Post on 09-Sep-2019
“In matematica nu intelegi lucrurile. Doar te obisnuiesti cu ele”
John von Neumann
3Functii complexe
Numere complexe
Orice numar complex are o unica reprezentare:
𝑧 = 𝑥 + 𝑖 · 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ R
Numerele complexe pot fi reprezentate grafic printr-un vector orientat cuoriginea in originea reperului si varful in punctul 𝐴(𝑥, 𝑦). Spunem ca 𝑧 esteafixul punctului 𝐴(𝑥, 𝑦). Mai jos putem observa cum numarul complex 𝑧 = 2+3𝑖
este reprezentat atat prin intermediul unui vector de pozitie−→𝑂𝐴 cat si prin
intermediul punctului 𝐴(2, 3):
Numim 𝑥 = Re(𝑧) parte reala si 𝑦 = Im(𝑧) parte imaginara a numaruluicomplex 𝑧. Daca 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C numim 𝑧 = 𝑥− 𝑖𝑦 conjugatul numaruluicomplex 𝑧. Imaginea conjugatului se obtine prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥:
1
Partea reala si partea imaginara satisfac relatiile:
𝑅𝑒(𝑧) =𝑧 + 𝑧
2, 𝐼𝑚(𝑧) =
𝑧 − 𝑧
2𝑖
Suma a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:
𝑧1 +𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)+(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 +𝑥2 + 𝑖(𝑦1 +𝑦2)
si imaginea sa se obtine prin regula paralelogramului:
Diferenta a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 este definita prin:
𝑧1−𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)−(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1−𝑥2 + 𝑖(𝑦1−𝑦2)
si imaginea sa se obtine cu regula triunghiului apoi se aplica o translatie panain originea reperului:
2
Pentru produsul a doua numere complexe 𝑧1 si 𝑧2 avem regula naturala:
𝑧1 ·𝑧2 = (𝑥1+𝑖𝑦1)·(𝑥2+𝑖𝑦2) = 𝑥1 ·𝑥2−𝑦1𝑦2+𝑖(𝑦1𝑥2+𝑥1𝑦2)
E de fapt inmultirea obisnuita a doua paranteze tinand cont de noutatea:
𝑖2 = −1
Reprezentarea grafica a produsului o vom prezenta mai tarziu, dupa ce vomintelege mai bine informatiile codificate in scrierea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
Lungimea vectorului prin care un numar complex este reprezentat se numestemodulul numarului complex. Modulul numarului complex 𝑧 = 𝑥+ 𝑖𝑦 se noteaza|𝑧| sau folosind litera 𝑟.
|𝑧| =√𝑧 · 𝑧 =
√𝑥2 + 𝑦2
Modulul coincide cu norma euclidiana a vectorului prin care 𝑧 este reprezentat:
3
Daca 𝑧 = 0, putem forma inversul sau folosind regula:
1
𝑧=
𝑧
|𝑧|2=
𝑥− 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Inversul unui numar complex se reprezinta prin simetrie fata de axa 𝑂𝑥 apoiinversiune fata de cercul unitate. Vectorul care reprezinta numarul complex 1
𝑧indica in acelasi sens ca si 𝑧 dar are lungimea 1
𝑟 , cand 𝑧 are lungimea 𝑟.
Catul a doua numere complexe 𝑧1, 𝑧2 e de fapt produsul lui 𝑧1 cu inversul lui𝑧2:
𝑧1𝑧2
= 𝑧1 ·1
𝑧2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 1
𝑥2 + 𝑖𝑦2= (𝑥1 + 𝑖𝑦1) · 𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑥22 + 𝑦22
=𝑥1 · 𝑥2 + 𝑦1𝑦2 − 𝑖(𝑦1𝑥2 + 𝑥1𝑦2)
𝑥22 + 𝑦22
Unghiul 𝜃 format de semiaxa pozitiva 𝑂𝑥 si vectorul−→𝑂𝐴, prin care numarul
complex e reprezentat, se numeste argumentul numarului complex 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
4
Avem urmatoarea formula pentru a obtine acest unghi:
𝜃 = arctg(𝑦𝑥
)+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z
Deoarece cos si sin sunt 2𝜋-periodice, argumentul nu este unic determinat, ci𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋, . . . reprezinta alte argumente posibile ale lui 𝑧.
Din aceasta cauza vom nota cu:
arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z
multimea tuturor argumentelor.Pentru 𝑟 := |𝑧| =
√𝑥2 + 𝑦2 se observa pe baza figurii anterioare ca:
Reprezentarea trigonometrica (polara) a unui numar complex:Fiecare numar comlex poate fi reprezentat sub forma:
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
unde 𝑟 si 𝜃 se vor numi coordonatele polare ale lui 𝑧.
Cautam sa aflam reprezentarea trigonometrica a lui 𝑧 = −√
3−𝑖. Deoarece𝑥 = −
√3 si 𝑦 = −1 obtinem:
𝜃 = arctg(𝑦𝑥
)= arctg
(√3
3
)=
𝜋
6+ 𝑘𝜋
Punctul 𝐴(−√
3,−1) (imaginea lui 𝑧) se afla in cadranul III din aceastacauza ar trebui sa avem:
𝜋 < 𝜃 <3𝜋
2.
O astfel de valoare se obtine pentru 𝑘 = 1, deci 𝜃 = 𝜋6 +1·𝜋 = 7𝜋
6 . Modulul
Exemplu:
5
sau este 𝑟 = |𝑧| =√
(−√
3)2 + (−1)2 = 2. Prin urmare reprezentarea
trigonometrica (polara) este:
𝑧 = 2
(cos
7𝜋
6+ sin
7𝜋
6
)�
Argument principal: Vom nota unghiul 𝜃 pentru care are loc:
−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋
prin Arg(𝑧) si il vom numi argumentul principal a lui 𝑧. Are loc relatia:
arg(𝑧) = Arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ZZ.
