuatie obtinem ca C1=

Cu aceste valori ale constantelor, obtinem urmatoarea expresie pentru rotire:

;

Expresia deplasarii este:

; se stie ca in incastrare (r=a) deplasarea este nula, de

unde determinam valoarea constantei C3:

= 0 pentru r=a :C3 =

=

.

Inlocuind, obtinem:

=

=

, rezulta

Deplasarea maxima, la centrul placii este:

wmax=

.

Avand determinata expresia rotirii :

, putem determina

expresiile pentru momentele incovoietoare Mr si Mθ :

(

)

Mr =

[ ]

Mθ=

[ ]

16

In incastrare (r=a) rezulta urmatoarele valori pentru momentele incovoietoare:

(Mr)r=a = -

;

(Mθ)r=a = -

;

In centrul placii (r-0) :

Mr = Mθ =

Aplicatie:

Fie placa circulara din otel, incastrata, actionata de o incarcare uniform distribuita.

r= 4m;

q = 2.5 kN/m2;

Grosimea placii, h = 20 mm.

E = 2.1* 108 kN/m

2;

μ = 0.3

Rezolvare:

Pe cale analitica:

Folosind expresiile determinate mai sus, s-au obtinut rezultatele:

D =

wmax = =

=

Momentele in incastrare:

(Mr)r=a =

=

= 2.81 kN*m/m

(Mθ)r=a =

=

= 0.843 kN*m/m

Momentele incovoietoare in centrul placii:

Mr = Mθ =

=

= 1.83 kN*m/m.

Calculul cu M.E.F. (SAP2000):

Deplasarea maxima: wmax = 0.0204m = 20.4 mm

17

Momentele incovoietoare in incastrare:

(Mr)r=3m = 2.83 kN*m/m;

(Mθ)r=3m = 0.86 kN*m/m.

Momentele incovoietoare in centrul placii:

Mr = Mθ = 1.82 kN*m/m.

Diagramele de eforturi:

Diagrama Mr :

18

Diagrama Mθ:

Diagrama de deplasari:

19

BIBLIOGRAFIE:

[1]. Prof. dr. ing. Nicolae Topa: TEORIA ELASTICITATII – partea II:

Placi plane – Bucuresti 1983;

[2].Mircea Ieremia: Elasticitate, plasticitate, neliniaritate- Bucuresti

1988;

[3].S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger: Theory of plates and shells –

International edition 1959;

[4].Dan Cretu: Teoria Elasticitatii – Bucuresti 2004;

[5].Note de curs.