In exemplul anterior argumentul ales a fost 𝜃 = 7𝜋6 . Cu ajutorul for-
mulei Arg(𝑧) = 𝜃 ± 2𝑘𝜋 ∈ (−𝜋, 𝜋], 𝑘 ∈ N, cautam sa obtinem argumentulprincipal.
Din aceasta cauza: Arg(𝑧) = 7𝜋6 − 2𝜋 = − 5𝜋
6 .
Asadar avem inca o posibila reprezentare trigonometrica:
𝑧 = 2
(cos
(−5𝜋
6
)+ sin
(−5𝜋
6
))�
Exemplu:
In acest moment putem sa dam o semnificatie grafica produsului a douanumere complexe cu ajutorul reprezentarilor polare:
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1𝑟2(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 + 𝜃2))
6
Putem astfel intelege ce se intampla la inmultirea lui 𝑧2 cu 𝑧1. Numarul complex𝑧1 transforma vectorul de pozitie a lui 𝑧2 rotindu-l cu un unghi 𝜃1 = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) injurul originii apoi scalandu-l incat sa aibe lungimea egala cu produsul lungimilorcelor doi vectori. Asadar o inmultire cu un numar complex este din punct devedere geometric o rotatie si apoi o scalare. O situatie asemanatoare are locpentru catul lor:
𝑧1𝑧2
=𝑟1𝑟2
(cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2))
Una dintre motivatiile formei trigonometrice este posibilitea de a exprima ele-gant puterea unui numar complex:
Formula lui Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃), pentru orice 𝑛 ∈ Z.
Radacinile ecuatiei 𝑤𝑛 = 𝑧:Pentru orice numar natural 𝑛 ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑧 are exact 𝑛 solutii, mai exact:
𝑛√𝑧 = 𝑛
√|𝑧|(
cos𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
),
unde 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.
Ecuatia 𝑤𝑛 = 𝑖, 𝑤 ∈ C va avea trei solutii. Se observa usor, reprezentandgrafic numarul 𝑖, ca |𝑖| = 1 si 𝜃 = 𝜋
2 , asadar:Pentru 𝑘 = 0 :
Exemplu:
7
𝑤1 =3√
1
(cos
𝜋2
3+ 𝑖 sin
𝜋2
3
)= cos
𝜋
6+ 𝑖 sin
𝜋
6
=
√3
2+
1
2𝑖
Pentru 𝑘 = 1 :
𝑤2 =3√
1
(cos
𝜋2 + 2𝜋
3+ 𝑖 sin
𝜋2 + 2𝜋
3
)= cos
5𝜋
6+ 𝑖 sin
5𝜋
6
= cos(𝜋 − 𝜋
6
)+ 𝑖 sin
(𝜋 − 𝜋
6
)= − cos
𝜋
6+ 𝑖 sin
𝜋
6= −
√3
2+
1
2𝑖
si pentru 𝑘 = 2 :
𝑤3 =3√
1
(cos
𝜋2 + 4𝜋
3+ 𝑖 sin
𝜋2 + 4𝜋
3
)= cos
9𝜋
6+ 𝑖 sin
9𝜋
6
= cos3𝜋
2+ 𝑖 sin
3𝜋
2= cos
(2𝜋 − 𝜋
2
)+ 𝑖 sin
(2𝜋 − 𝜋
2
)= cos
𝜋
2− 𝑖 sin
𝜋
2= −𝑖
�
Pentru orice 𝑛 ∈ N exista exact 𝑛 radacini de ordinul 𝑛 ale numarului𝑧 = 1, mai precis:
𝜀1 = cos2𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝜋
𝑛
𝜀2 = cos4𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
4𝜋
𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝜀𝑘 = cos2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝑘𝜋
𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝜀𝑛 = 1
Radacinile de ordinul n ale unitatii 𝜀𝑛 = 1:
Din punct de vedere grafic imaginile acestora sunt 𝑛 puncte situate pe cercul deraza 1 si origine 𝑂 (cercul unitate).
Functii complexe
O functie cu valori complexe este o functie 𝑓 : 𝐷 → C pentru care domeniulde valori este o submultime a lui C. Atunci cand 𝐷 ⊂ C spunem ca avem ofunctie complexa.
8
De obicei scriem:𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦),
unde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, pentru o functie complexa 𝑓. Astfel 𝑢, 𝑣 vor fi functii reale.
Functii liniare: O functie complexa 𝑓 se numeste liniara daca exista con-stantele complexe 𝑎, 𝑏 ∈ C, 𝑎 = 0, astfel incat:
𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
∙ Pentru 𝑎 = 1 se obtine ceea ce in geometrie numim translatie in directiaindicata de 𝑏:
𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
∙ Cand 𝑎 ∈ R+ si 𝑏 = 0 obtinem o scalare cu factorul de scalare a>0:
𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧, 𝑧 ∈ C.
adica modulul lui 𝑧 va fi marit (𝑎 > 1) sau micsorat (0 < 𝑎 < 1).∙ Daca 𝑎 ∈ C astfel ca |𝑎| = 1 si 𝑏 = 0 atunci obtinem o rotatie in
jurul originii, in sens pozitiv trigonometric, de unghi 𝜃 = Arg(𝑎):
𝑓(𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧, 𝑧 ∈ C.
Remarca:
Structura unei aplicatii liniare:Orice aplicatie liniara 𝑓 : C → C se descompune in:
𝑓 = 𝑓3 ∘ 𝑓2 ∘ 𝑓1
unde cele trei functii reprezinta:1) 𝑓1(𝑧) == (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧 o rotatie in jurul originii
2) 𝑓2(𝑧) = |𝑎|𝑧 o scalare
3) 𝑓3(𝑧) = 𝑧 + 𝑏 o translatie de ”vector” 𝑏
In continuare vom incepe sa studiem varianta complexa a unor functii ele-mentare. Unele astfel de extinderi nu conduc la functii propriu-zise ci la ceeace vom numi functii multivalente: adica functii care asociaza unui numar 𝑧 maimulte posibile valori.
Functia exponentiala complexa:Functia exponentiala exp : C → C este definita prin:
exp(𝑧) = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 := 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin 𝑦
9
Se observa usor ca de fapt |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥 si arg(𝑧) = 𝑦 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z.
Proprietatile functiei exponentiale:
i) functia exponentiala este o functie 2𝜋𝑖-periodica:
𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧, 𝑧 ∈ C.
ii) 𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤, 𝑧, 𝑤 ∈ C,
iii)𝑒𝑧
𝑒𝑤= 𝑒𝑧−𝑤
iv) (𝑒𝑧)𝑛 = 𝑒𝑛𝑧, 𝑛 ∈ Z.
Logaritmul complex:Functia mutivalenta:
Ln(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · arg(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · (𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋)
se numeste logaritm complex Ln : C* → C si reprezinta solutia ecuatiei:
𝑒𝑤 = 𝑧.
Proprietatile logaritmului complex:Pentru orice 𝑧, 𝑤 = 0 au loc:
i) Ln(𝑧) + Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤)
ii) Ln𝑧 − Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤
)iii) Ln(𝑧𝑛) = 𝑛 · Ln(𝑧), 𝑛 ∈ Z.
Egalitatile de mai sus trebuie interpretate ca identitati intre multimi si nuintre numere complexe, caci functia multivalenta complexa returneaza ca valoareo multime de numere si nu un numar.
”Functia” putere:Putem defini ridicarea la putere complexa cu ajutorul logaritmului complex:
𝑧𝛼 = 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖 arg(𝑧))
unde 𝛼 ∈ C este o constanta complexa.
10
Functia putere definita mai sus este tot multivalenta deci nu e propriu-ziso functie. Insa expresia 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖Arg(𝑧)) numita valoare principala a functieiputere 𝑓(𝑧) = 𝑧𝛼 este o functie complexa de 𝑧 (atribuie o unica valoare fiecaruinumar 𝑧).
Proprietatile alegbrice obisnuite ale functiei putere nu se aplica varianteicomplexe. Regula 𝑧𝛼 · 𝑤𝛼 = (𝑧𝑤)𝛼, de exemplu, nu e valabila pentruorice 𝑧, 𝑤 ∈ C* si 𝛼, 𝛽 ∈ C. Spre exemplu, tinand cont de definitia functieimutivalente putere:
(−1)𝑖 · (−1)𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1))𝑒𝑖(0+𝑖arg(−1)))
= 𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋)𝑒−(𝜋+2𝑘𝜋) =1
𝑒2𝜋+4𝑘𝜋
dar si:
[(−1) · (−1)]𝑖 = 1𝑖 = 𝑒𝑖(0+𝑖arg(1)) = 𝑒−(0+2𝑘𝜋) =1
𝑒2𝑘𝜋
Remarca:
Functiile trigonometrice si hiperbolice complexe:Urmatoarele functii sunt extinderi ale functiilor reale corespunzatoare:
sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧
2𝑖, sinh 𝑧 =
𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧
2
cos 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
2, cosh 𝑧 =
𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2
Aceste functii sunt continue si derivabile pe C !
Proprietati elementare :Pentru orice 𝑧 ∈ C :
i) cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 si cosh2 𝑧− sinh2 𝑧 = 1
ii) cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧 si sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧
iii) in C au loc, la fel ca in R, regulile:
sin(𝑧1 ± 𝑧2) = sin 𝑧1 cos 𝑧2 ± sin 𝑧2 cos 𝑧1,
cos(𝑧1 ± 𝑧2) = cos 𝑧1 cos 𝑧2 ∓ sin 𝑧1 sin 𝑧2.
11
Complex versus real
In planul complex distanta se calculeaza prin:
𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| =√
(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2, 𝑧, 𝑤 ∈ C.
Tinand cont de aceasta putem sa vizualizam o vecinatate deschisa in jurul lui𝑧0 ca fiind un disc centrat in 𝑧0 si de raza 𝛿, adica multimea:
𝐷(𝑧0, 𝛿) = {𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿}.
Siruri convergente:Fie (𝑧𝑛)𝑛 un sir de numere complexe si 𝑧 ∈ C. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:
𝑧𝑛 → 𝑧, cand 𝑛 → ∞ ⇔ Re(zn) → Re(z) si Im(zn) → Im(z), cand 𝑛 → ∞
In C o functie 𝑓 : 𝐷 → C are limita 𝐿 in punctul 𝑧0 daca si numai dacapentru toate sirurile (𝑧𝑛)𝑛, care converg la 𝑧0, sirul 𝑓(𝑧𝑛) converge la 𝐿.
Diferenta dintre cazul complex si cel real este ca in C sirurile nu se apropiede limita doar dintr-o directie ci se pot apropia dintr-o infinitate de directii sautraiectorii:
12
In cazul sirurilor reale aproprierea de limita se face doar pe o traiectorie ori-zontala (axa 𝑂𝑥). In complex convergenta este mai greu de realizat dupa cumarata urmatorul exemplu.
Limita lim𝑧→0
𝑧
2𝑧nu exista !
Consideram un sir (𝑧𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑥 la 0, deexemplu 𝑧𝑛 = 1
𝑛 . Atunci vom avea:
𝑓(𝑧𝑛) =𝑧𝑛2𝑧𝑛
=1𝑛2𝑛
=1
2→ 1
2.
Dar pentru un alt sir (𝑤𝑛)𝑛, care converge pe directia axei 𝑂𝑦 la 0, deexemplu 𝑤𝑛 = 1
𝑛 𝑖, va rezulta:
𝑓(𝑤𝑛) =𝑤𝑛
2𝑤𝑛=
− 𝑖𝑛
2𝑖𝑛
= −1
2→ −1
2.
Deci o contradictie cu criteriul lui Heine. �
Ilustrare:
Limita unei functii complexe:Fie 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si 𝐿 = 𝑎 + 𝑖𝑏, atunci lim
𝑧→𝑧0𝑓(𝑧) = 𝐿
daca si numai daca:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎 und lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑏.
Calculam limita lim𝑧→1+𝑖
(𝑧2 + 1). Fie 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, ca de obicei. Atunci:
𝑓(𝑧) = 𝑧2 + 𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 𝑖 = 𝑥2 − 𝑦2 + (2𝑥𝑦 + 1)𝑖
Pentru a aplica ultima teorema, consideram 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 si 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 1.Aici 𝑧0 = 1 + 𝑖, deci 𝑥0 = 1 si 𝑦0 = 1.
Atunci:lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)(𝑥2 − 𝑦2) = 0
si:lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)(2𝑥𝑦 + 1) = 3
si limita exista si e 𝐿 = lim𝑧→1+𝑖
(𝑧2 + 1) = 0 + 3𝑖. �
Exemplu:
13
Continuitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C o vecinatate deschisa a lui 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. O functie 𝑓 : 𝐷 → C :
𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
este continua in 𝑧0, daca functiile reale 𝑢, 𝑣 sunt continue in (𝑥0, 𝑦0).
Functia exponentiala 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 este continua pe C, caci 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 si𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦 sunt ambele produse de functii reale continue.
Derivabilitatea functiilor complexe:Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu. O functie 𝑓 : 𝐷 → C se numeste derivabila complexin 𝑧0 ∈ 𝐷, daca exista limita:
𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
Numarul complex 𝑓 ′(𝑧0) se numeste derivata lui 𝑓 in 𝑧0.O functie se numeste olomorfa in 𝑧0 ∈ C cand este definita intr-o vecinatatedeschisa a acestuia 𝐷(𝑧0, 𝛿) ⊂ C si este derivabila complex in toate punctelevecinatatii.
Functia 𝑓(𝑧) = 𝑥 + 4𝑖𝑦 nu este derivabila complex in niciun punct 𝑧0 !Sa consideram 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 si sa formam limita:
𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0= lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)
Daca ne apropiem de (𝑥0, 𝑦0) vertical, adica prin siruri (𝑥0, 𝑦𝑛) cu 𝑦𝑛 → 𝑦0obtinem:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(4𝑦 − 4𝑦0)
(𝑥− 𝑥0) + 𝑖(𝑦 − 𝑦0)= lim
𝑛→∞
(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(4𝑦𝑛 − 4𝑦0)
(𝑥0 − 𝑥0) + 𝑖(𝑦𝑛 − 𝑦0)= 4
�
Exemplu:
Derivabilitatea complexa este ceva mai pretentioasa decat simpla derivabi-litate a componentelor 𝑢 si 𝑣 dupa cum arata teorema Looman-Menchoff :
14
Derivabilitate complexa vs. derivabilitate reala:Fie functia 𝑓 : 𝐷 → C definita prin 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦), atunci cand𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 si sunt indeplinite urmatoarele conditii:
i) 𝑓 este continua intr-o vecinatate a lui 𝑧0 ∈ 𝐷.
ii) derivatele partiale 𝜕𝑢𝜕𝑥 ,
𝜕𝑢𝜕𝑦 si 𝜕𝑣
𝜕𝑥 ,𝜕𝑣𝜕𝑥 exista intr-o vecinatate a lui 𝑧0.
iii) functiile 𝑢, 𝑣 satisfac intr-o vecinatate a lui 𝑧0 conditiile Cauchy-Riemann:
𝜕𝑢
𝜕𝑥=
𝜕𝑣
𝜕𝑦,
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −𝜕𝑣
𝜕𝑥.
Atunci functia 𝑓 este derivabila complex in 𝑧0 (chiar olomorfa).
Vom studia olomorfia functiei 𝑓(𝑧) = cos 𝑧 intr-un punct oarecare notat𝑧0 = 𝑥0+𝑖𝑦0 �
Exemplu:
Reguli de derivare pentru functii olomorfe (ca si in cazul real):
i) liniaritate: (𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑔(𝑧))′ = 𝛼𝑓(𝑧)′ + 𝛽𝑔(𝑧)′
ii) regula produsului: (𝑓(𝑧)𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
iii) regula catului:
(𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
)′
=𝑓 ′(𝑧)𝑔(𝑧) − 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
𝑔2(𝑧)
iv) derivarea functiilor compuse: 𝑓(𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′(𝑔(𝑧))𝑔′(𝑧)
Probleme propuse
Problema 1. Demonstrati ca: sinh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 = 𝑛𝜋𝑖 sicosh 𝑧 = 0 daca si numai daca 𝑧 =
(12 + 𝑛
)𝜋𝑖.
Problema 2. Scrieti urmatoarele numere complexe in forma polara:
𝑧1 = −√
2 −√
2𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖.
i) Aflati argumentul principal 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) si apoi calculati (−√
3 − 𝑖)50.
ii) Pentru numerele complexe 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 5𝑖, verificati ca au loc:
𝐴𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2)
15
𝐴𝑟𝑔
(𝑧1𝑧2
)= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1) −𝐴𝑟𝑔(𝑧2)
in schimb:𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2)
𝑎𝑟𝑔
(𝑧1𝑧2
)= 𝑎𝑟𝑔(𝑧1) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2).
Problema 3. Aratati ca |Re 𝑧| ≤ |𝑧| si |Im 𝑧| ≤ |𝑧|. Demonstrati identitatea:
|𝑧 + 𝑤|2 = |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2𝑅𝑒(𝑧𝑤), 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶
si inegalitatea triunghiului |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|.
Problema 4. Schitati multimea punctelor 𝑧, in planul complex, care satisfacurmatoarele conditii:
i) 1 < |𝑧 − 1 − 𝑖| ≤ 2
ii) |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1|
iii) |𝐴𝑟𝑔(𝑧)| < 𝜋4
iv) Re ((1 + 𝑖)𝑧 − 1) = 0
v) 0 < Re 𝑧 < 1.
Problema 5. Rezolvati in C ecuatia:
sin 𝑧 = 2
Problema 6. Rezolvati in C ecuatiile:
𝑧6 = 1 + 𝑖
𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0
𝑧4 + 1 = 0
Calculati apoi√
3 +√
3𝑖.
Problema 7. Aratati ca urmatoarele functii sunt olomorfe in 𝑧0 = 0:
𝑓(𝑧) = cos 𝑧, 𝑔(𝑧) = sinh 𝑧, ℎ(𝑧) = 𝑒𝑧.
Problema 8. Demonstrati identitatile:
cos(𝑧 + 𝑤) = cos 𝑧 cos𝑤 − sin 𝑧 sin𝑤
sin(2𝑧) = 2 sin 𝑧 cos 𝑧
sin2 𝑧 + cos2 𝑧 = 1
pentru orice 𝑧, 𝑤 ∈ lC.
16
Integrarea functiilor complexe
Integrala Riemann a unei functii cu valori complexe se defineste in mod naturalprin:
Integrala Riemann:Fie 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → C o functie continua. Definim integrala lui 𝑓 pe [𝑎, 𝑏] prin:∫ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 :=
∫ 𝑏
𝑎
Re(𝑓(𝑡))𝑑𝑡 + 𝑖
∫ 𝑏
𝑎
Im(𝑓(𝑡))𝑑𝑡
∫ 𝜋
0
cos 𝑡 + 𝑖 · sin 𝑡𝑑𝑡 =
∫ 𝜋
0
cos 𝑡𝑑𝑡 + 𝑖 ·∫ 𝜋
0
sin 𝑡𝑑𝑡 = sin 𝑡
𝜋
0
+ 𝑖
(− cos 𝑡
𝜋
0
)= 0 + 𝑖 · 2 = 2𝑖.
�
Exemplu:
Pentru a defini insa integrala unor functii complexe este nevoie de un studiuamanuntit al curbelor si al unor clase de multimi in planul complex.
Curbe in planul complex:Prin curba in planul complex vom intelege o aplicatie continua:
𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C, 𝑎 < 𝑏,
intre un interval compact si multimea numerelor complexe. Orice curba va aveao reprezentare:
𝑐(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
O curba se numeste neteda daca este derivabila cu derivata continua.
∙ Fie 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 si 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2. Segmentul dintre punctele 𝐴(𝑥1, 𝑦1)si 𝐵(𝑥2, 𝑦2) reprezinta de fapt o curba 𝑐 : [0, 1] → C :
𝑐(𝑡) = 𝑧1 + 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) = 𝑥(𝑡) + 𝑖 · 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1],
unde 𝑥(𝑡) = 𝑥1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥1) si 𝑦(𝑡) = 𝑦1 + 𝑡(𝑦2 − 𝑦1).∙ Un cerc de raza 𝑅 si centru 𝑀(𝑥0, 𝑦0) poate fi interpretat ca fiind o
curba 𝑐 : [0, 2𝜋] → C :
𝑐(𝑡) = (𝑥0 + 𝑅 cos 𝑡) + 𝑖 · (𝑦0 + 𝑅 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Exemplu:
17
�
Curbe netede pe portiuni :O curba se numeste neteda pe portiuni daca exista o partitie:
𝑎 = 𝑎0 < 𝑎1 < . . . < 𝑎𝑛 = 𝑏
astfel ca 𝑐 sa fie neteda pe fiecare interval (𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1), 0 ≤ 𝑘 < 𝑛− 1.
Domeniu:
Multimea 𝐷 ⊂ C se numeste dome-niu daca este deschisa si pentru orice𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐷 exista o curba 𝑐 ⊂ 𝐷 careuneste 𝑧1 cu 𝑧2.
Domeniu simplu conex:
𝐷 este un domeniu si curba inchisa 𝛾aflata in 𝐷 poate fi contractata panadevine un punct al multimii respective.(nu are gauri)
Domeniu multiplu conex:
Un domeniu care nu este simplu conexse numeste multiplu conex.(are gauri)
18
Integrala in planul complex:Fie 𝐷 ∈ C un domeniu, 𝑓 : 𝐷 → C o functie continua si 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → 𝐷 o curbaneteda. Atunci definim integrala curbilinie complexa a lui 𝑓 pe curba 𝑐 prin:∫
𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =
∫ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑐(𝑡)) · 𝑐′(𝑡)𝑑𝑡
Cand 𝑐 este doar neteda pe portiuni definim:∫𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =
𝑛−1∑𝑘=0
∫ 𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
𝑓(𝑧)𝑑𝑧.
pentru partitia corespunzatoare.
Calculam: ∫𝑐
1
𝑧𝑑𝑧,
unde 𝑐 este cercul unitate.Pentru inceput curba 𝑐 are reprezentarea parametrica:
𝑐(𝑡) = cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Conform definitiei:∫𝑐
1
𝑧𝑑𝑧 =
∫ 2𝜋
0
1
cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡 =
∫ 2𝜋
0
cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡
cos2 𝑡 + sin2 𝑡(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡
=
∫ 2𝜋
0
(cos 𝑡− 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡 =
∫ 2𝜋
0
𝑖 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖.
�
Exemplu:
Proprietati elementare ale integralelor complexe:
i)
∫𝑐
𝛼𝑓(𝑧) + 𝛽𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝛼
∫𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + 𝛽
∫𝑐
𝑔(𝑧)𝑑𝑧, 𝛼, 𝛽 ∈ C.
ii)
∫𝑐1∪𝑐2
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 =
∫𝑐1
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 +
∫𝑐2
𝑓(𝑧)𝑑𝑧,
∙ Integrala complexa nu depinde de parametrizarea curbei.∙ Integrala complexa curbilinie depinde de orientarea curbei ! Daca notam
Remarca:
19
prin 𝑐− curba 𝑐 data cu orientarea inversa, atunci:∫𝑐−
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −∫𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧.
Recuperarea unui rezultat clasic:Fie 𝐷 ⊂ C deschisa si 𝑓 : 𝐷 → C continua. O primitiva a lui 𝑓 este o functieolomorfa 𝐹 : 𝐷 → C pentru care 𝐹 ′ = 𝑓. Atunci pentru orice curba neteda peportiuni 𝑐 aflata in 𝐷 are loc:∫
𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐(𝑏)) − 𝐹 (𝑐(𝑎)).
Functia 𝑓(𝑧) = 𝑧 are primitiva:
𝐹 (𝑧) =𝑧2
2.
Fie acum 𝑐 semicercul cercului unitate (considerat cu orientarea pozitiva)situat intre punctele 𝐴(−1, 0) si 𝐵(1, 0). Acest semicerc considerat cafiind o curba admite parametrizarea 𝑐(𝑡) = cos 𝑡+ 𝑖 sin 𝑡 pentru 𝑡 ∈ [𝜋, 2𝜋],deoarece 𝑧𝐴 = −1 + 0𝑖 = cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋 si 𝑧𝐵 = 1 + 0 · 𝑖 = cos 2𝜋 + 𝑖 sin 2𝜋.
∫𝑐
𝑧𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑐 (2𝜋)) − 𝐹 (𝑐(𝜋)) = (1 + 𝑖 · 0)2 − (−1 + 𝑖 · 0)2 = 1 − 1 = 0
Exemplu:
20
Pe de alta parte:∫𝑐
𝑧𝑑𝑧 =
∫ 2𝜋
𝜋
(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)′𝑑𝑡
=
∫ 2𝜋
𝜋
(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)(− sin 𝑡 + 𝑖 cos 𝑡)𝑑𝑡
=
∫ 2𝜋
𝜋
− sin(2𝑡) + 𝑖 sin(2𝑡)𝑑𝑡 =cos(2𝑡)
2
2𝜋
𝜋
− 𝑖cos(2𝑡)
2
2𝜋
𝜋
= 0
�
Serii de puteri:
1
1 − 𝑧= 1 + 𝑧 + 𝑧2 + . . . 𝑧𝑛 + . . . =
∞∑𝑛=0
𝑧𝑛, |𝑧| < 1
𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2
2!+ . . .
𝑧𝑛
𝑛!+ . . . =
∞∑𝑛=0
𝑧𝑛
𝑛!
sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3
3!+
𝑧5
5!− . . . =
∞∑𝑛=0
(−1)𝑛𝑧2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
Serii de puteri:
cos 𝑧 = 1 − 𝑧2
2!+
𝑧4
4!− . . . =
∞∑𝑛=0
(−1)𝑛𝑧2𝑛
(2𝑛)!
In general pentru functii olomorfe are loc formula de dezvoltare in serie Taylor:
𝑓(𝑧) =
∞∑𝑛=0
𝑓 (𝑛)(𝑧0)
𝑛!· (𝑧 − 𝑧0)𝑛
21
Dezvoltarea in serie Laurent:
Fie 𝑓 o functie olomorfa in coroanacirculara 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅. Atunci eapoate fi dezvoltata in serie Laurent inpunctele acestei multimi:
𝑓(𝑧) =
𝑛=∞∑𝑛=−∞
𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛.
Coeficientii dezvoltarii sunt dati prin:
𝑎𝑘 =1
2𝜋𝑖
∫𝑐
𝑓(𝑤)
(𝑤 − 𝑧0)𝑘+1𝑑𝑤, 𝑘 = 0,±1,±2, . . . ,
unde 𝑐 este o curba inchisa simpla, positiv orientata, care este situata in totali-tate in 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅 si contine punctul 𝑧0 in interiorul sau.
Consideram functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧
𝑧2pe care dorim sa o dezvoltam in serie
Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0 si putem considera 𝑧 ca facand parte dincoroana circulara 0 < |𝑧| < ∞.
Cu ajutorul dezvoltarii in serie Taylor:
sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3
3!+
𝑧5
5!− 𝑧7
7!+ . . .
obtinem dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui 𝑧0 = 0:
𝑓(𝑧) =sin 𝑧
𝑧2=
1
𝑧− 𝑧
3!+
𝑧3
5!− 𝑧5
7!+ . . .
deci 𝑎𝑛 = 0 pentru 𝑛 < −1, 𝑎−1 = 1, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = − 13! , 𝑎2 = 0, 𝑎3 = 1
5! siasa mai departe. �
Exemplu:
Singularitati izolate:Fie 𝐷 ⊂ C, 𝑧0 ∈ 𝐷 si 𝐹 : 𝐷∖{𝑧0} → C olomorfa. Atunci numim 𝑧0 singularitateizolata a lui 𝑓.
In cele ce urmeaza vom dori sa clasificam singularitatile izolate ale uneifunctii.
22
Caracterizarea singularitatilor izolate prin intermediul seriilor Lau-rent:
Functia 𝑓 poseda in 𝑧0 ∈ C o singularitate izolata. Atunci numim 𝑧0:i) o singularitate aparenta a lui 𝑓 , daca in dezvoltarea in serie Laurent in
jurul lui 𝑧0 toti 𝑎𝑛 cu 𝑛 < 0 sunt nuli:
𝑓(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .
ii) un pol de ordinul m al lui 𝑓, daca in dezvoltarea in serie Laurent 𝑎𝑛 = 0pentru 𝑛 < −𝑚 :
𝑓(𝑧) =𝑎−𝑚
(𝑧 − 𝑧0)𝑚+
𝑎−(𝑚−1)
(𝑧 − 𝑧0)𝑚−1+ . . .+ 𝑎0 + 𝑎1(𝑧− 𝑧0) + 𝑎2(𝑧− 𝑧0)2 + . . .
iii) o singularitate esentiala, cand dezvoltarea Laurent admite o infinitate determeni cu exponent negativ:
𝑓(𝑧) = . . . +𝑎−2
(𝑧 − 𝑧0)2+
𝑎−1
𝑧 − 𝑧0+ 𝑎0 + 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .
Teorema de caracterizare a polilor:Functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol de ordin 𝑚 daca si numai daca exista o functie 𝑔olomorfa in 𝑧0 astfel ca 𝑔(𝑧0) = 0 iar intr-o vecinatate a lui 𝑧0 avem:
𝑓(𝑧) =𝑔(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑚
Daca functia 𝑓 are in 𝑧0 un pol, atunci:
lim𝑧→𝑧0
|𝑓(𝑧)| = ∞
Consecinta
𝑓(𝑧) =cos 𝑧
(𝑧 − 𝑖)2are in 𝑧0 = 𝑖 un pol de ordin 2, verificam usor ca cos(𝑖) = 0
iar cos 𝑧 este olomorfa in orice punct din C. �
Exemplu:
23
Teorema de caracterizare a singularitatilor aparente:Singularitatea 𝑧0 este o singularitate aparenta daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) exista in C.
Functia 𝑓(𝑧) =sin 𝑧
𝑧are o singularitate aparenta in 𝑧0 = 0. Daca incercam
sa aplicam teorema de caracterizare a polilor observam ca sin 0 = 0 decinu se poate aplica. In schimb fie dezvoltam in serie Laurent in jurul lui 𝑧0si folosind deja mentionata dezvoltare:
sin 𝑧 = 𝑧 − 𝑧3
3!+
𝑧5
5!− . . .
vedem ca:sin 𝑧
𝑧= 1 − 𝑧2
3!+
𝑧4
5!− . . .
si prin urmare nu avem termeni cu exponent negativ deci 𝑧0 este singular-itate aparenta conform definitiei.
In acelasi timp putem observa ca
lim𝑧→0
sin 𝑧
𝑧= 1
deci aplicand teorema de caracterizare ajungem la acelasi rezultat.�
Exemplu:
Teorema de caracterizare a singularitatilor esentiale:Singularitatea 𝑧0 este o singularitate esentiala daca si numai daca limitalim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) nu exista iar lim𝑧→𝑧0
|𝑓(𝑧)| = ∞.
Functia 𝑓(𝑧) = 𝑒1𝑧 are in 𝑧0 = 0 o singularitate esentiala.
Metoda 1: Limita lim𝑧→0 𝑒1𝑧 nu exista si lim𝑧→0 |𝑒
1𝑧 | = ∞.
Pentru prima limita alegem 𝑧𝑛 = 1𝑛 → 0 si 𝑤𝑛 = − 1
𝑛 → 0. Atunci𝑓(𝑧𝑛) = 𝑒𝑛 si 𝑓(𝑤𝑛) = 𝑒−𝑛 dar:
lim𝑛→∞
𝑓(𝑧𝑛) = ∞=0 = lim𝑛→∞
𝑓(𝑤𝑛)
Pentru a argumenta relatia lim𝑧→0 |𝑓(𝑧)| = ∞ putem considera aceleasi
Exemplu:
24
siruri. Atunci |𝑒𝑧| = 𝑒𝑥, pentru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C si prin urmare:
lim𝑛→∞
|𝑓(𝑧𝑛)| = ∞=0 = lim𝑛→∞
|𝑓(𝑤𝑛)|.
Metoda 2: Pe de alta parte putem sa dezvoltam in serie Laurent functia𝑓(𝑧) = 𝑒
1𝑧 in jurul punctului 𝑧0 = 0. Pornim din nou de la dezvoltarea in
serie Taylor, de data aceasta a lui 𝑒𝑧 in 𝑧0 = 0:
𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2
2!+
𝑧3
3!+ . . .
De unde rezulta:
𝑒1𝑧 = 1 +
1
𝑧+
1
2!𝑧2+
1
3!𝑧3+ . . .
Aceasta ultima identitate arata ca dezvoltarea Laurent a lui 𝑓 in jurul lui𝑧0 = 0 are o infinitate de termeni cu exponent negativ. �
Reziduul unei functii:
Fie 𝐷 ⊂ C deschisa, 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧0} → C olomorfa si 𝜀 > 0, astfel ca𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂ 𝐷. Atunci numim:
Res(𝑓, 𝑧0) =1
2𝜋𝑖
∫|𝑧−𝑧0|=𝜀
𝑓(𝑧)𝑑𝑧
reziduul lui 𝑓 in 𝑧0.
∙ Reziduul nu depinde de alegerea razei 𝜀.∙ 𝑧0 nu trebuie sa fie in mod obligatoriu o singularitate dar cand nu estesingularitate reziduul va fi 0.
Remarca:
Curba inchisa simpla:O curba inchisa 𝑐 : [𝑎, 𝑏] → C se numeste simpla, atunci cand pe intervalul [𝑎, 𝑏)este injectiva. Din punct de vedere geometric asta inseaman ca nu are punctede auto-intersectie.
25
Teorema reziduurilor:Fie 𝐷 ⊂ C un domeniu, 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 puncte distincte in 𝐷 si 𝑓 :𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛} → C olomorfa.
Atunci pentru orice curba neteda peportiuni, inchisa simpla si pozitivorientata 𝑐, care se afla in totalitatein 𝐷 si contine in interior punctele𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 avem relatia:
∫𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝑛∑𝑘=1
Res(𝑓, 𝑧𝑘).
Pentru o curba 𝑐 orientata negativ se obtine:∫𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖
𝑛∑𝑘=1
Res(𝑓, 𝑧𝑘).
Remarca:
Vom evalua urmatoarea integrala:
∫𝑐
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧
unde 𝑐 este curba din desenul ala-turat:
Se observa usor ca 𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2 si 𝑐2 este orientata pozitiv iar 𝑐1 este
orientata negativ. Functia 𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2are o singularitate izolata in
𝑐1 in punctul 𝑧1 = 0 si alta in 𝑐2 in punctul 𝑧2 = 𝑖.
Exemplu:
26
Pentru inceput avem:∫𝑐1∪𝑐2
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 =
∫𝑐1
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 +
∫𝑐2
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧
Apoi conform teoremei reziduurilor:
(⋆)
∫𝑐1
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · Res
(𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0
)si
(⋆⋆)
∫𝑐2
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · Res
(𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖
).
�
Din moment ce reziduurile devin instrumente importante in calculul integraleloravem nevoie de metode mai rapide de evaluare a acestora.
Calculul reziduurilor:
i) Daca functia olomorfa 𝑓 are in punctul 𝑧0 un pol de ordin 𝑚, 𝑚 ≥ 1,atunci:
Res(𝑓, 𝑧0) =1
(𝑚− 1)!lim𝑧→𝑧0
𝑑𝑚−1
𝑑𝑧𝑚−1((𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑓(𝑧))
Pentru un pol simplu (𝑚 = 1) avem:
Res(𝑓, 𝑧0) = lim𝑧→𝑧0
(𝑧 − 𝑧0)𝑓(𝑧).
Calculul reziduurilor:
ii) In general:
Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1,
unde 𝑎−1 este coeficientul lui1
𝑧 − 𝑧0dezvoltarea Laurent a lui 𝑓 in jurul
punctului 𝑧0.
=⇒ Fie 𝐺 un domeniu simplu conex si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atuncipentru orice curba inchisa neteda pe portiuni 𝑐 din 𝐷 are loc:∫
𝑐
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0,
Formulele integrale ale lui Cauchy
27
deoarece Res(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1 = 0 pentru o functie olomorfa in 𝑧0.=⇒ Fie 𝐺 un domeniu si 𝑓 : 𝐷 → C olomorfa. Atunci pentru o multime𝐷(𝑧0, 𝜀) ⊂⊂ 𝐷 : ∫
|𝑧−𝑧0|=𝜀
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝑓 (𝑛)(𝑧0)
𝑛!,
deoarece 𝑧0 este un pol pentru functia din interiorul integralei si:
Res
(𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1, 𝑧0
)=
1
𝑛!lim𝑧→𝑧0
𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑛
((𝑧 − 𝑧0)𝑛+1 𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1
)=
𝑓 (𝑛)(𝑧0)
𝑛!
pentru orice functie olomorfa 𝑓 .
In ultimul exemplu ambele singularitati sunt poli, deoarece:
𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2=
𝑧3+3(𝑧−𝑖)2
𝑧
si notand 𝑔(𝑧) = 𝑧3+3(𝑧−𝑖)2 avem scrierea 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧)
𝑧 , iar 𝑔 este olomorfa in
𝑧1 = 0 si 𝑔(0) = 0.Din teorema de carcterizare a polilor rezulta ca 𝑓 are in 𝑧1 = 0 un pol
simplu. Din aceasta cauza:
Res
(𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 0
)= lim
𝑧→0(𝑧 − 0)
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2= lim
𝑧→0
𝑧3 + 3
(𝑧 − 𝑖)2=
3
−1= −3
Prin urmare:
(⋆)
∫𝑐1
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖 · (−3) = 6𝜋𝑖.
Pe de alta parte:
𝑓(𝑧) =𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2=
𝑧3+3𝑧
(𝑧 − 𝑖)2
si ℎ(𝑧) = 𝑧3+3𝑧 este olomorfa si are proprietatea ℎ(𝑖) = 0. Asadar 𝑓 are in
𝑧2 = 𝑖 un pol de ordinul doi. Deci:
Res
(𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2, 𝑖
)= lim
𝑧0→𝑖
𝑑
𝑑𝑧
((𝑧 − 𝑖)2
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2
)= lim
𝑧0→𝑖
𝑑
𝑑𝑧
(𝑧3 + 3
𝑧
)= lim
𝑧0→𝑖
3𝑧2 · 𝑧 − (𝑧3 + 3)
𝑧2
=−2𝑖− 3
−1= 2𝑖 + 3.
Exemplu:
28
=⇒ (⋆⋆)
∫𝑐2
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 · (2𝑖 + 3) = −4𝜋 + 6𝜋𝑖
si in concluzie:∫𝑐
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝑑𝑧 = 6𝜋𝑖 + −4𝜋 + 6𝜋𝑖 = −4𝜋 + 12𝜋𝑖.
�
Teorema semireziduurilor:Fie 𝐷 ⊂ 𝐷 un domeniu simplu conex si 𝑐 o curba simpla inchisa, neteda peportiuni in domeniul 𝐷. Consideram o functie 𝑓 care admite in interiorul curbei𝑐 un numar finit de singularitati izolate 𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛 si un numar finit de polisimpli 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝 situati pe curba 𝑐 astfel ca:
𝑓 : 𝐷 ∖ {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛, 𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑝} → C
este olomorfa. Atunci:i) daca 𝑐 admite o tangenta unica in 𝑤1, 𝑤2, . . . 𝑤𝑝 atunci:∫
𝑐
𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝑛∑𝑘=1
Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝜋𝑖
𝑝∑𝑗=1
Rez(𝑓, 𝑤𝑗)
ii) daca 𝛼𝑗 este unghiul dintre semitangentele in 𝑤𝑗 la 𝑐:∫𝑐
𝑓𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝑛∑𝑘=1
Rez(𝑓, 𝑧𝑘) + 𝑖
𝑝∑𝑗=1
(𝜋 − 𝛼𝑗)Rez(𝑓, 𝑤𝑗)
Vom calcula integrala:∫𝑐
𝑒𝑧
𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧,
unde 𝑐 este curba alaturata. Se ob-serva usor ca cele doua singularitatiale integrandului sunt 𝑧1 = 0 si𝑧2 = 2 ambele fiind poli simpli iarultima fiind siituata pe curba.
In punctul 𝑧2 curba nu admite o tangenta unica iar unghiul format desemitangente va fi 𝛼 = 𝜋
2 . Conform teoremei semireziduurilor avem:∫𝑐
𝑒𝑧
𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖Rez(𝑓, 0) + 𝑖(𝜋 − 𝜋
2)Rez(𝑓, 2)
Exemplu:
29
Pentru poli simpli avem formulele:
Rez(𝑓, 0) = lim𝑧→0
(𝑧 − 0)𝑒𝑧
𝑧(𝑧 − 2)= −1
2,
Rez(𝑓, 2) = lim𝑧→0
(𝑧 − 2)𝑒𝑧
𝑧(𝑧 − 2)=
𝑒2
2.
In concluzie: ∫𝑐
𝑒𝑧
𝑧(𝑧 − 2)𝑑𝑧 = −𝜋𝑖 + 𝑖
𝜋
2
𝑒2
2
�
30
Bibliografie
[1] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis withApplications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.
[2] C. I. Hedrea. Notite de curs: Matematici speciale, 2016.
[3] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die kom-plexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer VerlagHeidelberg, 2009.
31
32